专题03 阅读材料题（精选上海真题，20题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用）

2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），一线教师精选试题！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题03 阅读材料题（精选上海真题，20题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海闵行·期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ． 【答案】/0.75 【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果． 【详解】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB， ∵AC是BC和AB的比例中项， ∴AC2=AB•BC， ∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•cosB， 即1×2=12+22-2×1×2×cosB， ∴cosB=， 故答案为：． 【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键． 2．（2023·上海闵行·一模）阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，联结，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， ∴点F在线段上， 联结，则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴ ∴d的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】解：如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， 连接，由矩形性质可得：，，， 则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴d的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 二、解答题 4．（2024九年级下·上海·专题练习）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数，由于测量树高比测量胸径更加费时、货力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高（单位：可以看成胸径（单位：的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是　　（从下面的选项中选择两个即可）． ．模型思想  ．公理化思想  ．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高与胸径的数据如下： 胸径 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高与胸径的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 【答案】(1)A (2)①“二号”柳树树高与胸径的一次函数模型为；②“二号”柳树生长良好 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题意得出结论； （2）①根据材料中方法求出二号”柳树的树高与胸径的一次函数模型即可；②把代入①中解析式求出与14比较即可． 【详解】（1）解：主要运用的数学思想是模型思想， 故选：； （2）解：①设树高与胸径的函数关系式为，将表格中的数据按的值从小到大排序后，均分为两组代入得到： 第一组：，，； 第二组：，，． 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组， 解得， “二号”柳树树高与胸径的一次函数模型为； ②当时，， “二号”柳树生长良好． 5．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 方案一：测量距离，仰角α，仰角β．    方案二：测量高度，仰角α，仰角β． 测量项目 CD α β 方案一 方案二 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：____________． 【答案】任务一：见解析；任务二：数据精确度不同（答案不唯一，言之成理即可）． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 任务一：①选择方案一：利用正切的定义可得，，则有，代入数据可得米，即可求出的高度；②选择方案二：利用正切的定义可得，，由题意得可得，，进而得到，代入数据可得米，即可求出的高度； 任务二：从物理（测量）、地理（海拔）或数学（精确度）等角度进行分析，答案不唯一，言之成理即可． 【详解】解：任务一： ①选择方案一， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：米， ∴米； 答：双子山主峰的高度为米； ②选择方案二， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 由题意可得：，， ∵，即， ∴， 解得：米， ∴米． 答：双子山主峰的高度为米． 任务二： 求出的高度与48米不一致的原因：数据精确度不同（答案不唯一，言之成理即可）． 故答案为：数据精确度不同（答案不唯一，言之成理即可）． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 【答案】 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答. 证明得到对应边成比例，列方程解决即可. 【详解】解：设米，米， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 8．（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：，的高度：．第二次实践需要测量得到的相关数据有：，，过程见解析． 【分析】第一次实践，由，，，，得到， 进而得到，即可求解， 第二次实践，设，由，得到，由，得到，即可求解， 本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第一次实践需要测量得到的相关数据有：， 利用得到的数据表达树的高度：． 第二次实践需要测量得到的相关数据有：， 解决问题：设， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子解答问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子的分子分母颠倒位置，变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以． 即，即． 所以． 根据材料回答问题：（直接写出答案） (1)已知，则________；________． (2)解分式方程组，则方程组的解为________． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，解分式方程组； （1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先根据例题思路变形，再根据分式性质化简，再利用加减法求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． （2）由得 即 由，并组成方程组，得 ，得 解得 把代入可得 解得 经检验，原方程组的解是． 10．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料，回答问题： 如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角形函数”． (1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”； (2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例； (3)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例． 【答案】(1)见解析 (2)不是“保三角函数”，反例见解析 (3)是“保三角函数”，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数，三角形的三边关系，新定义：“保三角形函数”，解题的关键是理解“保三角形函数”的定义． （1）根据正比例函数和“保三角形函数”的定义证明即可； （2）根据“保三角形函数”的定义判断即可； （3）根据，得到，进而得到，由，可得，即可判断． 【详解】（1）证明：设， 则，，， ，， ， ， 又，， ， ， 是“保三角函数”； （2）解：不是“保三角函数”，举出反例如下： 对于，设，，，、、能构成三角形， ，，， ， ，，不能构成一个三角形， 故不是“保三角函数”； （3）对于， ， ， ， 又， ， 是“保三角函数”． 11．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元 (2) (3)他家全年用水量是270立方米 【分析】（1）根据题意列出算式计算即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将代入（2）中求出的函数解析式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：她家全年应缴纳水费891元． （2）解：设线段的表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的表达式为． （3）解：∵， ∴小明家全年用水量处于第二阶梯， 把代入得：， 解得：， 答：他家全年用水量是270立方米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合． 12．（2024九年级下·上海·专题练习）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数，由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高（单位：可以看成胸径（单位：的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是 ___________（从下面的选项中选择）． A．模型思想 B．公理化思想 C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高与胸径的数据如下： 胸径 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高与胸径的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 【答案】(1) (2)①；②“二号”柳树生长良好 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是利用模型思想求出函数解析式． （1）根据题意得出结论； （2）①根据材料中方法求出“二号”柳树的树高与胸径的一次函数模型即可； ②把代入①中解析式求出与14比较即可． 【详解】（1）解：主要运用的数学思想是模型思想， 故选：； （2）①设树高与胸径的函数关系式为，将表格中的数据按的值从小到大排序后，均分为两组代入得到： 第一组：，，； 第二组：，，． 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组， 解得， “二号”柳树树高与胸径的一次函数模型为； ②当时，， “二号”柳树生长良好． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ 时可将凳高调整为． 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为________． 【答案】任务2：9；任务3：60 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是∶ 任务二：根据题意先根据勾股定理求出长和重新调整打孔位置后榫眼离点距离然后求差即可解题； 任务三：利用列出关于的方程解题即可． 