专题09 二次函数（4类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题09 二次函数 课标要求 考点 考向 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二 次 函 数 考向一 二次函数的图象与性质 考向二 待定系数法求二次函数的解析式 考向三 二次函数与系数a,b,c关系的判断 考向四 二次函数图象的实际应用 考点一 二次函数 ►考向一 二次函数的图象与性质 解题技巧： 1．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 3．（2022•荆门）如图，函数y的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t，则t的取值范围是 　 　． 4．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1 ►考向二 待定系数法求二次函数的解析式 解题技巧： 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 5．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 　　 ． ►考向二 二次函数与系数a,b,c关系的判断 解题技巧： 二次函数y＝ax2 +bx+c(a≠0)的图象与字母系数a，b，c之间的关系 开口方向 开口向上 a＞0 与 y 轴的交点 过原点 c =0 与y轴交于正半轴 c＞0 开口向下 a＜0 与y轴交于负半轴 c＜0 对称轴位置 对称轴为y轴 =0即b=0 与 x轴的交点 利用b²-4ac的符号判断与x：交点的个数 对称轴在 y轴左侧 ＜c即a，b同号 特殊取值关系 当x=±1时,y=a±b+c 当x=±2时,y=4a±ab+c 对称轴在y轴右侧 ＞0即a，b异号 当 =m时,b+2am=0 6．（2024•湖北）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 7．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论： ①2a+b＞0； ②bc＜0； ③ac； ④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0； 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023•鄂州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 9．（2024•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　 　（填写序号）． 10．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论： ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． 其中正确的是 　 　（填写序号）． ►考向四 二次函数图象的实际应用 11．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　　 m． 12．（2023•襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（m）与篮球距离出手点的水平距离x（m）之间的函数关系式是y（x）2．下列说法正确的是 　 　（填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m； ②篮球出手点距离地面的高度为2.25m． 13．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为yx2x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 　 m时，竖直高度达到最大值． 1．（2024•武汉模拟）函数y＝ax（a，b为常数，且a＞0，b＜0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•远安县模拟）已知两个二次函数y1，y2的图象如图所示，那么函数（a1，a2，b，c为常数）的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•巴东县模拟）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）、N（x1，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2.设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．t≤1 C．t＜2 D．t≤2 4．（2024•铁山区二模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣ax2+3x﹣c与y＝2x2﹣3x﹣c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣1 5．（2024•十堰一模）二次函数y＝ax2+bx+2（a，b为常数）的图象的顶点在第二象限，且经过点（1，0），则m＝a﹣b+2的值的变化范围是（　　） A．0＜m＜2 B．﹣3＜m＜2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4 6．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024•荆州一模）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④x1+x2＝2；x1•x2＜0．其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 9．（2024•大冶市三模）已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 10．（2024•西陵区模拟）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．其中正确的有（　　） 11．（2024•江夏区模拟）P（c，m）是二次函数y1＝（x﹣b）（x﹣b﹣1）图象上一点，Q（c，n）是一次函数y2＝x﹣b图象上一点，且m＞n，若A（a，3）是PQ上一点，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 12．（2024•青山区模拟）已知点M是抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数）的顶点，直线y＝x+3与坐标轴分别交于A，B两点，则△ABM的面积为（　　） A． B．6 C．4 D． 13．（2024•黄石港区一模）如图，在正方形ABCD中，点A，C的坐标分别是（1，2），（﹣1，﹣2），点B在抛物线的图象上，则b+c的值是（　　） A． B． C． D． 14．（2024•武昌区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣1＜m＜0＜n．