精品解析：云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

宣威六中高二11月月考 数 学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，为复数，集合，.若，则复数等于（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 17 D. 16 3. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( ) A. ，，共线 B. 中至少有三点共线 C. 与共线 D. 四点共面 6. 已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为，圆锥与圆台的高分别为和，则此组合体的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 10. 已知函数与，则下列说法正确的是（ ） A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心 C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环需最少移动__________次 13. 设双曲线C：的左､右焦点分别为，，过直线的l分别与双曲线左､右两支交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率为___________. 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若外接圆的面积为，求边长. 16. 设是等比数列，是、的等差中项. （1）求的公比； （2）若，，求数列的前项和. 17. 如图，直三棱柱的体积为的面积为. （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面. （i）证明：平面; （ii）求二面角的正弦值. 18. 椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，上，下顶点分别为P、Q，且和的面积分别为2和. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线l的斜率为k，若直线l与C交于E、F两点，且，求实数k的取值范围. 19. 正整数数列的前项和为，前项积为，若，则称数列为“数列”． （1）判断数列2，2，4，8是否是数列，并说明理由； （2）若数列是数列，且．探究和的值是否唯一； （3）是否存在等差数列是数列?请阐述理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威六中高二11月月考 数 学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，为复数，集合，.若，则复数等于（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，即可求解； 【详解】，所以， 即，所以， 故选：C 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 17 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列求和公式及性质即可求解； 【详解】， 故选：A 3. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算计算出，然后再写出答案即可 【详解】向量，，，解得 ， 故选：D 4. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 5. 已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( ) A. ，，共线 B. 中至少有三点共线 C. 与共线 D. 四点共面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可判断. 【详解】∵向量，，不能构成空间的一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面，故D正确； 当四点共面时， ，，不一定共线，故A错误； 中不一定有三点共线，故B错误； 与不一定共线，故C错误， 故选：D. 6. 已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列， 所以，，即，解得. 故选：A. 7. 如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为，圆锥与圆台的高分别为和，则此组合体的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图形可知外接球的球心一定在圆锥和圆台的高上，然后利用球的半径和圆锥，圆台高之间的关系列出方程求解即可. 【详解】如图： 设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则， 而， 故，所以外接球的表面积为. 故选：A. 8. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45 C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60 D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D. 【详解】，解得，故A正确； 频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确； 质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误； 由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确. 故选: 10. 已知函数与，则下列说法正确的是（ ） A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心 C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的值域可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于函数， 由，可得， 对于函数，由得， 所以，函数的对称轴方程为， 函数的对称轴方程为， 所以，函数、存在相同的对称轴，A对； 对于B选项，对于函数， 由，可得， 对于函数，由得， 所以，函数的对称中心为， 函数的对称中心为， 所以，函数、的对称中心不同，B错； 对于C选项，由正弦型函数的性质可知，函数与的值域都为，C对； 对于D选项，当时，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上的增区间为，减区间为， 当时，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上的增区间为，减区间为， 因此，与在上有相同的单调性，D对. 故选：ACD. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环需最少移动__________次 【答案】7 【解析】 【分析】根据递推关系逐步求解即可. 【详解】由条件可得，，, 所以解下4个圆环需最少移动7次. 故答案为:7. 13. 设双曲线C：的左､右焦点分别为，，过直线的l分别与双曲线左､右两支交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 作于D，利用双曲线的定义以及等腰直角三角形的性质可得，，在中可得，化简可得答案． 【详解】如图，作于D， 根据双曲线定义，，又， 所以， 所以，因为，， 所以三角形是等腰直角三角形 所以， ，， . 在中，， 化简得，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________. 【答案】4048 【解析】 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以. 故答案为：4048. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若外接圆的面积为，求边长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出的值； （2）求出外接圆的半径，结合正弦定理可求出的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，则，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，可得， 由正弦定理可得，故. 16. 设是等比数列，是、的等差中项. （1）求的公比； （2）若，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于的等式，解之即可； （2）利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为是、的等差中项，则，即， 整理可得，解得. 【小问2详解】 因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 上式下式得， 化简得. 17. 如图，直三棱柱的体积为的面积为. （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面. （i）证明：平面; （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等体积法及棱锥与棱柱体积的关系求点面距离； （2）（i）由面面垂直可得线面垂直，得出线线垂直，再由线面垂直判定定理证明； （ii）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦，再转化为正弦即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点到平面的距离为， 则， 解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 （i）证明：取的中点，连接AE，如图， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面平面ABC，可得， 又平面且相交，所以平面. （ii）由（i）可知:两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由（1）得，所以，所以， 则，所以的中点， 则， 设平面ABD的一个法向量，则， 令，可得， 设平面BDC的一个法向量，则， 令，可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为A、B，上，下顶点分别为P、Q，且和的面积分别为2和. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线l的斜率为k，若直线l与C交于E、F两点，且，求实数k的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，且求参数，即可得椭圆方程； （2）令的中点为，则，且，则，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及两点式斜率公式得到，进而有，再确定范围求k的取值范围. 【小问1详解】 由题设，且， 所以，则； 【小问2详解】 令的中点为，则，且， 由，则， 若时，，即，则， 联立，得， 所以， 且， 所以①， 所以，则，即， 将代入①有②，显然时也满足； 将代入，则， 由，满足②， 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，令的中点为，，联立椭圆方程，应用韦达定理和两点式求斜率列方程求得、为关键. 19. 正整数数列的前项和为，前项积为，若，则称数列为“数列”． （1）判断数列2，2，4，8是否是数列，并说明理由； （2）若数列是数列，且．探究和的值是否唯一； （3）是否存在等差数列是数列?请阐述理由． 【答案】（1）数列2，2，4，8是数列，理由： 对于数列2，2，4，8，我们有，， ，. 而，故数列2，2，4，8是数列. （2）和的值不唯一 （3）存在等差数列是数列，理由： 对于等差数列6，6，6，我们有，，. 而，故数列6，6，6是数列. 所以存在等差数列是数列. 【解析】 【分析】（1）用数列的定义验证即可； （2）由数列的定义确定和的全部可能值，最终可以确定两组不同的值，从而得到取值不唯一； （3）说明6，6，6是数列即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为数列是数列， 所以可设，其中，则. 又因为数列是正整数数列， 则由，知，故. 且，故或． 当时，；当时，. 经验证，2，2，4和2，2，12都是数列，分别对应和. 故或，故和的值不唯一． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第二问关于数列的讨论，讨论需要不重不漏方可得到两组解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $