精品解析：湖北省云学名校联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

湖北省“云学名校联盟”2025届高三年级2月联考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件根据复数的模的公式求结论. 【详解】. 故选：D. 2. 已知集合，则P的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出集合，再根据真子集的概念即可求解． 【详解】由，解得或， 所以， 所以P的真子集个数为 故选：A. 3. 已知数列为等比数列，为数列前项积，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 分析】由条件求，再结合等比数列性质求，由此可得结论. 【详解】由题意，数列为等比数列，为数列前项积， 所以， ， 则， 可得 故选：B. 4. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得，进而求得. 【详解】因为，解得， 则， 则， 则 故选：A 5. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 6. 在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过补形为长方体的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的体积. 【详解】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 7. 近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对立事件的概率公式求出事件发生的概率，再分两种情况求出事件发生的概率，利用条件概率公式求解即可. 【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种， “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”的对立事件是“甲和乙都不前往陆羽故园”， 甲不选陆羽故园有5种选法，乙不选陆羽故园也有5种选法， 所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种， 则， “甲和乙至少有一个人前往陆羽故园且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况： （1）甲去陆羽故园，乙不去， 甲去陆羽故园有1种选法，乙从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法， 共种情况； （2）乙去陆羽故园，甲不去， 乙去陆羽故园有1种选法，甲从除陆羽故园外的5个景点选有5种选法， 共种情况， 所以， 所以. 故选：. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件列不等式，化简求得离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，，  ，  又， 所以， 又因为过的直线与双曲线的左支交于A，B两点， 所以， 即，， 可得， 又， 所以双曲线离心率的取值范围是 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某射击运动员在一次射击中射靶次，命中的环数依次为，，，，，关于此次射击的成绩，以下论述中正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是 【答案】AC 【解析】 【分析】计算样本数据的平均数判断A，确定样本数据的中位数判断B，确定样本数据的众数判断C，计算样本数据的方差判断D. 【详解】对于A，平均数是，故A正确； 对于B，，，，，从小到大排列为，，，，，故中位数为，故B错误； 对于C，众数为，故C正确； 对于D，方差为，故D错误. 故选：AC. 10. 记已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上单调递增 D. 方程在上最多有个解 【答案】BC 【解析】 【分析】结合新定义，化简函数解析式，作函数图象，结合图象逐项判断结论. 【详解】当时，； 当时，； 则， 由此可得的部分图象，如图所示， 对于A，由图象可知，函数不关于直线对称，故A错误； 对于B，由图象可知，的最大值为，故B正确； 对于C，由图象可知，在上单调递增，故C正确； 对于D， 当时，方程为常数  在  上有个解， 方程 在  上最多有个解，故D错误. 故选：BC. 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 C. 函数的曲率半径随着x变大而变大 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义结合导函数二次求导，分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，已知，则，， 根据曲率函数，可得 当，时，，，此时， 所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确； 对于B，对于，，， 则，因为，所以为偶函数， 所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B正确； 对于C，，，则函数的曲率半径， 令， 求导得， 由，得， 当时，，则函数在上单调递减， 函数在上单调递减，故C错误； 对于D，，， 则函数的曲率半径，， 依题意，，则，即， 设，，则， 则，则， 整理得，， 而，则， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息   —   对新定义进行信息提取，明确新定义名称和符号， 第二步：加工信息   —   细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化   —   如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论   —   结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为____. 【答案】24 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于零即可得解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 ， 令，解得， 展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则_____. 【答案】0 【解析】 【分析】结合求导公式求，由条件结合导数的几何意义列方程求. 【详解】由题意得，则， 因为， 所以， 因为曲线与曲线在点处的切线互相垂直， 所以， 即，解得 故答案为：. 14. 表示不超过x的最大整数，例如，已知函数与的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】先根据的定义化简的解析式，然后根据两图像恰有两个公共点，转化为对应方程恰有两个解，对方程进行换元变形转化为相对熟悉的两个函数，一个一次函数可确定所过定点，一个分段函数，然后数形结合因为这两个函数图像恰有两个交点，确定直线的斜率取值范围， 解不等式求出k的取值范围. 【详解】， ， 令，则，直线过定点，斜率为. ，，如图，作出函数和的图象，  其中，，，，，，，， 依题意，或，或，或， 即实数k取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，，四边形，均为菱形，平面底面，平面底面，M是延长线上一点，且，D为中点，连接 . （1）证明：平面 ； （2）取中点Q，求与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）延长至点N，使得M为的中点，连接CN，连接与交于点E，连接，由中位线性质分别得到，，从而，根据线面平行的判定即可证明； （2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，分别证得和，再以为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求线面角的方法求解即可. 【小问1详解】 证明：延长至点N，使得M为的中点，连接CN，连接与交于点E，连接 在中，，分别是和的中点，， 在中，，M分别是和的中点，， ， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 在三棱柱中，因为，即， 又平面底面，平面底面，底面， 所以平面，所以 同理，故，，两两垂直. 