下列结论： ①a﹣b+c＞0； ②若a＞0，当时，y随x的增大而减小； ③若a（x﹣m）（x﹣n）﹣1＝0有一个根是大于m的负数，则b2﹣4ac＜﹣4a； ④． 其中正确的结论是 　 　．（填写序号） 15．（2024•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（c＜0）的图象过点（1，m），交x轴于点A，B，（A在B的左边），交y轴于点C，且OA＝OC．若m＞0，现有以下结论： ①抛物线对称轴为直线x＝2； ②关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+c＝0有一个根为； ③当0≤y≤m时，y随x增大而增大； ④． 其中正确的序号为 　 　． 16．（2024•巴东县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）三点． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数y＝ax2+bx+c图象平移使其经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4，求平移后的二次函数的解析式． 17．（2024•宜昌模拟）如图，函数y＝x2﹣5x+6的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当0≤x≤3时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+b（b为常数）的值大于函数y＝x2﹣5x+6的值，直接写出b的取值范围． 18．（2024•谷城县一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣1（m为常数）的顶点为P． （1）当m＝1时，写出此时抛物线的顶点P坐标； （2）若抛物线与y轴交于点C（0，t），求出t的取值范围； （3）当3m≤x≤m+1时，函数的最大值为m，求m的值． 19．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣1）均在直线l上． （1）若抛物线C与直线l有交点，求出a的取值范围； （2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+3时，函数y的最大值﹣4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 20．（2024•兴山县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx2﹣3（m+1）x+2m+3． （1）若抛物线与x轴只有一个交点，试确定m的值； （2）若抛物线与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且|x1x2|＜4，x1，x2，m均为整数． ①求抛物线的解析式； ②若t≤x≤t+1时，y的最小值为﹣3，求t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数 课标要求 考点 考向 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二 次 函 数 考向一 二次函数的图象与性质 考向二 待定系数法求二次函数的解析式 考向三 二次函数与系数a,b,c关系的判断 考向四 二次函数图象的实际应用 考点一 二次函数 ►考向一 二次函数的图象与性质 解题技巧： 1．（2022•湖北）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解． 【解答】解：∵y＝（x+m）2+n， ∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n）， ∵抛物线顶点在第四象限， ∴m＜0，n＜0， ∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的关系． 2．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　） A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴， ∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2， ∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 3．（2022•荆门）如图，函数y的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t，则t的取值范围是 　 　． 【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围． 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2， 由一次函数yx（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x， ∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）， ∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3， ∴2＜x3， ∴t， ∴t＜1． 故答案为：t＜1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围． 4．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣4，从而求得x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0， 解得x1＝﹣5，x2＝4， ∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4， ∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5）， 把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8， 若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4， ∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4是解题的关键． ►考向二 待定系数法求二次函数的解析式 解题技巧： 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 5．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 　　 ． 【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解． 