【详解】解：任务二：， 重新调整打孔位置后榫眼离点距离为， ∴将榫眼外移距离为：； 故答案为：； 任务三：∵长的木棒恰好能截成 和， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： ． 14．（23-24九年级下·上海浦东新·阶段练习） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 【答案】[任务一]①B；②，；[任务二]超速；[任务三]限速： 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是求函数的解析式； [任务一]①根据材料二分析判定即可；②，将，代入可求，将，代入可求； [任务二]，代入与作比即可； [任务三]如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【详解】解：[任务一]①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，B选项合适； 故选：B． ②设，将，代入得：， 解得：， ∴， 设，将，代入得， 解得：， 故； [任务二]超速，理由： ， 当时， ∴超速； [任务三]要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ∴， 列式得， 解得， 故应限速． 15．（2021·上海杨浦·三模）阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量． 时间 记忆量 刚记忆完 100% 20分钟后 58.2% 1小时后 44.2% 9小时后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 30天后 21.1% 观察表格和图像，回答下列问题： （1）图中点A的坐标表示的实际意义是________； （2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（    ） A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天． （3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？ 【答案】（1）2天大约记忆量保持了27.8%；（2）A；（3）减少约66.3%；①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）． 【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义； （2）根据图象判断即可； （3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右． 【详解】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%； 故答案为：2天大约记忆量保持了27.8% （2）由图可得，0-20分钟 内记忆保持量下降41.8%，故0-20分钟内内遗忘的速度最快， 故选：A； （3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%； 学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键． 16．（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； （2）解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 17．（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【答案】（1）（2）60 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 19．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 20．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 【答案】(1)A； (2)3或5； (3)或． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）由题意可知，求出m的值即可； （3）画出图象，当直线经过时，，当直线经过时，，则时，交点中至少有一个是直线的关联点；当直线经过时，，当直线经过时，，当时，可得交点中至少有一个是直线l1的关联点． 【详解】（1）解：如图，      当时，，则， ∴， ∴A点是直线的关联点； 当时，则，解得：， ∴， ∴B点不是直线的关联点； 故答案为：A； （2）解：设过点D的垂直于y轴的直线交于点Q，      当时，，解得：， ∴， ∵点是直线的最佳关联点， ∴， ∴或， 故答案为：3或5； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，E点在x轴正半轴， ∴， 如图，当直线在和之间，在和之间时，符合条件；      当时，对于，，此时A是直线的最佳关联点，当直线经过时，； 当时，对于，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴时，交点中至少有一个是直线的关联点； 当时，对于，，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， 当时，对于，，，此时E是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴当时，交点中至少有一个是直线的关联点； 综上所述：或时，交点中至少有一个是直线的关联点． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合讨论是解题的关键． 2 助理新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年中考数学复习高频考题专项训练（上海专用），一线教师精选试题！ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题03 阅读材料题（精选上海真题，20题） 一、填空题 1．（23-24九年级上·上海闵行·期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ． 2．（2023·上海闵行·一模）阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 二、解答题 4．（2024九年级下·上海·专题练习）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数，由于测量树高比测量胸径更加费时、货力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高（单位：可以看成胸径（单位：的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是　　（从下面的选项中选择两个即可）． ．模型思想  ．公理化思想  ．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高与胸径的数据如下： 胸径 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高与胸径的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 5．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 方案一：测量距离，仰角α，仰角β．    方案二：测量高度，仰角α，仰角β． 测量项目 CD α β 方案一 方案二 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：____________． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 8．（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 9．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子解答问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子的分子分母颠倒位置，变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以． 即，即． 所以． 根据材料回答问题：（直接写出答案） (1)已知，则________；________． (2)解分式方程组，则方程组的解为________． 10．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料，回答问题： 如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设）都在某个函数的定义域内，并且，，也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角形函数”． (1)试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”； (2)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例； (3)试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请说明理由，如果不是，请举出反例． 11．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 12．（2024九年级下·上海·专题练习）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数，由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高（单位：可以看成胸径（单位：的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是 ___________（从下面的选项中选择）． A．模型思想 B．公理化思想 C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高与胸径的数据如下： 胸径 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高与胸径的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ 时可将凳高调整为． 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为________． 14．（23-24九年级下·上海浦东新·阶段练习） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 15．（2021·上海杨浦·三模）阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量． 时间 记忆量 刚记忆完 100% 20分钟后 58.2% 1小时后 44.2% 9小时后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 30天后 21.1% 观察表格和图像，回答下列问题： （1）图中点A的坐标表示的实际意义是________； （2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（    ） A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天． （3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？ 16．（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 17．（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 18．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 19．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 20．（23-24九年级上·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 8 助理新中考，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$