8.2立方根（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第八章 实数 8.2 立方根 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示数的立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根. 2. 能用有理数估计一个开立方不能开尽的数的立方根的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力. 3. 经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力. 4. 体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯. 情景导入 请问图片中展示的物品是什么? 若这个物体的体积为 216 cm²，思考如何求此物体的棱长. (1) 它的形状有什么特点? (2) 在这个问题中，涉及到什么计算问题? (3) 你能找出一个数，使它的立方等于 216 吗? 是个正方体，各棱长相等 根据体积求棱长 体积＝棱长3 棱长＝6 cm 新知探究 正方体形状的包装盒 正方体形状的包装盒 (1)如果包装盒的棱长是2dm， 则包装盒的容积是_________ (2)如果包装盒的容积是8dm3， 则包装盒的棱长是多少呢？ 8dm3 正方体形状的包装盒 (2)如果包装盒的容积是8dm3，则包装盒的棱长是多少呢？ 解：设这种包装盒的棱长为 x dm，则 x3=8 这就是要求一个数，使它的立方等于 8. 因为 23 = 8，所以 x = 2. 答：包装盒的棱长是 2 dm. 思考 如果一个数的平方等于8，这个数是 ； 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 探究 因为 13=1，所以 1 的立方根是 ( )； 因为( )3=0.064，所以 0.064 的立方根是 ( )； 因为( )3=-8，所以 -8 的立方根是 ( )； 因为( )3= ，所以 的立方根是 ( )； 因为( )3=0，所以 0 的立方根是 ( )； 根据立方根的意义填空. 1 0.4 0.4 0 0 -2 -2 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？0的立方根是多少？ 例题讲解 例1 求下列各数的立方根： (1) (-2)3； (2) 343； (3) -64； (4) . 解： (1)因为(-2)3的立方根是-2，即 (2)因为73 = 343，所以343的立方根是7，即 (3)因为(-4)3 = -64，所以-64的立方根是-4，即 (4)因为 ，所以 的立方根是 ，即 课堂练习 1.判断题。 (1) -3是-27的立方根； (2) ±3是27的立方根； (3) (-1)3的立方根是-1； (4) 的立方根是-2； 解： (1) 对。 (2) 错，-3是-27的立方根。 (3) 对。 (4) 错， ，则-2的立方根是 。 2.求下列各数的立方根： (2) 0.008； (1) -1； 解： (1)因为(-1)3 = -1，所以-1的立方根是-1，即 (2)因为(0.2)3 = 0.008，所以0.008的立方根是0.2， 即 (3)因为 ，所以 的立方根是 ，即 3.如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积是216cm3，它的棱长是多少？ 解：设魔方的棱长为 x cm，则 x3=216 这就是要求一个数，使它的立方等于 216. 因为 63 = 216，所以 x = 6. 答：魔方的棱长为 6 cm。 概念归纳 正数的立方根是______，负数的立方根是______，0的立方根是______. 正数 负数 0 立方根等于本身的数有0，±1. 我们知道，正数 a 的平方根可以用 表示； 类似于平方根，一个数 a 的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3是根指数. 一个数的立方根该怎样表示？ 一个数的立方根该怎样表示？ 例如， 表示 8 的立方根， ； 表示 -8 的立方根， . 根指数 被开方数 中的根指数 3 不能省略. 实际上省略了 中的根指数 2. 因此 也可以读作 “二次根号 a”. 不能省略 数的平方根与数的立方根有什么区别和联系吗？ 平方根 立方根 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的开方 0 的平方根与立方根都是 0 平方根 立方根 区 别 概念 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 性质 正数 ____个，互为_______ ____个，正数 负数 _____________ ____个，负数 表示方法 , 根指数2常省略不写 ，根指数3不能省略 被开方数取值范围 _________ ________ 2 1 没有平方根 1 非负数 任意数 相反数 探究 计算 和 ，它们有什么关系？ 