【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， ∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点， 当k≠0时，此函数是二次函数， ∵它们的图象与x轴都只有一个交点， ∴它们的顶点分别在x轴上， ∴0， 解得：k＝﹣1， ∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2， ∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4， 综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4， 故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4． 【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键． ►考向二 二次函数与系数a,b,c关系的判断 解题技巧： 二次函数y＝ax2 +bx+c(a≠0)的图象与字母系数a，b，c之间的关系 开口方向 开口向上 a＞0 与 y 轴的交点 过原点 c =0 与y轴交于正半轴 c＞0 开口向下 a＜0 与y轴交于负半轴 c＜0 对称轴位置 对称轴为y轴 =0即b=0 与 x轴的交点 利用b²-4ac的符号判断与x：交点的个数 对称轴在 y轴左侧 ＜c即a，b同号 特殊取值关系 当x=±1时,y=a±b+c 当x=±2时,y=4a±ab+c 对称轴在y轴右侧 ＞0即a，b异号 当 =m时,b+2am=0 6．（2024•湖北）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣2），与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 【分析】依据题意，由抛物线顶点为（﹣1，﹣2），故可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2，从而y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2，则b＝2a，c＝a﹣2，结合抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c＝a﹣2＞0，则a＞2＞0，故可判断A、B；又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），从而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故可判断C；又b＝2a，c＝a﹣2，可得b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故可判断D． 【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为（﹣1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2． ∴y＝a（x2+2x+1）﹣2＝ax2+2ax+a﹣2． 又抛物线为y＝ax2+bx+c， ∴b＝2a，c＝a﹣2． ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＝a﹣2＞0． ∴a＞2＞0，故A、B均不正确． 又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故C正确． 由b＝2a，c＝a﹣2， ∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 7．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论： ①2a+b＞0； ②bc＜0； ③ac； ④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0； 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判断①错误；由图象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判断②错误；而x＝3时y＜0，知x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，ac，判断③正确；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1•x2＜0，判断④正确． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①错误； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0， ∴bc＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0， ∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0， ∴ac，故③正确； 若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3， ∴﹣3＜x1•x2＜0，故④正确， ∴正确的有：③④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，涉及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 8．（2023•鄂州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据二次函数的图象及性质可得a＜0，b＝﹣2a，b＜0，可判断结论①；由x＝2处的函数值可判断结论②；由x＝﹣1处函数值可判断结论③； 根据x1+x2＞2得到点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离可判断结论④． 【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0， 二次函数对称轴为x＝1，则， ∴b＝﹣2a，b＞0， ∴ab＜0，故①正确； ∵过点（﹣1，0）， ∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为（3，0）， 由函数图象可得x＝2时y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故②正确； ∵x＝﹣1时y＝0， ∴a﹣b+c＝0， b＝﹣2a代入得：3a+c＝0，故③错误； ∵对称轴是直线x＝1， ∴若， 当x1+x2＞2时，点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离， ∵二次函数图象开口向下， ∴y1＞y2，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 9．（2024•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　 　（填写序号）． 【分析】通过对称轴可判断①；（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，所以若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，判断②正确；根据抛物线的最大值判断③；根据点A和点B离对称轴的距离判断④． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵a＜0， ∴b＜0，故①错误； ∵0＜m＜1， ∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1， 又∵a＜0， ∴x＝m﹣1时，y＞1， ∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确； 由①可得， ∴，即﹣1＜b＜0， 当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c， 设顶点线坐标为， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1）， ∴﹣1﹣b+c＝1， ∴c＝b+2， ∴， ∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2， ∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确； ∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2， 又， ∴点A（x1，y1）离较远， ∴对称轴， 解得：，故④正确； 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键． 10．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论： ①b＜0； ②4ac﹣b2＜4a； ③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则． 其中正确的是 　 　（填写序号）． 【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 n≥3，得出 求出m的取值范围，即可判断④正确． 【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧， ∵（n，0）中n≥3， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即a＜0， 把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1， 即b＝1﹣a﹣c， ∵a＜0，c＜0， ∴b＞0， 故①错误； ②∵a＜0，b＞0，c＜0，， ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0， 即mn＞0， ∵n≥3， ∴m＞0， ∴， 即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方， ∴， ∵4a＜0， ∴4ac﹣b2＜4a， 故②正确； ③∵m＞0， ∴当 n＝3 时，， ∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧， ∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离， ∵a＜0，抛物线开口向下， ∴距离抛物线越近的函数值越大， ∴t＞1， 故③正确； ④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0， ∵方程有两个相等的实数解， ∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0． ∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c， ∴（a+c）2﹣4ac＝0， 即a2+2ac+c2﹣4ac＝0， ∴（a﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0， 即a＝c， ∵（m，0），（n，0）在抛物线上， ∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根， ∴， ∴， ∵n≥3， ∴， ∴． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ►考向四 二次函数图象的实际应用 11．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　　 m． 【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：令y＝0，则（x﹣10）（x+4）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴A（10，0）， ∴OA＝10m． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． 12．（2023•襄阳）如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（m）与篮球距离出手点的水平距离x（m）之间的函数关系式是y（x）2．下列说法正确的是 　 　（填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m； ②篮球出手点距离地面的高度为2.25m． 【分析】先求y（x）2的顶点为（1.5，3.5），再求x＝0时y的值即可判断． 【解答】解：由y（x）2的顶点为（1.5，3.5）， 得篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m，即①正确； 由y（x）2当x＝0时，y＝﹣0.2×2.25+3.5＝3.05，即②不正确； 故答案为：①． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的应用，充分利用函数表达式是关键． 13．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为yx2x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 　 m时，竖直高度达到最大值． 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可． 【解答】解：yx2x+2（x﹣8）2+4， ∵0， ∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4， ∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值． 故答案为：8． 【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键． 1．（2024•武汉模拟）函数y＝ax（a，b为常数，且a＞0，b＜0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】令y＝0，得出函数图象与x轴的交点情况，再对x＜0时，函数图象所在位置进行判断即可解决问题． 【解答】解：令y＝0得， ， 因为x≠0， 所以ax3＝﹣b， 解得x． 因为a＞0，b＜0， 所以x0， 则函数图象与x轴的正半轴有一个公共点， 所以A、C选项不符合题意． 