以为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，，，，，， 即，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则，，得， ， ，， 设与平面夹角为，， 即与平面夹角的正弦值为 . 16. 设 . （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简可得，令，即可得单调递增区间； （2）利用和角的范围求得角，结合正弦定理和化简整理得，再根据锐角三角形得到，代入求得的取值范围，即为周长的取值范围. 【小问1详解】 ， 由， 得， 的单调增区间为， 【小问2详解】 因为， 可得， 由题意知A为锐角，则， 由正弦定理可得， 则，， 所以 ， 因为，解得， 则，所以，则， 所以， 即周长的取值范围为 . 17. 已知： . （1）证明：有两个极值点， ； （2）对（1）中的两个极值点，，若，求a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，证明导函数有两个正根，分区间判断函数的单调性，由此证明结论； （2）结合（1）化简不等式，利用导数研究函数的单调性，由此可得结论. 【小问1详解】 令 有个零点、 又 不妨设， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增 有个极值点，为函数的极大值点，为函数的极小值点， 【小问2详解】 结合（1）可得 ∴ 令， ， 在单调递增又 . 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点和上顶点分别为P，Q且直线l经过交C于A，在x轴上方两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的倍. （1）求C的方程； （2）求面积的最大值； （3）若直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，问的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由? 【答案】（1） （2） （3）经过点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意建立的等量关系，求解即可； （2）设，，l的方程为，联立方程组由韦达定理求得三角形的面积结合基本不等式求面积的最大值即可； （3）求得直线AP的方程为，从而得到点M，N的坐标，则，，求解数量积证明.同理证得即可. 【小问1详解】 依题意有，，，， 因为， 则，解得， 故有，解得，， 则椭圆方程为 【小问2详解】 设，，l的方程为， 联立得， ， 由韦达定理有，， 则， 于是 令，，，时取等号， 则，故面积的最大值为 【小问3详解】 的外接圆经过点，理由如下： 直线AP的方程为， 令，则，故， 同理可得， 则，， 故有. ， 故，同理可证， 于是的外接圆经过点. 19. 利用计算机生成随机数来模拟实际生活中事件，然后估计相关事件发生的概率是概率统计中经常使用的方法. （1）现在用这种方法生成数列，满足：，，求后三项中每一项都不小于前一项的概率； （2）利用这种方法生成数列，，，.满足：，用表示未连续出现三次的概率，试求出的递推公式； （3）利用这种方法生成数列，满足：①，， ；②当出现“”时，操作停止，求和至多相差一项的概率（当时，）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件确定满足条件的数列的总个数，再求后三项中每一项都不小于前一项的数列的个数，结合古典概型概率公式求结论； （2）考虑第次，第次，第次取值情况，结合概率乘法公式及加法公式求解； （3）先求数列，第时才出现的概率，再结合概率公式求和至多相差一项的概率. 【小问1详解】 满足条件的数列共有个， 从中任选个数（允许重复）的选法有， 所以满足条件后三项中每一项都不小于前一项的数列，且 的数列的个数为， 所求概率为； 【小问2详解】 ①若第次是，则满足要求的概率为； ②若第次是，且第次为，则满足要求的概率为； ③若第次是，且第次为，则满足要求的概率为； 于是； 【小问3详解】 假设或经过次才会第一次出现“1”，即前次均未出现“”，其概率为， 当第一次就出现而停止时，须生成一次或生成两次，概率为， 当第次才停止时，须进行次或次，或次，其概率为， 综上，所求概率 【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键在于准确理解事件和至多相差一项的意义，结合概率公式求出对应事件的概率，再结合参考公式求结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省“云学名校联盟”2025届高三年级2月联考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则P的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 3. 已知数列等比数列，为数列前项积，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 5. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（ ） A B. C. D. 7. 近年来，各地旅游事业得到飞速发展，越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”，事件“甲和乙选择不同的景点”则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若的周长为8a，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某射击运动员在一次射击中射靶次，命中环数依次为，，，，，关于此次射击的成绩，以下论述中正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是 10. 记已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上单调递增 D. 方程在上最多有个解 11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ） A. 函数在无数个点处的曲率为1 B. 函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同 C. 函数的曲率半径随着x变大而变大 D. 若函数在与处的曲率半径相同，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为____. 13. 曲线与曲线在点处切线互相垂直，则_____. 14. 表示不超过x的最大整数，例如，已知函数与的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围是___. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，，四边形，均为菱形，平面底面，平面底面，M是延长线上一点，且，D为中点，连接 . （1）证明：平面 ； （2）取中点Q，求与平面夹角的正弦值. 16. 设 . （1）求的单调递增区间； （2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 17. 已知： . （1）证明：有两个极值点， ； （2）对（1）中的两个极值点，，若，求a的取值范围. 18. 已知椭圆左、右焦点分别为，，右顶点和上顶点分别为P，Q且直线l经过交C于A，在x轴上方两点，当l垂直于x轴时，直线OA的斜率是直线PQ斜率的倍. （1）求C的方程； （2）求面积的最大值； （3）若直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，问的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由? 19. 利用计算机生成随机数来模拟实际生活中的事件，然后估计相关事件发生的概率是概率统计中经常使用的方法. （1）现在用这种方法生成数列，满足：，，求后三项中每一项都不小于前一项的概率； （2）利用这种方法生成数列，，，.满足：，用表示未连续出现三次的概率，试求出的递推公式； （3）利用这种方法生成数列，满足：①，， ；②当出现“”时，操作停止，求和至多相差一项的概率（当时，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$