第02讲 一元一次不等式的解法及应用（5大知识点+6大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第02讲 一元一次不等式的解法及应用 目录 题型归纳 题型01 一元一次不等式的定义 3 题型02 求一元一次不等式的解集 3 题型03 在数轴上表示不等式的解集 4 题型04 求一元一次不等式的整数解 6 题型05 列一元一次不等式 6 题型06 用一元一次不等式解决实际问题 7 分层练习 夯实基础 10 能力提升 14 知识点1．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点3．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 知识点5．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型01 一元一次不等式的定义 1．（23-24六年级下·上海普陀·期中）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·上海宝山·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 3．下列不等式中，是一元一次不等式的为（　　） A． B． C． D． 4．下列不等式中，是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 题型02 求一元一次不等式的解集 1．（23-24六年级下·上海长宁·期中）如果代数式的值是非负数，那么x满足的条件是 . 2．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）不等式的解集是 ． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 . 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式：． 5．（22-23六年级下·上海虹口·期中）解不等式： 6．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 7．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解不等式． 题型03 在数轴上表示不等式的解集 1．（23-24六年级下·上海普陀·期中）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 4．（23-24六年级下·上海宝山·期中）解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 5．（23-24六年级下·上海崇明·期中）解不等式：，并将解集表示在数轴上 题型04 求一元一次不等式的整数解 1．（23-24六年级下·上海松江·期末）不等式的非负整数解是 ． 2．（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）不等式的正整数解为 ． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 5．（2024六年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 6．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）求不等式的最小整数解． 题型05 列一元一次不等式 1．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）用不等式表示：的2倍减去的差是一个非负数 ． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）与的差是非负数，用不等式可表示为 ． 3．（23-24六年级下·上海宝山·期中）用不等式表示“x的相反数减去3的差是一个非负数”： ． 4．（23-24六年级下·上海松江·期中）建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，如果设这个蓄水池的深度为米，那么列出的不等式为 ． 5．（23-24六年级下·上海崇明·期中）“的3倍与2的差为非负数”列出的不等式是 ． 6．（23-24六年级下·上海闵行·期中）用不等式表示“x的相反数减去5的差不大于1” 7．（23-24六年级下·上海·期中）用不等式表示“的相反数减去3所得的差不小于”： ． 题型06 用一元一次不等式解决实际问题 1．（2024六年级下·上海·专题练习）某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 3．（24-25七年级上·上海·假期作业）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 4．（23-24六年级下·上海崇明·期中）一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 5．（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 7．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 8．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这斤杨梅． (1)若这批杨梅全部售完，销售总收入为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ (2)若杨梅大户留下）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为元，求的值． 9．（22-23六年级下·上海普陀·期末）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈．她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有枝花，其中玫瑰至少有9枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中，如果总金额不能超过元，请帮助小丽设计出所有符合条件的购买方案． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是（    ） 【用法用量】口服，每日，分1至2次服用 【不良反应】□□□□□□ 【注意事项】□□□□□□ A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）不等式在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和5分别表示天平两边砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空： 5． 8．（22-23七年级下·河南周口·期末）请写出适合不等式的一组整数解 ． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则k的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）不等式的解集是 ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）求不等式的正整数解． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列不等式： (1)； (2)． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 17．（24-25七年级下·全国·期末）某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 18．（23-24七年级下·吉林·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（    ） A． B．1 C．5 D． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知某队一共比赛了10场，均保持不败，得分超过22分，则该队（   ） A．最多胜了6场 B．最多胜了7场 C．最少胜了6场 D．最少胜了7场 3．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，共有道题．评分标准为：答对题得分，答错题扣分，不答扣分．某同学有道题未答，并且得分超过了分，则他至少答对了 道题． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班级从文具店购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.4元，则签字笔购买了 支． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 11．（22-23九年级下·重庆云阳·阶段练习）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．寒假期间，学校书法社开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，社员甲需书写五字春联，社员乙需书写七字春联，社员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字，七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍，实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，书法社统计员惊讶地发现，三人书写的字数一样多，则原计划甲书写春联的字数是 字． 