当x＜0时， y＝ax0， 所以此时函数的图象在第三象限， 所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象，能根据所给函数解析式对其图象进行正确的分析是解题的关键． 2．（2024•远安县模拟）已知两个二次函数y1，y2的图象如图所示，那么函数（a1，a2，b，c为常数）的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y1，y2的图象可得a1＜a2＜0，即可得出a1﹣a2＜0，然后根据二次函数的性质确定函数的图象． 【解答】解：根据二次函数y1，y2的图象可得a1＜a2＜0， ∴a1﹣a2＜0， 则函数（a1，a2，b，c为常数）是二次函数，函数的开口向下， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数中依据二次项系数确定函数的开口方向，依据a和一次项系数b确定对称轴的位置是关键． 3．（2024•巴东县模拟）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）、N（x1，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2.设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2，则t的取值范围是（　　） A．t＜1 B．t≤1 C．t＜2 D．t≤2 【分析】由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于2，利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：①当x1≥t时，恒成立． ②当x1＜x2≤t时，恒不成立． ③当x1＜t，x2＞t时， ∵抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1+x2＞4，都有y1＜y2， 当x1+x2＝4，且y1＝y2时，对称轴为直线x＝2， ∴满足条件的值为：t≤2． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2024•铁山区二模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣ax2+3x﹣c与y＝2x2﹣3x﹣c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣1 【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣ax2+3x﹣c关于x轴对称的抛物线为﹣y＝﹣ax2+3x﹣c，即y＝ax2﹣3x+c， ∵抛物线y＝﹣ax2+3x﹣c与y＝2x2﹣3x﹣c+a关于x轴对称， ∴， 解得a＝2，2c＝a＝2， ∴a+2c＝2+2＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线y＝﹣ax2+3x﹣c化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键． 5．（2024•十堰一模）二次函数y＝ax2+bx+2（a，b为常数）的图象的顶点在第二象限，且经过点（1，0），则m＝a﹣b+2的值的变化范围是（　　） A．0＜m＜2 B．﹣3＜m＜2 C．2＜m＜4 D．0＜m＜4 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到，进而得到，，即可解答 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象的顶点在第二象限，且经过点（1，0）， ∴，a+b+2＝0， ∴， ∴a，b同号， ∵a+b＝﹣2， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣b＞0， ∵a+b＝﹣2， ∴a＝﹣b﹣2， ∴m＝a﹣b+2＝﹣b﹣2﹣b+2＝﹣2， ∴， ∵b＜0， ∴， ∴m＞0， ∵a+b＝﹣2， ∴b＝﹣2﹣a， ∴m＝a﹣b+2＝a﹣（﹣2﹣a）+2＝2a+4， ∴， ∵a＜0， ∴， ∴m＜4， ∴0＜m＜4， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的性质及数形结合思想进行判定． 【解答】解：①由题意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∵a＜0， ∴b＜0，c＞0， ∴abc＞0， 故①是错误的； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）． ∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， 故②是正确的； ③∵b＝2a，c＝﹣3a， ∴3b+2c＝6a﹣6a＝0， 故③是正确的； ④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）． ∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1， 当点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2， ∴m≤﹣1或， 解得：m＜0， 故④是错误的， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 7．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， 所以abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c， 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：D． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 8．（2024•荆州一模）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝0；④x1+x2＝2；x1•x2＜0．其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【分析】依据题意，由二次函数的图象和性质，对称轴、与x轴、y轴的交点坐标，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个进行判断，得出答案． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确． ∵点A到直线x＝1的距离大于1， ∴点B到直线x＝1的距离大于1， 即点B在（2，0）的右侧， ∴当x＝2时，y＞0， 即4a+2b+c＞0， ∴abc＞0，故②错误． ∵C（0，c），OA＝OC， ∴A（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，故③正确． 由A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有x1+x22，x1•x20，故④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 9．