专题04 阅读材料题（上海中考新题型，预测25题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题04 阅读材料题（上海中考新题型，预测25题） 说明：精选比较典型的材料阅读类型综合考题，助力上海新题型训练。 一、解答题 1．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 2．阅读与思考 小乐在学习了勾股定理后，通过查找资料完成以下数字小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 一、帕普斯对勾股定理的“推广”公元前300年，古希腊数学家帕普斯证明了勾股定理的一个有趣的变形，他将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作图方法如下： 如图，对于， （1）分别以两直角边、为边，作两个平行四边形； （2）分别延长两个平行四边形中平行于直角边的两边，它们相交于点P； （3）作射线，与相交于点Q，再截取； （4）以为一边作平行四边形，使另一组对边平行且等于． 对于以上的作图，我们可以得到如下的真命题： 斜边上的平行四边形面积等于两条直角边上的平行四边形面积的和． 二、命题证明 如图，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是平行四边形，∴． 由题意知，∴四边形ACPM是平行四边形（依据）． ∴． 同理． ∵，， ∴． 三、学习反思． 特殊的，如果和是正方形，那么也是正方形．恰好就是我们熟知的弦图了． 如图证明：由题知四边形是矩形； ∴． ∵四边形和四边形是正方形，∴，． ∴……． (1)证明中的依据是：__________； (2)补全学习反思中对划线内容的证明． (3)小乐通过操作发现，不是直角三角形时，也可以利用帕普斯的方法构造．在如图所示的网络中，请用无刻度的直尺画一个以为边的平行四边形，使平行四边形的面积等于． 3．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式． 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 4．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 5．【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以，解方程得，所以； 【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由可知，，所以，解方程得，于是得； 【解决问题】 (1)把下列无限循环小数写成分数形式： ______，②______； (2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程； (3)若，则______． 6．阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 7．阅读与思考： 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区于成本价且利润率不高于．销售一段时间后市场调研发现，与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 任务：请帮助小明解决相关的3个问题． 8．请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　； 依据2：　　； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 9．阅读材料，完成任务 一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年 前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 证明：如图①，与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦 上时，容易得到，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．                如图②，与相切于点A， 当圆心O在的内部时，过点 A 作直径交于点D，在弧上任取一点E，连接，，， 则．( 依 据) 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． 【任务】 (1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________ ②请完成如图③ ，与相切于点A．当圆心O在的外部时，弦切角定理的证明过程． (2)如下图，在△ABC  中 ，，以 为直径的交 于 点E， 过点B作的切线交的延长线于点D，直 接 写 出 与的数量关系：_______________． 10．阅读与思考 下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用 平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程： 结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则 该结论的一种证明过程如下： 如图①，过点A作交于点H，交于点P， ∵四边形是正方形， ,， （依据）， … 任务： (1)请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ； (2)请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整； (3)如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数． 11．综合与实践：数学活动课上，老师给大家出示了以八年级上册的一个例题为母题延创设情境： 活动一（阅读经典）：如图，等腰，顶角，平分．求证：和都为等腰三角形． 这个例题大家都熟悉，这是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰分成三个等腰三角形，因为底边与腰的比值等于，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰的底边与腰的比值过程： 由和都为等腰三角形可得， 设， 因为底角，则． 所以， 所以，得 整理，得到，解得 所以等腰的底边与腰的比值等于． 活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线段的比值或锐角三角函数值． 活动二（实我研究）：如图，等腰中，．求边与边的比值． 解：过点B作于点H，截取，过D作于点E． （以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．） 活动三（问题解决）：在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请解答问题：如图延长到点D，使得，连接，求． 12．阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 13．在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f． 【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． 已知，，，，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 同理可得， ∴，即①______， ∴②______，∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________； (2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）； (3)如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)． 