三、解答题 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）北京烤鸭被誉为世界珍味．在某烤鸭公司成立周年庆上，对烤鸭与烤鸭包推出两种优惠方式： 方式一：买1只烤鸭送笼烤鸭包； 方式二：购买烤鸭的数量超过只时，超过的烤鸭与全部烤鸭包打八折． 已知小鑫选择方式一购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元；小杰选择方式二购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元． (1)求烤鸭与烤鸭包的原价； (2)若小杰准备购买只烤鸭，并为每只烤鸭搭配（）笼烤鸭包，则选择哪种购买方式会更划算？ 14．（23-24七年级下·北京·期中）2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价； (2)看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？ 15．（22-23六年级下·上海虹口·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 16．（22-23六年级下·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元一次不等式的解法及应用 目录 题型归纳 题型01 一元一次不等式的定义 3 题型02 求一元一次不等式的解集 5 题型03 在数轴上表示不等式的解集 9 题型04 求一元一次不等式的整数解 13 题型05 列一元一次不等式 17 题型06 用一元一次不等式解决实际问题 19 分层练习 夯实基础 29 能力提升 41 知识点1．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点3．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 知识点5．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型01 一元一次不等式的定义 1．（23-24六年级下·上海普陀·期中）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：A．含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意； B．，含有一个未知数，但未知数的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； C．，含有两个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； D．，没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（22-23六年级下·上海宝山·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：（1），是一元一次不等式； （2），含有两个未知数，不是一元一次不等式； （3），是一元一次不等式； （4），未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式； 一元一次不等式共2个， 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 3．下列不等式中，是一元一次不等式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意； B、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 4．下列不等式中，是一元一次不等式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以． 【详解】A、不等式中含有两个未知数，不符合题意； B、符合一元一次不等式的定义，故符合题意； C、没有未知数，不符合题意； D、未知数的最高次数是2，不是1，故不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，掌握其定义是解决此题关键． 题型02 求一元一次不等式的解集 1．（23-24六年级下·上海长宁·期中）如果代数式的值是非负数，那么x满足的条件是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解不等式，根据代数式的值是非负数，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵代数式的值是非负数， ∴，解得， 故答案为：. 2．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，把不等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时除以得：， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查方程和不等式，分为和两种情况化简方程解题即可． 【详解】解：当时，即时，，解得； 当时，即时，，解得； 故答案为：或. 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解不等式：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 5．（22-23六年级下·上海虹口·期中）解不等式： 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 6．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式．掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解： ． 7．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）解不等式． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和不等式的解法是解题的关键．分别讨论当和当时，对不等式进行去分母后，再进行求解即可． 【详解】解：当时，即． 不等式两边同乘以，得，． ∴不等式解为 当时，即， 不等式两边同乘以，得，， ∴不等式解为 综上，不等式解为或． 题型03 在数轴上表示不等式的解集 1．（23-24六年级下·上海普陀·期中）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 的系数化为1得，， 在数轴上表示为： 2．（2024六年级下·上海·专题练习）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【难度】0.85 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解不等式的基本能力，严格遵循基本步骤是基础，不等式两边都除以或乘以一个负数时不等号方向要改变． 根据解不等式的基本步骤，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得不等式的解集，并表示在数轴上． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示解集如下： 3．（23-24六年级下·上海长宁·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键． 先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上，注意端点是实心． 【详解】解： ． 在数轴上表示为： 4．（23-24六年级下·上海宝山·期中）解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 5．（23-24六年级下·上海崇明·期中）解不等式：，并将解集表示在数轴上 【答案】，数轴见解析 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及数轴表示不等式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则进行运算后，即可画出数轴． 【详解】 解： ， ∴可作出数轴为： 题型04 求一元一次不等式的整数解 1．（23-24六年级下·上海松江·期末）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】解一元一次不等式，先去分母．移项后，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【详解】解： 去分母， 移项， 系数化为1． ∴非负整数为0，1，2， 故答案为：0，1，2． 2．（22-23六年级下·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式的解集． 去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1得， ∴正整数解为1，2， 故答案为：1，2． 4．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为． 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小整数解为． 5．（2024六年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将的值解出再代入方程即可得出的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．此题可先将不等式化简求出的取值，然后取的最大整数解代入方程，化为关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】解：由得 ， 所以最大整数解为， 将代入中， 解得． 6．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）求不等式的最小整数解． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，再根据不等式的解集即可求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的最小整数解为． 题型05 列一元一次不等式 1．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）用不等式表示：的2倍减去的差是一个非负数 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．根据“的2倍”即，再减去，结合差是非负数，即大于等于零，得出答案． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）与的差是非负数，用不等式可表示为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据题意列出不等式即可求解，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：∵与的差是非负数， ∴用不等式可表示为， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海宝山·期中）用不等式表示“x的相反数减去3的差是一个非负数”： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是明确题目中的数量关系，正确列出不等式．根据题目中的不等量关系列出不等式即可． 【详解】解：“x的相反数减去3的差是一个非负数”用不等式表示为：， 故答案为：． 4．（23-24六年级下·上海松江·期中）建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，如果设这个蓄水池的深度为米，那么列出的不等式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据蓄水池的体积至少为50立方米，可列一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海崇明·期中）“的3倍与2的差为非负数”列出的不等式是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了一元一次不等式，利用所给的信息列出不等式是解题的关键． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 6．（23-24六年级下·上海闵行·期中）用不等式表示“x的相反数减去5的差不大于1” 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，根据题目中的不等量关系列出不等式即可． 【详解】解：“的相反数减去5的差不大于1”用不等式表示为：， 故答案为：． 7．（23-24六年级下·上海·期中）用不等式表示“的相反数减去3所得的差不小于”： ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】不等式的定义、列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是明确题目中的数量关系，正确列出不等式．根据题目中的不等量关系列出不等式即可． 【详解】解：x的相反数减去3的差不小于5用不等式表示为：， 故答案为：． 题型06 用一元一次不等式解决实际问题 1．（2024六年级下·上海·专题练习）某校六年级三个班给某受灾地区捐款，其中（1）班捐款420元，（2）班捐款468元．如果三个班的平均捐款超过了450元，那么（3）班的捐款总数超过 元． 【答案】462 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设（3）班的捐款总数为元，根据三个班的平均捐款超过了450元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，进而可得出（3）班的捐款总数超过462元，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】设（3）班的捐款总数为元， 根据题意得：， 解得：， ∴（3）班的捐款总数超过462元， 故答案为：462． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． (1)他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． (2)若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【答案】(1)他们购买团体票比购买普通票便宜，理由见解析 (2)25人 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系从而解决问题． （1）依题意算出不购买团体票的花费及购买团体票的花费，比较一下即可； （2）先由题意找出不等关系列出方程为，解出即可解决问题． 【详解】（1）解：他们购买团体票比购买普通票便宜． 理由如下： 不购买团体票需花费（元， 购买团体票需花费（元， 2880元元， 他们购买团体票比购买普通票便宜； （2）解：设去这些景点旅游的人数为人，则，解得， 结合题意可知最小值为25， 若买团体票的人数不足30人时，则至少有25人才可买30人的团体票比买普通票便宜． 3．（24-25七年级上·上海·假期作业）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，并根据题意列出不等式是解题关键．直接利用表格设小华家到学校，判断当时满足题意；当时，表示出所需费用进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设小华家到学校， 当时， 因为， 故满足题意； 当时， 根据题意可得：， 解得：， 答：小华家到学校最多． 4．（23-24六年级下·上海崇明·期中）一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 【答案】他至少答对了42题 【分析】本题考查了由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单．设他答对了x道题，则由题意得：，求出不等式的解即可． 【详解】解：设他答对了x道题， ， ， ∵取整数 ∴他至少答对了42题． 5．（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算． 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 7．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 8．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮斤，售价元；方篮每篮斤，售价元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这斤杨梅． (1)若这批杨梅全部售完，销售总收入为元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ (2)若杨梅大户留下）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为元，求的值． 【答案】(1)圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮； (2)的值为或． 【分析】（1）设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的取值范围以及为的倍数，从而得到的值． 【详解】（1）设圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮，由题意，得： ， 解得：， 答：圆篮共包装了篮，方篮共包装了篮． （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，由题意，得： ， 解得：， 则有：，解得：， ∴的取值范围是：， 又∵为正整数，则有为的倍数， ∴的值为或． 【点睛】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般． 9．（22-23六年级下·上海普陀·期末）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈．她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有枝花，其中玫瑰至少有9枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中，如果总金额不能超过元，请帮助小丽设计出所有符合条件的购买方案． 【答案】(1)玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元 (2)有两种符号条件的购买方案：9枝玫瑰、枝康乃馨；枝玫瑰、枝康乃馨 【分析】（1）设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设小丽购买的花束中有枝玫瑰，则康乃馨有枝，由题意得：，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元， 由题意得：， 解得； 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元． （2）解：设小丽购买的花束中有枝玫瑰，则康乃馨有枝， 由题意得：， 解得， 因为至少要有9枝玫瑰，所以或； 所以，有两种符号条件的购买方案：9枝玫瑰、43枝康乃馨；10枝玫瑰、42枝康乃馨． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为，则的取值范围是（    ） 【用法用量】口服，每日，分1至2次服用 【不良反应】□□□□□□ 【注意事项】□□□□□□ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，结合已知条件列不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 即， 即x的取值范围是， 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组，再转化不等式解答即可． 本题考查了方程组的解法，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程组 得， ． 故选：B． 4．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）不等式在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式在数轴上的表示，熟练掌握不等式在数轴上的表示是解题关键．用数轴表示不等式的解集时要“两定”：一定边界点，二定方向．在定边界点时，若符号是“”或“”，边界点为实心点；若符号是“”或“”，边界点为空心圆圈；在定方向时，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”，由此即可得． 【详解】解：不等式在数轴上表示为： 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，和5分别表示天平两边砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空： 5． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表达不等关系，理解题意是解题的关键．根据题意，可知左边的质量小于右边的质量，从而得到答案． 【详解】解：由题意可知，左边的质量小于右边的质量 所以 故答案为： 8．（22-23七年级下·河南周口·期末）请写出适合不等式的一组整数解 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据不等式的整数解的含义可得其中的一组整数解为． 【详解】解：不等式的一组整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，再计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，理解解一元一次不等式的方法是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可求出的值，再代入不等式即可求出不等式的解集，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得， 故答案为：，． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4，5 【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正整数解有1，2，3，4，5． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解集在数轴上表示如答图①． （2）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如答图②． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 17．（24-25七年级下·全国·期末）某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元 (2)250棵 (3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可； （2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可； （3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可． 【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元， 根据题意，得，解得： 答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元． （2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：，解得． 答：至少购买“女贞”树苗250棵． （3）解：由题意：可列不等式，解得：． 由（2）可知， ． 为整数， 的取值可以是250，251，252， 有三种购买方案， 方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）； 方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）； 方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）． ， 方案一最省钱． 答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵． 18．（23-24七年级下·吉林·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】套 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设货运电梯一次可装运套设备，根据“货运电梯的载重总质量禁止超过”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：设货运电梯一次可装运套设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为． 答：货运电梯一次最多可装运套设备． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解不等式得到，由数轴可知，不等式的解集为，则，解方程即可得到答案. 【详解】解： 移项得，， 系数化为1得，， 由数轴可知，不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：C 2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知某队一共比赛了10场，均保持不败，得分超过22分，则该队（   ） A．最多胜了6场 B．最多胜了7场 C．最少胜了6场 D．最少胜了7场 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，设该队胜了场，则平了场，均保持不败，得分超过22分，据此列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设该队胜了场，则平了场， 根据题意得：， 解得 ∴该队最少胜了7场 故选：D 3．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设打x折销售，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，根据题意可得： ， 解得． ∴最多可以打八折． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，，根据三个数之和小于33，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这样的正整数有9组． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，， 依题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴这样的正整数有9组． 故选B． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据变形后不等号是否改变判断是用性质2还是性质3进行的变形,从而列出不等式求解. 【详解】解：∵关于x的不等式可化为， ∴ 解得 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，共有道题．评分标准为：答对题得分，答错题扣分，不答扣分．某同学有道题未答，并且得分超过了分，则他至少答对了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他答对了道题，则答错了道题，根据题意列出不等式即可求解，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴他至少答对了道题， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班级从文具店购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.4元，则签字笔购买了 支． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设签字笔购买了支，则圆珠笔购买了支，利用总价=单价×数量，结合总价大于26元但小于27元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出签字笔购买了9支． 【详解】解：设签字笔购买了支，则圆珠笔购买了支．根据题意，得 解得． 为正整数， ． 签字笔购买了9支． 故答案为：9． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 11．（22-23九年级下·重庆云阳·阶段练习）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．寒假期间，学校书法社开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，社员甲需书写五字春联，社员乙需书写七字春联，社员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字，七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍，实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，书法社统计员惊讶地发现，三人书写的字数一样多，则原计划甲书写春联的字数是 字． 【答案】196 【分析】由题意得每副五字春联有（字）；每副七字春联有（字）；每副十二字春联有（字）；若设甲、乙、丙三人最终每人都写了x字，则由题意可得甲社员原计划用时为分钟，乙社员原计划用时分钟，丙社员原计划用时分钟．然后根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设活动结束时每人都写了x个字，则甲社员计划用时为分钟，乙社员计划用时为分钟，丙社员计划用时为分钟， 由题意列方程， 整理得， 解得， 由，把代入解得， ∵， 又∵应为整数， ∴式中应是7的倍数， ∴， ∴， 故原计划甲社员书写的春联字数为个字． 故答案为：196． 【点睛】本题考查了方程与不等式的应用．解题的关键在于审清题意，根据等量关系列方程． 三、解答题 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）小慧设计了一个如图的运算程序，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算． (1)当，，时， ①若输入，则运算执行______次后输出，输出结果为______； ②若输入执行2次运算后输出的结果等于，求的值． (2)当时，若输入的值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的值及的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①2，21；②5 (2)， 【分析】此题考查了整数的四则混合运算，解一元一次不等式． （1）①利用程序图进行计算即可； ②根据2次运算后输出的结果等于列方程求解即可； （2）表示出第1次和第2次输出的结果，然后根据题意列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，，时， 第1次：， 第2次：， ∴若输入，则运算执行2次后输出，输出结果为21． 故答案为：2，21； ②第1次： 第2次：， 由题意，得 ， ∴． 故答案为：5； （2）第1次：， 第2次：， 由题意，得 ，， 解得，． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）北京烤鸭被誉为世界珍味．在某烤鸭公司成立周年庆上，对烤鸭与烤鸭包推出两种优惠方式： 方式一：买1只烤鸭送笼烤鸭包； 方式二：购买烤鸭的数量超过只时，超过的烤鸭与全部烤鸭包打八折． 已知小鑫选择方式一购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元；小杰选择方式二购买只烤鸭和笼烤鸭包，共花费了元． (1)求烤鸭与烤鸭包的原价； (2)若小杰准备购买只烤鸭，并为每只烤鸭搭配（）笼烤鸭包，则选择哪种购买方式会更划算？ 【答案】(1)烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择、一元一次不等式的应用．解决本题的关键是根据不同的购买方式列不等式． 设烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼，根据小鑫和小杰的购买方式和费用列二元一次方程组，解方程组求出烤鸭和烤鸭包的单价； 分别用含的代数式表示出两种购买方式所需的费用，如果按照方式一购买划算，可得不等式；如果按照方式二购买划算，可得不等式；如果两种购买方式所需费用相同，则可得方程，解不等式可以确定当购买不同数量的烤鸭时选用哪种方式更划算． 【详解】（1）解：设烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼， 根据题意得：， 解得：， 答：烤鸭的原价为元/只，烤鸭包的原价为元/笼； （2）解：方式一的费用为元， 方式二的费用为元． 当，解得．选择方式一的购买方式更划算； 当，解得时，选择方式二的购买方式更划算； 当，解得时，两种购买方式一样划算． 答：当为每只烤鸭搭配烤鸭包数量为笼时，两种购买方式一样划算； 当为每只烤鸭搭配的烤鸭包数量小于笼时，选择方式一更划算； 当为每只烤鸭搭配的烤鸭包数量大于笼时，选择方式二更划算． 14．（23-24七年级下·北京·期中）2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元． (1)求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价； (2)看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？ 【答案】(1)每个冰墩墩售价是30元；每个雪容融的售价是22元 (2)6个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点．找准等量关系正确列出一元一次方程，根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元，根据“1个“冰墩墩”和3个“雪容融”销售总额为96元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可． （2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个，根据“销售总额不少于268元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设每个雪容融的售价是x元，则每个冰墩墩的售价是元． 根据题意得：， 解得：． 因此，冰墩墩售价为（元） 答：每个冰墩墩售价是30元，每个雪容融的售价是22元． （2）设销售冰墩墩m个，则销售雪容融个， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为6． 答：冰墩墩至少销售了6个． 15．（22-23六年级下·上海虹口·期中）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“友好组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非友好组合”． 例如：是“友好组合” 分析：由，得 由，得 因为在范围内，所以是“友好组合” (1)请判断关于的组合是“友好组合”还是“非友好组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“非友好组合”．求的取值范围． 【答案】(1)是“友好组合”，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式、解一元一次方程，关键是对“友好组合”与“非友好组合”的理解． （1）先求方程的解，再解不等式，根据“友好组合”和“非友好组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“非友好组合”的定义求a的取值范围． 【详解】（1）解：关于的组合是“友好组合”，理由如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． ∵在范围内， ∴组合是“友好组合”； （2）解方程， 去分母，得， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵关于x的组合是“非友好组合， ∴， 解得：． 16．（22-23六年级下·上海·期中）阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为； 例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)的解为____________； (2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________； (3)不等式的解集为____________． 【答案】(1)或 (2)，，，0，1，2 (3)或 【难度】0.65 【知识点】绝对值的意义、绝对值方程、绝对值的其他应用、解|x|≥a型的不等式 【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解； （2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可； （3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5， ∵数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴， ∵为整数， ∴，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2； （3）解：要使得， 即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7， 首先在数轴上找出的解（如图），    由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5， ∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$