（2024•大冶市三模）已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣2，从而求得x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴直线y＝﹣x﹣6与抛物线的交点的横坐标为1，﹣4， ∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2）， 把y＝2代入y＝﹣x﹣6，解得x＝﹣8， 若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣4，x2+x3＝﹣4， ∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得0＜x1＜4，x2+x3＝﹣4是解题的关键． 10．（2024•西陵区模拟）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝2，x＝5时，y＞0， ∴x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴， ∴b＝﹣4a， ∴4a+b＝0， 故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， 若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离， ∴y1＞y2，故不正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 11．（2024•江夏区模拟）P（c，m）是二次函数y1＝（x﹣b）（x﹣b﹣1）图象上一点，Q（c，n）是一次函数y2＝x﹣b图象上一点，且m＞n，若A（a，3）是PQ上一点，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【分析】将点P、Q分别代入对应的解析式，根据m＞n列出不等式（c﹣b）（c﹣b﹣1）＞c﹣b，根据A（a，3）是PQ上一点得到a＝c，继而不等式转化成（a﹣b）（a﹣b﹣1）﹣（a﹣b）＞0，设a﹣b＝t，则有t（t﹣2）＞0，所以t＞2或t＜0，根据选项选择符合条件的选项即可． 【解答】解：∵P（c，m）是二次函数y1＝（x﹣b）（x﹣b﹣1）图象上一点， ∴m＝（c﹣b）（c﹣b﹣1）， ∵Q（c，n）一次函数y2＝x﹣b图象上一点， ∴n＝c﹣b， ∵m＞n， ∴（c﹣b）（c﹣b﹣1）＞c﹣b， ∵A（a，3）是PQ上一点， ∴a＝c， ∴（a﹣b）（a﹣b﹣1）﹣（a﹣b）＞0， 设a﹣b＝t，则有t（t﹣1）﹣t＞0， t2﹣2t＞0，t（t﹣2）＞0， ∴t＞2或t＜0， ∴a﹣b＞2或a﹣b＜0， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键． 12．（2024•青山区模拟）已知点M是抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数）的顶点，直线y＝x+3与坐标轴分别交于A，B两点，则△ABM的面积为（　　） A． B．6 C．4 D． 【分析】将抛物线解析式变形为顶点式，即可找出点M在直线y＝x﹣1上，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B的坐标，过点O作OE⊥直线y＝x+2于点E，延长EO交直线 y＝x﹣1于点F，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可求出OE的长度，同理可求出OF的长度，进而可求出EF的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△ABM的面积． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1， ∴点M的坐标为（m，m﹣1）， ∴点M在直线 y＝x﹣1上． ∵直线y＝x+3与坐标轴分别交于点A、B两点， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标（0，3）． 过点O作OE⊥直线y＝x+3于点E，延长EO交直线 y＝x﹣1于点F，如图所示． ∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， ∴， ． 同理，可求出：， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，通过解直角三角形求出点△ABM中 AB边上的高是解题的关键． 13．（2024•黄石港区一模）如图，在正方形ABCD中，点A，C的坐标分别是（1，2），（﹣1，﹣2），点B在抛物线的图象上，则b+c的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】作MN⊥x轴，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，证明△AMB≌△BNC（AAS）得到CN＝BM，BN＝AM，设B（m，n），可得方程组，解方程组得到B（2，﹣1），代入二次函数解析式得2b+c＝1，又由抛物线经过原点得c＝0，即可得到，再代入b+c计算即可求解． 【解答】解：作MN⊥x轴，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∠AMB＝∠BNC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABM+∠CBN＝90°， ∵∠ABM+∠BAM＝90°， ∴∠BAM＝∠CBN， ∵∠AMB＝∠BNC＝90°， ∴△AMB≌△BNC（AAS）， ∴CN＝BM，BN＝AM， 设B（m，n）， ∵点A，C的坐标分别是（1，2），（﹣1，﹣2）， ∴， 解得， ∴B（2，﹣1）， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， ∴2b+c＝1， ∵抛物线经过原点（0，0）， ∴c＝0， ∴2b+0＝1， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，证明△AMB≌△BNC得到CN＝BM，BN＝AM是解题的关键． 14．（2024•武昌区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣1＜m＜0＜n．下列结论： ①a﹣b+c＞0； ②若a＞0，当时，y随x的增大而减小； ③若a（x﹣m）（x﹣n）﹣1＝0有一个根是大于m的负数，则b2﹣4ac＜﹣4a； ④． 其中正确的结论是 　 　．（填写序号） 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点逐一判断各项即可． 【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为 m，n，满足﹣10，故①正确； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣10时，﹣1/2＜b/2a＜0， ∴当x＜﹣1/2时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为 m，n，y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n）； ∵a（x﹣m）（x﹣n）﹣1＝0 有一个根是大于m的负数， ∴抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝1的交点中有一 个交点的横坐标大于m小于0， ∴a（x﹣m）（x﹣n）＝1有两个根，且两根之积＜0， ∴c/a＜0， ∴ac＜0， ∴b2﹣4ac＞0，故③错误； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣10，当x＝0时，y＝c＞0， ∴a﹣b＞0，c＞0，n，满足﹣10， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴a﹣b＞0，c＞0， ∴2a﹣b＞0，a﹣c＜0， 故④正确； 综上所述，本题的正确答案为①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查二次函数与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用相关知识解题． 15．（2024•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（c＜0）的图象过点（1，m），交x轴于点A，B，（A在B的左边），交y轴于点C，且OA＝OC．若m＞0，现有以下结论： ①抛物线对称轴为直线x＝2； ②关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+c＝0有一个根为； ③当0≤y≤m时，y随x增大而增大； ④． 其中正确的序号为 　 　． 【分析】根据题意求出抛物线的对称轴，即可判断①； 求出抛物线与x轴的交点坐标，即可判断②； 根据抛物线的对称性，即可判断③； 根据抛物线的对称轴得到a与c的关系，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可判断④． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c（c＜0）， ∴对称轴为直线x2，故①正确； ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c（c＜0）的图象过点（1，m），且OA＝OC， ∴A（﹣c，0），C（0，c）， ∴ac2﹣4ac+c＝0， ∴ac﹣4a+1＝0， ∴a（c﹣4）＝﹣1， ∴c﹣4， ∴关于x的一元二次方程ax2﹣4ax+c＝0有一个根为，故②正确； ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c（c＜0）的图象过点（1，m）， ∴m＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0， ∴a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝2， ∴当0≤y≤m时，y随x增大先增大后减小，故③错误； ∵ac2﹣4ac+c＝0， ∴ac﹣4a+1＝0， ∴c﹣4， ∴（c﹣4）m＝﹣m， .'．（c﹣4）m•m•（﹣3a+c）＝3﹣c， ∴（c﹣4）m﹣1＝3﹣c﹣1＝2﹣c＞2， ∴（c﹣4）m﹣1＞1， ∴（c﹣4）m＞2， ∴， ∴， ∵m＜0， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2024•巴东县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）三点． （1）求该二次函数解析式； （2）将该二次函数y＝ax2+bx+c图象平移使其经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4，求平移后的二次函数的解析式． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【解答】解：（1）把A（2，3），B（3，6）、C（﹣1，6）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+3； （2）若将该二次函数y＝ax2+bx+c图象平移后经过点D（5，0），且对称轴为直线x＝4， 设平移后的二次函数的解析式为y＝（x﹣4）2+k， 将点D（5，0）代入y＝（x﹣4）2+k，得（5﹣4）2+k＝0， 解得，k＝﹣1． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为y＝（x﹣4）2﹣1＝x2﹣8x+15． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． 17．（2024•宜昌模拟）如图，函数y＝x2﹣5x+6的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． （1）已知一次函数的图象过点B，C，求这个一次函数的解析式； （2）当0≤x≤3时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+b（b为常数）的值大于函数y＝x2﹣5x+6的值，直接写出b的取值范围． 【分析】（1）令y＝0，则x2﹣5x+6＝0，可求B（3，0），当x＝0，则y＝x2﹣5x+6＝6，可求C（0，6），待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意知，y＝﹣2x+b的图象与直线BC平行，如图，结合图象求解作答即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣5x+6＝0， 解得，x＝2或x＝3， ∴B（3，0）， 当x＝0，则y＝x2﹣5x+6＝6，即C（0，6）， 设一次函数解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，6）代入得， ， 解得，， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6； （2）由题意知，y＝﹣2x+b的图象与直线BC平行， 如图， ∵当0≤x≤3时，对于x的每一个值，﹣2x+b＞x2﹣5x+6， ∴由图可知：b＞6． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键． 18．（2024•谷城县一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣1（m为常数）的顶点为P． （1）当m＝1时，写出此时抛物线的顶点P坐标； （2）若抛物线与y轴交于点C（0，t），求出t的取值范围； （3）当3m≤x≤m+1时，函数的最大值为m，求m的值． 【分析】（1）化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）由题意得t＝m2﹣2m﹣1＝（m﹣1）2﹣2≥﹣2，即可求得t的取值范围是t≥﹣2； （3）先求抛物线的对称轴，然后分m，m两种情况，利用二次函数的图象及性质可以分别求出m的值． 