14．阅读与思考 下面是小文同学撰写的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 探索特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道：一元二次方程（，a，b，c为常数）的根是由它的系数决定的．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的解． 第一类，当时，根据方程解的概念可知方程必有一个解为1，那么另一个解是多少呢？分析如下： ∵，∴． ∴ ． ∴方程可变形为． ∴或．∴，． ∴当时，一元二次方程的两个实数根为，． 我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的． 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根．…… 任务： (1)阅读内容中，将方程变形为，然后求出方程的解，这种解方程的方法是（    ） A．配方法    B．公式法    C．因式分解法 (2)请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点； (3)请直接写出当时，一元二次方程的两个实数根； (4)请写出材料中划线部分小文同学的证明过程． 15．阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 【阅读】 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到以下两种方法：方法1：方程的两根为，，可得函数的图象与x轴的两个交点横坐标分别为–4，5，画出函数图象，观察该函数图象在x轴下方的点．其横坐标的范围就是不等式的解集． 方法2：除了转化为二次函数可解，还可转化为一次函数和反比例函数．当时，不等式无意义；当时，同除以x，不等式变为；当时，同除以x，不等式变为．问题转化为研究一次函数与反比例的图象关系……同样可解． 【任务】 (1)不等式的解集为 ； (2)两种方法都运用了 的数学思想方法（填选项字母）； A．分类讨论    B．数形结合    C．特殊到一般 (3)请你根据方法2的思路，在给出的平面直角坐标系中画出函数图象的简图，并结合图象直接写出不等式的解集．    16．阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切． 任务： (1)依据1：_____________________________． 依据2：________________________________． (2)在图2中，的半径为6，，求的长． 17．阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 18．阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 19．阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 20．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时， 小明的证明过程（部分）如下： 证明：分以下三种情况讨论． a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上 则， b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则， ∵． ． ∴ ∴ c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则 任务 (1)请将图3的证明过程补充完整． (2)如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______． 21．阅读与思考 下面是数学研究性学习汇报中小彬同学的展示内容，请仔细阅读并完成相应的任务. 三角形的垂心三角形是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的性质.我们在研究三角形的过程中，认识了三角形的重心、外心和内心，并研究了它们的性质.通过课外阅读，我了解到三角形还有一心——垂心，其定义是：三角形的三条高线所在直线相交于一点，该点叫做三角形的垂心.三角形的垂心有什么性质呢？ 【特例研究】如图1，已知是等边三角形，高线，相交于点O，则点O既是的垂心，又是它的外心，易得．通过特例，我想到三角形的重心与外心之间有一定的联系，于是我对一般三角形进行了探究． 【一般研究】如图2，已知锐角中，高线，相交于点H，作的外接圆，则点H，O分别是的垂心与外心.受特例启发，过外心O作于点M，我发现，证明如下： 连接并延长交于点N，连接，． 为的直径，． ， ， ， ， ．（依据） ， ． 【结论应用】如图3，中，，点O是它的外心，点H是它的垂心，且于点M．若，，可以利用上面的结论求得线段的长． 任务： (1)上述展示内容中的“依据”是指基本事实：__________； (2)请将上述展示内容中的证明过程补充完整； (3)“结论应用”中，线段的长为__________． 22．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图2中，的度数是______． (2)如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，求的长度． (3)如图4，中，，以为边作正方形，连接．当的度数为多少时，线段有最大值，并求出的最大值． 23．请阅读下列材料，完成相应的任务： 克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点.， （依据1），（依据2）， ，，. ，，即， ，， ． 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______； 上述证明过程中的“依据1”为______； “依据2”为______． (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______． (3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长． 24．阅读与思考 下面是小逸同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 用“平移法”解答几何问题解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线的策略． 如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点． 求证：．        图 小逸在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点与点重合，构造全等三角形． 如图，平移线段至交于点， 由平移的性质得，        图 ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形（依据）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴（依据）， ∴． 方法二：如图，平移线段至交于点， 则四边形是矩形，        图 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， …        图 任务： (1)填空：材料中的依据是指___________________，依据________________． (2)补全材料中方法二的剩余证明过程． (3)如图，在正方形网格中，，，，为格点（网格线的交点），交于点．则_____________． 25．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），一线教师精选试题！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题04 阅读材料题（上海中考新题型，预测25题） 说明：精选比较典型的材料阅读类型综合考题，助力上海新题型训练。 