和 呢？你能从中发现什么规律？ 解: 例题讲解 例2 求下列各式的值： 解： 在例1、例2中，我们是利用开立方与平方的关系求立方根的。实际上，很多有理数的立方根( )是无限不循环小数，我们可以用有理数近似的地表示它们。 在上节课我们学会了用计算器求平方根，那么你会利用计算器求立方根吗？ 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）. 有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根. 探究 用计算器计算··· ··· 你能发现什么规律？ ··· ··· ··· 0.06 0.6 6 60 被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 ··· 用计算器计算 (结果保留小数点后三位)，并利用你发现的规律求出 的近似值。 根据上面发现的规律，可得： 课堂练习 1. 求下列各式的值： 解： 2.用计算器求下列各式的值： (结果保留小数点后三位) 显示： 19 所以： (1)依次按键 6 8 5 9 = 解： 2.用计算器求下列各式的值： (结果保留小数点后三位) 显示： 41 所以： (2)依次按键 6 8 9 2 1 = 解： 2.用计算器求下列各式的值： (结果保留小数点后三位) 显示： 0.3039911124 所以： (3)依次按键 0 · 0 2 8 0 9 2 = 解： 3.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ 解： (1)因为13=1，23=8，所以1＜ ＜2. (2)因为43=64，53=125，所以4＜ ＜5. (3)因为83=512，93=729，所以8＜ ＜9. (4)因为(-4)3=-64，(-3)3=-27，所以-4＜ ＜-3. 分层练习 基础题 1.64的立方根是( ) A A.4 B. C.8 D. 2.[2024· 邢台襄都区月考] 已知 ，则下列说法正确的是 ( ) B A.是的立方根 B.是 的立方根 C.是的立方根 D.是 的立方根 3.[2024· 天津宝坻区期中] 若一个数的立方根是 ，则该数为( ) C A. B. C. D. 4.下列说法正确的是( ) D A.负数没有立方根 B.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D.一个数的立方根与被开方数同号 30 5.若的立方根是最大的负整数，是125的立方根，则 ____. 6.若，满足，则 的立方根是 ____. 7.比较大小：___3;___ . 31 8. 求下列各式的值: （1） ； 【解】 . （2） . . 32 9.求下列各式中的 （1） . 【解】 ， . . . （2） . ， . . . 33 综合应用题 10. 若，，则 的值是( ) C A. B. C. 0.214 D. 11. 若，则 的值为( ) C A. 64 B. C. D. 343 【点拨】，即， . .故选C. 12. 已知的立方根是3， 的算术平方根是4， 则 ( ) B A. 5 B. 3 C. 1 D. 9 【点拨】由题意得， ， 解得， . 把，代入，得 .故选B. 35 13.已知是的整数部分，是 的小数部分，则 _________. 14.如果一个长方体三条棱长之比为，体积为 ， 那么这个长方体的最短棱的长度是_____ . 【点拨】设长方体的三条棱长分别为，， . 根据题意得 . 解得 . 这个长方体的最短棱的长度是 . 36 15.求下列各式中 的值： （1） ; 解：由,得, . （2） ； 解：由,得, . （3） . 解：等式两边同乘4，得 ， . 37 16.已知的平方根是,的立方根是 ，求 的立方根. 解:的平方根是，的立方根是 , ，,解得， ， ， 的立方根是4. 38 17.[2024南阳期中] 已知一个正数 的两个平方根分别为和 ，且 . （1）求和 的值； 【解】由题意得，.将 代入，得 ， 解得， . 39 （2）求 的立方根. ，， . . . 的立方根为 . 40 创新拓展题 18. 跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座 的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是 ，希望求它的立 方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.你 知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的步骤试一 试. ， ， 且 ， . 能确定59 319的立方根是个两位数. 的个位数字是9， ， 能确定59 319的立方根的个位数字是9. ③如果划去59 319后面的三位数319得到数 ， 能确定59 319的立 方根的十位数字是 的立方根是39. 