【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点P坐标为（1，﹣3）； （2）∵抛物线与y轴交于点C（0，t）， ∴t＝m2﹣2m﹣1， ∵t＝m2﹣2m﹣1＝（m﹣1）2﹣2≥﹣2， ∴t的取值范围是t≥﹣2； （3）在y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣1中，对称轴为直线xm， ∵3m≤x≤m+1， ∴3m＜m+1， ∴m， 若m，即m时， 当x＝m+1时，函数有最大值m， ∴（m+1）2﹣2m（m+1）+m2﹣2m﹣1＝m， 解得，m＝0； 若m，即m时， 当x＝3m时，函数有最大值为m， ∴（3m）2﹣2m•3m+m2﹣2m﹣1＝m， 解得m（舍去）或m＝1（舍去）， 综上所述，m的值为0． 【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题关键是灵活运用二次函数的图象及性质并注意分类讨论思想的运用． 19．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣1）均在直线l上． （1）若抛物线C与直线l有交点，求出a的取值范围； （2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+3时，函数y的最大值﹣4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，求出y＝x﹣2；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣2，则有ax2+x+1＝0，Δ＝1﹣4a≥0即可求解； （2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，x＝﹣1或x＝3；①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，x＝m+3＝﹣1时，y有最大值﹣4，m＝﹣4； ②在对称轴x＝1右侧，y随x增大而减小，x＝m＝3时，y有最大值﹣4； （3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a，直线AB的解析式为y＝x﹣2，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣2，Δ＝1﹣4a＞0，则a，即可求a的范围； 【解答】解：（1）点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣1）代入y＝kx+b， ∴． ∴． ∴y＝x﹣2． 联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣2，则有ax2+x+1＝0， ∵抛物线C与直线l有交点， ∴Δ＝1﹣4a≥0， ∴a且a≠0； （2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1． ∵m≤x≤m+3时，y有最大值﹣4， ∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4， ∴x＝﹣1或x＝3， ①在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m+3＝﹣1时，y有最大值﹣4． ∴m＝﹣4； ②在对称轴直线x＝1右侧，y随x增大而减小， ∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4． 综上所述：m＝﹣4或m＝3； （3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1， 即a≤﹣2 ②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣5， 即a， 直线AB的解析式为y＝x﹣2， 抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣2， ∴ax2+x+1＝0， Δ＝1﹣4a＞0， ∴a． ∴a的取值范围为a或a≤﹣2． 【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 20．（2024•兴山县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx2﹣3（m+1）x+2m+3． （1）若抛物线与x轴只有一个交点，试确定m的值； （2）若抛物线与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且|x1x2|＜4，x1，x2，m均为整数． ①求抛物线的解析式； ②若t≤x≤t+1时，y的最小值为﹣3，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由抛物线与x轴只有一个交点，从而Δ＝9（m+1）2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＝0，计算即可得解； （2）①依据题意得，x1x22，又|x1x2|＜4，可得2，又x1+x23，且x1，x2，m均为整数，从而m＝﹣1或﹣3或3，又结合抛物线与x轴有两个交点， 可得Δ＝（m+3）2＞0．求出m＝﹣1或3，进而可以得解； ②依据题意，根据两个抛物线，结合二次函数的性质进行分类讨论即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴Δ＝9（m+1）2﹣4m（2m+3） ＝9m2+18m+9﹣8m2﹣12m ＝m2+6m+9 ＝（m+3）2＝0． ∴m＝﹣3． （2）①由题意得，x1x22． 又|x1x2|＜4， ∴|2|＜4． ∴﹣4＜24． ∴﹣62． ∴﹣2． 又x1+x23，且x1，x2，m均为整数， ∴m＝﹣1或﹣3或3． 又抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝（m+3）2＞0． ∴m≠﹣3． ∴m＝﹣1或3． ∴当m＝﹣1时，抛物线为y＝﹣x2+1；当m＝3时，抛物线为y＝3x2﹣12x+9． ②若抛物线为y＝﹣x2+1， ∴对称轴是y轴，开口向下． 当t+1≤0时，即t≤﹣1时， ∴当x＝t时，y取最小值为﹣t2+1＝﹣3， ∴t＝﹣2或t＝2（舍去）． 当t≥0时， ∴当x＝t+1时，y取最小值为﹣（t+1）2+1＝﹣3， ∴t＝﹣3（舍去）或t＝1． 当t＜1＜t+1时，若1﹣t＞t+1﹣1，即0＜t， ∴当x＝t时，y取最小值为﹣t2+1＝﹣3， ∴t＝﹣2或t＝2，均不合题意，舍去； 若1﹣t＜t+1﹣1，即t＜1， ∴当x＝t+1时，y取最小值为﹣（t+1）2+1＝﹣3， ∴t＝﹣3或t＝1，均不合题意，舍去． 综上，t＝1或t＝﹣2． ②若抛物线为y＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣2）2﹣3， ∴对称轴是直线x＝2，开口向上． 当t+1≤2时，即t≤1时， ∴当x＝t+1时，y取最小值为3（t+1﹣2）2﹣3＝﹣3， ∴t＝1． 当t≥2时， ∴当x＝t时，y取最小值为3（t﹣2）2﹣3＝﹣3， ∴t＝2． 当t＜2＜t+1时，即1＜t＜2， ∴当x＝2时，y取最小值为3（2﹣2）2﹣3＝﹣3， ∴1＜t＜2，符合题意． 综上，1≤t≤2． 综上所述，当m＝﹣1时，t＝1或t＝﹣2；当m＝3时，1≤t≤2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$