一、解答题 1．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)反比例； (3)音调“”对应吸管的长度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案． （2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入， 可得吸管的长度． 【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值， 故在反比例函数中（系数保留整数）， 故与的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即， 将代入， 可得吸管的长度， 答：音调“”对应吸管的长度． 2．阅读与思考 小乐在学习了勾股定理后，通过查找资料完成以下数字小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 一、帕普斯对勾股定理的“推广”公元前300年，古希腊数学家帕普斯证明了勾股定理的一个有趣的变形，他将直角三角形三边上的正方形改成平行四边形，这三个平行四边形的作图方法如下： 如图，对于， （1）分别以两直角边、为边，作两个平行四边形； （2）分别延长两个平行四边形中平行于直角边的两边，它们相交于点P； （3）作射线，与相交于点Q，再截取； （4）以为一边作平行四边形，使另一组对边平行且等于． 对于以上的作图，我们可以得到如下的真命题： 斜边上的平行四边形面积等于两条直角边上的平行四边形面积的和． 二、命题证明 如图，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是平行四边形，∴． 由题意知，∴四边形ACPM是平行四边形（依据）． ∴． 同理． ∵，， ∴． 三、学习反思． 特殊的，如果和是正方形，那么也是正方形．恰好就是我们熟知的弦图了． 如图证明：由题知四边形是矩形； ∴． ∵四边形和四边形是正方形，∴，． ∴……． (1)证明中的依据是：__________； (2)补全学习反思中对划线内容的证明． (3)小乐通过操作发现，不是直角三角形时，也可以利用帕普斯的方法构造．在如图所示的网络中，请用无刻度的直尺画一个以为边的平行四边形，使平行四边形的面积等于． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与四边形综合； （1）根据平行四边形判定定理即可得出结论， （2）先证明，得，，进而证明，得是矩形，再由得出结论； （3）求作平行四边形面积为， ，故平行四边形高为3，由此即可构造平行四边形． 【详解】（1）解：由、判定四边形ACPM是平行四边形的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）如图证明：由题知四边形是矩形； ∴． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，． 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． （3）解：由图可知：，， ∴求作平行四边形面积为，∵，故平行四边形高为3， 如图：为所求． 3．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式． 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 任务1：设，代入，即可算出值， 任务2：由图 3 得，当光照强度在之间（包含临界值）时，电流，把和代入，求得值的范围，从而得到的范围． 【详解】任务1：设 I 关于 R 的函数表达式为 把 ，代入，得 ∴I 关于 R 的函数表达式为 任务2：由图 3 得，当光照强度在 300-750lux 之间（包含临界值）时， 电流， 当代入，得到，解得 把代入，得到，解得 4．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【答案】(1)0 (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）根据新定义列代数式求解； （3）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：步骤1：自左向右编号为： 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码Y． ，即校验码Y的值为0， 故答案为：0； （2）∵ ∴ 故答案为：； （3）解：设这个数字为x， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：5． 5．【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以，解方程得，所以； 【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由可知，，所以，解方程得，于是得； 【解决问题】 (1)把下列无限循环小数写成分数形式： ______，②______； (2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程； (3)若，则______． 【答案】(1)①，② (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练运用一元一次方程是解题关键 （1）①设，则，然后解方程即可； ②设，则，然后解方程即可； （2）设，则，然后解方程即可； （3）由可得，然后根据与的关系列式计算即可． 【详解】（1）①设， 由可知：， 所以， 解得， 故答案为：； ②设， 由可知：， 所以， 解得， 故答案为：； （2）设，由可知：， 所以， 解得， 即； （3）∵， ∴扩大1000倍可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 【答案】(1)三角形的中位线定理，相似三角形的性质 (2)①；② 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质， （1）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解即可； （2）①首先根据重心的性质得到，然后求解即可； ②首先得到点O是的重心，求出，利用重心的性质求解即可． 【详解】（1）依据1：三角形的中位线定理； 依据2：相似三角形的性质； （2）①∵G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴； ②∵中线、相交于点O， ∴点O是的重心， ∴， ∴ 故． 7．阅读与思考： 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区于成本价且利润率不高于．销售一段时间后市场调研发现，与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 任务：请帮助小明解决相关的3个问题． 【答案】（1） （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 （3）销售单价应定为50元 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． （1）“y与x满足一次函数关系”，利用待定系数法求解即可； （2）设每天获利w元，得，由二次函数性质即可解答； （3）根据题意得把代入中，解方程即可． 【详解】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为， 把代入得：， 解得， ∴ （2）设每天获利w元． 根据题意，得 整理，得． ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴是直线． 又∵售价不得低于成本价且利润率不高于80%， ∴且． 解，得． ∴时，取最大值，． 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． （3）把代入中， 得 解得，． ∵， ∴． 答：销售单价应定为50元． 8．请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　； 依据2：　　； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 【答案】(1)两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； (2)详见解析 (3)小明的方法正确，详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）根据已知证明过程和图形作图即可； （3）证明，得到，再结合，，得出，即可证明． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）如图，线段表示R的长． 在上取点M，使，在上取点N，使，连接，交于点E，过点E作于点F，则线段为所求线段． （3）小明的方法正确． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 9．阅读材料，完成任务 一切平面图形中最美的是圆形，人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年 前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周 的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上， 一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明片段，请仔细阅读，并完成相应任务． 证明：如图①，与 ⊙O 相切于点A． 当圆心O 在 弦 上时，容易得到，所以弦切角的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．                如图②，与相切于点A， 当圆心O在的内部时，过点 A 作直径交于点D，在弧上任取一点E，连接，，， 则．( 依 据) 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． 【任务】 (1)①请写出在上面的证明过程中的依据：_________ ②请完成如图③ ，与相切于点A．当圆心O在的外部时，弦切角定理的证明过程． (2)如下图，在△ABC  中 ，，以 为直径的交 于 点E， 过点B作的切线交的延长线于点D，直 接 写 出 与的数量关系：_______________． 【答案】(1)①同弧所对的圆周角相等  ②见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造同弧所对的圆周角是解题的关键． （1）①根据推导过程得到理论依据即可；②根据同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角解题即可； （2）根据弦切角定理得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据证明过程可得依据为：同弧所对的圆周角相等； 故答案为：同弧所对的圆周角相等； ②在优弧上任取一点E，连接，，， 则， 是的直径，则 是的切线，则 所以，， 即 所以弦切角的度数等于它所夹弧所对圆周角的度数． （2）解：连接，则， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．阅读与思考 下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用 平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程： 结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则 该结论的一种证明过程如下： 如图①，过点A作交于点H，交于点P， ∵四边形是正方形， ,， （依据）， … 任务： (1)请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ； (2)请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整； (3)如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）上述证明过程中括号内“依据”的内容为：； （2）根据全等三角形的性质得到，可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证； （3）将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，由平移可得，则，由勾股定理得，，故，则是等腰直角三角形，则，故． 【详解】（1）解：上述证明过程中括号内“依据”的内容为：， 故答案为：； （2）解：证明过程补充如下： ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （3）解：将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，如图： 由平移可得， ∴， ∵正方形网格中每个小正方形的边长均为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，平移的性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 11．综合与实践：数学活动课上，老师给大家出示了以八年级上册的一个例题为母题延创设情境： 活动一（阅读经典）：如图，等腰，顶角，平分．求证：和都为等腰三角形． 这个例题大家都熟悉，这是个特殊等腰三角形，平分线把图中等腰分成三个等腰三角形，因为底边与腰的比值等于，我们把这种三角形称为黄金三角形．以下是求等腰的底边与腰的比值过程： 由和都为等腰三角形可得， 设， 因为底角，则． 所以， 所以，得 整理，得到，解得 所以等腰的底边与腰的比值等于． 活动小结：通过辅助线（分割线），可以求得一些不是特殊图形（包含三角形、角等常见图形）的一些线段的比值或锐角三角函数值． 活动二（实我研究）：如图，等腰中，．求边与边的比值． 解：过点B作于点H，截取，过D作于点E． （以上是小龙同学解此题所作的辅助线，请您帮助小龙完成剩下的解答过程．） 活动三（问题解决）：在活动二（实践研究）原有条件不变情况下，老题新增以下条件，并提出问题，请解答问题：如图延长到点D，使得，连接，求． 【答案】活动二（实践研究）：；活动三（问题解决）： 【分析】活动二（实践研究）：过点B作于点H，截取，过D作于点E．则，且．则．设，则，可求得即可； 活动三（问题解决）：由题意得，可得，结合活动二知，则，那么，利用勾股定理得，在中即可． 【详解】解：活动二（实践研究）： 过点B作于点H，截取，过D作于点E． ． 于H，， ， ． ， ． ∵于点E， ， ． ， 设，则， ． 活动三（问题解决）： ， ， ， 由活动二可知， ， 由活动二知，则， 则， 中，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理，以及解直角三角形，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和二次根式的化简． 12．阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求、的解，再求、的值． （1）仿照例题的思路，设，分别表示原式，然后进行整式乘法运算即可； （2）根据加减法，可得、的解，再根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：依题意， 设， （2）解：方程组的解是， 同理方程组中 13．在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点F和，焦点到光心的距离称为焦距，记为f． 【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜L折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像． 已知，，，，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 同理可得， ∴，即①______， ∴②______，∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是___________； (2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容（用含的代数式表示）； (3)如图3，在中，，平分并交边于点D，设，求的值(用含n的代数式表示)． 【答案】(1)相似三角形的性质 (2)①，② (3) 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据相似三角形的性质可得，再利用等量代换可得即可； （3）作，交的延长线于点E，作，交于点F，过点F作，垂足为G，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，同理可得，证明，，可得，，进而可得，即 ，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是相似三角形的性质， 故答案为：相似三角形的性质； （2）解：由题意可得，，即①， ∴②， 故答案为：①，②； （3）解：如图，作，交的延长线于点E，作，交于点F，过点F作，垂足为G， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在中，，，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．阅读与思考 下面是小文同学撰写的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 探索特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道：一元二次方程（，a，b，c为常数）的根是由它的系数决定的．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的解． 第一类，当时，根据方程解的概念可知方程必有一个解为1，那么另一个解是多少呢？分析如下： ∵，∴． ∴ ． ∴方程可变形为． ∴或．∴，． ∴当时，一元二次方程的两个实数根为，． 我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的． 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根．…… 任务： (1)阅读内容中，将方程变形为，然后求出方程的解，这种解方程的方法是（    ） A．配方法    B．公式法    C．因式分解法 (2)请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点； (3)请直接写出当时，一元二次方程的两个实数根； (4)请写出材料中划线部分小文同学的证明过程． 【答案】(1)C (2)（答案不唯一）． (3)， (4)详见解析 【分析】（1）根据所给解题方式可知，使用的是因式分解法． （2）按要求写出满足要求的二次函数解析式即可． （3）根据所给解题方法，补充完整解题过程即可． （4）先得，当当其求根公式为，再把代入化简式子，即可作答． 本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程变形为 即把等号左边的多项式变成两个整式乘积的形式，等式右边都等于0 这种解方程的方法是因式分解法． 故答案为：C． （2）解：二次函数的图形经过点， 则， ，，便是一组符合要求的取值， 这个二次函数表达式可以为（答案不唯一）． （3）解：由题知，， ， ， 方程可变形为， 或， ， 当时，一元二次方程的两个实数根为． （4）解：依题意，∵ ∴ ∵对于来说，存在一解是 ∴ 则其求根公式为 ∴ ∴． 15．阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 【阅读】 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？通过思考，小丽得到以下两种方法：方法1：方程的两根为，，可得函数的图象与x轴的两个交点横坐标分别为–4，5，画出函数图象，观察该函数图象在x轴下方的点．其横坐标的范围就是不等式的解集． 方法2：除了转化为二次函数可解，还可转化为一次函数和反比例函数．当时，不等式无意义；当时，同除以x，不等式变为；当时，同除以x，不等式变为．问题转化为研究一次函数与反比例的图象关系……同样可解． 【任务】 (1)不等式的解集为 ； (2)两种方法都运用了 的数学思想方法（填选项字母）； A．分类讨论    B．数形结合    C．特殊到一般 (3)请你根据方法2的思路，在给出的平面直角坐标系中画出函数图象的简图，并结合图象直接写出不等式的解集．    【答案】(1) (2)B (3)或，作图见解析 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用题干中的方法1，画出函数的图象，观察图象解答即可； （2）依据解答过程体现的数学思想方法解答即可； （3）画出函数和函数的大致图象，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：解方程， 得，， 函数的图象与轴的两个交点横坐标为、5， 画出二次函数的大致图象（如图所示）， 由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即． 所以不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：两种方法都运用了数形结合的数学思想方法， 故选：B； （3）解：当时，不等式不成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为． 画出函数和函数的大致图象如图： 当时，解得或， ∴， 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为， 不等式的解集为：或． 16．阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切． 任务： (1)依据1：_____________________________． 依据2：________________________________． (2)在图2中，的半径为6，，求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于 (2) 【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得解； （2）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及比例的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图2，连接． 点恰好落在上， （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ， ． ， ， ． （三角形内角和是， ， 与相切． 故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是； （2）解：如图2，过点作于点， ， 与相切， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的内角和定理等，熟记相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质是解题的关键． 17．阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）有题意可知利用了直径所对的圆周角是直角混合同弧所对的圆周角相等； （2）进一步证明，有即可； （3）连接AD，BF，利用切割定理即可求得，，，则，结合勾股定理求得．进一步证明，则，求得，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明： 又， ． ． ． （3）解：如图，连接，， ， ∴设，，，则． ∵是的切线，是割线， ∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去）， ，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线， ． ． ，， ，则． ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及勾股定理，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质． 18．阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 【答案】(1)等角对等边 (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边解答即可． （2）根据题意，写出已知，求证，给出证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依据是等角对等边， 故答案为：等角对等边． （2）解：第二种情况：求证：是的平分线． 故答案为：是的平分线． 第三种情况：已知，如图，E是上一点，是的平分线，．求证：． 选择第二种情况，证明如下 证明：∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是的平分线， 选择第三种情况，证明如下： 证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 19．阅读材料，完成下列问题： 因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②  即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数． (1)若，，求、的算术平均数和几何平均数； (2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值； (3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过 作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标． 【答案】(1)算术平均数为4，几何平均数为 (2)时，代数式有最小值，最小值为0 (3)25， 【分析】（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解； （2）将原式变形为，根据求解； （3）设，则，，四边形面积，根据即可求解． 本题考查新定义运算，反比例函数，坐标与图形，解题的关键是运用． 【详解】（1）解：，时，、的算术平均数为：， ，的几何平均数为：； （2）解：， ，， ，当时，等号成立， 解得，或（舍去）， ， 即时，代数式有最小值，最小值为0； （3）解：如图，设，则，， ，， ，，，， 四边形面积 ， ，当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 四边形面积的最小值，此时，即． 20．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时， 小明的证明过程（部分）如下： 证明：分以下三种情况讨论． a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上 则， b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则， ∵． ． ∴ ∴ c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则 任务 (1)请将图3的证明过程补充完整． (2)如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识． （1）当（时），如图3，分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则，证明，则，则，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点H，过点D作于点M，则，证明，则，由题意可证明，，，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：当（时），如图3，分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作交的延长线于点H，过点D作于点M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵F是边的中点，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 21．阅读与思考 下面是数学研究性学习汇报中小彬同学的展示内容，请仔细阅读并完成相应的任务. 三角形的垂心三角形是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的性质.我们在研究三角形的过程中，认识了三角形的重心、外心和内心，并研究了它们的性质.通过课外阅读，我了解到三角形还有一心——垂心，其定义是：三角形的三条高线所在直线相交于一点，该点叫做三角形的垂心.三角形的垂心有什么性质呢？ 【特例研究】如图1，已知是等边三角形，高线，相交于点O，则点O既是的垂心，又是它的外心，易得．通过特例，我想到三角形的重心与外心之间有一定的联系，于是我对一般三角形进行了探究． 【一般研究】如图2，已知锐角中，高线，相交于点H，作的外接圆，则点H，O分别是的垂心与外心.受特例启发，过外心O作于点M，我发现，证明如下： 连接并延长交于点N，连接，． 为的直径，． ， ， ， ， ．（依据） ， ． 【结论应用】如图3，中，，点O是它的外心，点H是它的垂心，且于点M．若，，可以利用上面的结论求得线段的长． 任务： (1)上述展示内容中的“依据”是指基本事实：__________； (2)请将上述展示内容中的证明过程补充完整； (3)“结论应用”中，线段的长为__________． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理 (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据题意可直接进行作答； （2）在已有的证明基础上，再利用三角形中位线定理得出，然后证明四边形是平行四边形，得出，即可得证； （3）延长交于D，延长交于E，连接，利用（2）中结论可得，设，证明，求出，，利用勾股定理求出 ，在中，利用勾股定理建立关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：“依据”是指基本事实是平行线分线段成比例定理； 故答案为：平行线分线段成比例定理； （2）证明：连接并延长交于点N，连接，． ∵为的直径，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（依据） ∵， ∴． ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于D，延长交于E，连接， ∵点O是外心，点H是垂心， ∴，，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 22．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： (1)在图2中，的度数是______． (2)如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，若，求的长度． (3)如图4，中，，以为边作正方形，连接．当的度数为多少时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，线段有最大值，最大值为 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，利用角的和差关系得出即可得答案； （2）如图，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证明四边形是正方形，可得点与点重合，根据旋转的性质，结合（1）的结论，利用证明，可得，根据线段的和差关系得出，在中，利用勾股定理列方程求出即可； （3）如图，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，可得是等腰直角三角形，，利用勾股定理可求出，利用证明，得出，可得有最大值时，有最大值，利用三角形三边关系求出的最大值，并根据平角的定义求出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵直角梯形中，，，， ∴， ∴四边形是正方形，，， ∴点与重合，、、三点共线， ∵， ∴由（1）可知， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． （3）如图，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值， ∵，， ∴当、、三点共线时，有最大值，， ∵， ∴此时， ∴当时，线段有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 23．请阅读下列材料，完成相应的任务： 克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点.， （依据1），（依据2）， ，，. ，，即， ，， ． 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______； 上述证明过程中的“依据1”为______； “依据2”为______． (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______． (3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)勾股定理 (3) 【分析】（1）利用逆命题的意义，矩形的性质，勾股定理，圆的有关性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，矩形的性质及勾股定理解答即可； （3）利用圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质分别求得四边形的边长，再利用（2）的结论解答即可得出结论． 【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形． 证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等； 依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似． 故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）解：如图，作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． ， ， ． ． ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：勾股定理； （3）解：为直径， ， ，， ，． 的角平分线交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，含交的直角三角形的性质，逆命题的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新结论是解题的关键． 24．阅读与思考 下面是小逸同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 用“平移法”解答几何问题解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线的策略． 如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点． 求证：．        图 小逸在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点与点重合，构造全等三角形． 如图，平移线段至交于点， 由平移的性质得，        图 ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形（依据）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴（依据）， ∴． 方法二：如图，平移线段至交于点， 则四边形是矩形，        图 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， …        图 任务： (1)填空：材料中的依据是指___________________，依据________________． (2)补全材料中方法二的剩余证明过程． (3)如图，在正方形网格中，，，，为格点（网格线的交点），交于点．则_____________． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据推理过程即可求解； （）如图，平移线段至交于点，则四边形是矩形，可得，，，即得，又由正方形的性质可得，，进而得到，，利用余角性质可得，即可证明，得到； （）如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，可得，设正方形网格的边长为，根据勾股定理可得，，，进而由勾股定理的逆定理可得，即可得． 【详解】（1）解：材料中的依据是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，依据是：全等三角形的对应边相等， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等； （2）如图，平移线段至交于点，则四边形是矩形，      图 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，则由平移的性质可得， ∴， 设正方形网格的边长为，根据勾股定理可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角函数，掌握以上知识点是解题的关键． 25．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1），结合集合中的元素满足互异性以及定义可得，，分别是5，7，9，即可求解； （2）根据等差数列求和公式先求出的通项公式，然后再表示出，再利用裂项求和计算即可； （3）设，设，根据不等式的同向可加性得到，可得这里有个元素，则上面为集合的所有元素，同理：，这里有个元素，则上面为集合的所有元素，发现可找出，故，由上得，，同理：，故，因此，故证毕． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵，，，，，是中的元素， ∴，，分别是5，7，9， ∴, ∴， （2）证明：由题意得， ， ， ∴ ∴ ， ∵当无穷大时，趋近于0， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设， 设， ∴， ∴这里有个元素， ∵， ∴上面为集合的所有元素， 同理：， ∴这里有个元素， ∴上面为集合的所有元素， ∴， ∴， 由上得，， 同理：， ∴， ∴， ∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的加法运算，不等式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 2 助理新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$