42 （1）现在换一个数 ，按这种方法求立方根，请完成 下列填空： ①它的立方根是个__________位数； ②它的立方根的个位数字是___； ③46 656的立方根是____. 两 43 （2）求195 112的立方根.（过程可按题目中的步骤写） 【解】①， ， 且 ， 能确定195 112的立方根是个两位数. ②的个位数字是2， ， 能确定195 112的立方根的个位数字是8. ③如果划去195 112后面的三位数112得到数195. ， , . 能确定195 112的立方根的十位数字是5. 的立方根是58. 44 习题 复习巩固 1. 求下列各式的值： 解： 2.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后三位)： 显示： 17.728 433 77 所以： (1)依次按键 5 5 7 2 = 解： 显示： -0.425 290 370 3 所以： (2)依次按键 1 ÷ 1 3 = - 解： 2.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后三位)： 显示： 2.961985444 所以： (1)依次按键 2 5 · 9 8 6 5 5 8 = 解： 2.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后三位)： 3.比较下列各组数的大小： 解： (1) 因为7 < 23 , 所以 < 2； (2) 因为9 < 2.53 , 所以 < 2.5； (3) 因为-3 > , 所以 > ； 综合运用 4.求下列各式中x的值： (1) x3 = -0.064; (2) x3 -3 = ; (3) (x+1) 3 = 8. 解： (1) x3 = -0.064 ，因为(-0.4) 3 =-0.064，所以 x = -0.4。 (2) x3 -3 = ，可化简为 ，又因为 ， 所以 。 (3) 因为(x+1) 3 = 8，则 x+1=2，所以 x = 1。 5.把一个长、宽、高分别为21dm，20dm，19dm的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块(不计损耗)，这个正方体的棱长是多少分米(结果保留小数点后两位)？ 解：设正方体的棱长是x dm，则 x3 = 21×20×19 解得 x ≈ 19.98 答：正方体的棱长是19.98 dm。 6.如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为 22 600cm3，高h等于地面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？ (π取3.14，结果保留小数点后两位.) 解：设底面半径r是 x cm，则 h = 5.48 x。 π× x2×5.48 x = 22 600 解得 x ≈ 19.30 答：底面半径r是 19.30 cm。 h r 7.一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？n倍呢？ 解:设正方体的棱长为x，则体积为x3。 体积 x3 8x3 27x3 64x3 123x3 216x3 ··· nx2 棱长 x 2x 3x 4x 5x 6x ··· 答:体积扩大为原来的8倍，棱长变为原来的2倍；体积扩大为原来的27 倍，棱长变为原来的3倍；体积扩大为原来的n倍，棱长变为原来的 倍。 拓广探索 (1)求 的值。对于任意数a， 等于多少？ 解： 8. (2)求 的值。对于任意数a， 等于多少？ 解： 9.任意找一个数，比如1 234，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方······如此进行下去，你有什么发现？ -1234 -1 0 1 1234 ··· -1 -1 -1 -1 ··· -10.7260 -2.2054 -1.3016 -1.0919 ··· 0 0 0 0 ··· 解: 1 1 1 1 ··· 10.7260 2.2054 1.3016 1.0919 ··· -1234 -1 0 1 1234 ··· -1 -1 -1 -1 ··· -10.7260 -2.2054 -1.3016 -1.0919 ··· 0 0 0 0 ··· 1 1 1 1 ··· 10.7260 2.2054 1.3016 1.0919 ··· a = 0或±1时： 每次开立方所得的结果均为它们本身； a <1时：每次开立方所得的结果逐渐增大，并趋近于 1； a >1时：每次开立方所得的结果逐渐减小，并趋近于 1。 课堂小结 立方根 定义 性质 求一个数的立方根 用计算器求立方根 ——开立方 ——探究规律 如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的________或三次方根. 立方根 正数的立方根是_______； 负数的立方根是_______； 0的立方根是_______. 正数 负数 0 $$