习题课5 函数的单调性与导数的综合应用课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

习题课5 函数的单调性与导数的综合应用 第五章 一元函数的导数及其应用 习题课 课前检测 1.函数在上是( ) . A.减函数 B.增函数 C.常数函数 D.不能确定单调性的函数 2. 函数的单调递增区间是( ) . A.(−∞,1) B.(0,2) C.(−1,1) D.(1,+∞) 3. 已知，则，，从小到大排列为_________________. 4. 已知定义在上的奇函数的导数是，当时，的图象 如图所示，则关于的不等式的解集为________________. B D 2 一、含参函数的单调性 例题1 已知函数 . (1)当𝑎=3时，求曲线𝑓(𝑥)在𝑥=1 处的切线方程； (2)求𝑓(𝑥) 的单调区间. 【解析】(1) 当时，，则 ， 曲线在处的切线的斜率 ，且 ， 曲线在处的切线方程为，即 . (2)当时，，此时的定义域为，所以在上单 调递减，在 上单调递增. 当时，的定义域为， . 当时，在定义域上恒成立，因此，在 上单调递增，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得 ， 因此，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 ； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 . 3 反思感悟 方法总结 含参函数的单调性问题，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准. 4 新知运用 跟踪训练1 已知函数 . (1) 当时，求曲线在点 处的切线方程； (2) 若，讨论 的单调性. 【解析】(1) 因为，所以 ， 所以 . 因为，所以切线的斜率为 .又因为切线过点 ，所以切线方程为，即 . (的定义域为 ， .令，解得或 ， 依题意， , ①当，即时， ， 所以函数在区间. 5 新知运用 跟踪训练1 已知函数 . (1) 当时，求曲线在点 处的切线方程； (2) 若，讨论 的单调性. 【解析】(②当，即 时， 令，解得或，所以函数在区间 ，和 上单调递减； 令，解得，所以函数在区间，上单调递增. ③当，即 时， 令，解得或，所以函数在区间和， 上单调递减； 令，解得，所以函数在区间，上单调递增. 综上所述，当时，函数在区间和，上单调递减，在区间，上单调递增；当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间 ，和上单调递减，在区间 ，上单调递增. 6 二、已知函数的单调性求参数的取值范围 例题2 (1)设已知函数在区间上单调递增，则的最小值为( ) . A. B. C. D. (2) 已知函数，且的单调递减区间是，求实数的值. 【解析】(1) 因为函数，所以 .因为函数 在上单调递增,所以在上恒成立，即 在 上恒成立，易知,则在上恒成立.设 ,则 .当时，,所以在上单调递增， ,所以,即 ,故选C. (2)，.由题意知的两个根 分别为0和4，故，解得 . C 7 反思感悟 方法总结 在区间 上严格单调递增（单调递减）的充要条件 ，都有 ； (2)在区间的任意子区间上不恒等于零. 8 新知运用 跟踪训练2 (1)已知函数的单调递减区间为， ，则( ) . A. B. C. D. (2)若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是( ) . A. B. C. D.不存在这样的实数 【解析】(1)由题意得，，的单调递减区间为，， 和1是 方程的两个根，代入得 .经检验满足题意. (2)由题意得，在区间 上至少有一个实数根. 的根为2和，且在或两侧异号，而区间 的长度为2， 或只有一个在区间 内，或 ， 或 ，故选B. B B 9 三、函数单调性的应用 例题3 (1) 已知函数的定义域为，为，则不等式的解集是( ) . A. B. D. (2) 已知，， ，则( ) . A. B. D. 【解析】(1) 构造函数， ，则 ，所以函数在上单调递减.又因为 ，所以 ， 所以，且， ，解得 ，所以不等式 的解集是 .故选B. (2) 令，，则 ，所以在上单调递增，所以，即 .令，，则 ，所以在上单调递增，所以，即 . 又当时，，所以当时， ， 则当时，，即 .故选B. B B 10 反思感悟 方法总结 用函数的单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有:(重点) (1)对于，构造 . (2)对于，构造 . (3)对于，构造 . (4)对于，构造 . (5)对于，构造 . (6)对于，构造 . 11 新知运用 跟踪训练3 (1) 已知定义在上的函数满足，且 ，则 的解集为( ) . A. B. C. D. (2) 已知，， ，则( ) . A. B. C. D. 【解析】(1) 设，则 ， 故为 上的增函数， 而可化为，即，故，即 ， 因此不等式的解集为 .故选A. A C 12 新知运用 跟踪训练3 (1) 已知定义在上的函数满足，且 ，则 的解集为( ) . A. B. C. D. (2) 已知，， ，则( ) . A. B. C. D. 【解析】(2) ， ， ，，，， . 构造函数，则 ， 在区间上，，在区间 上单调递减， ，即 . ， ，即 . A C 13 随堂检测 1.若函数在上是增函数，则( ) . A. B. C. D. 2. 定义在上的函数，的导数分别为，，且 ，则下列 结论一定成立的是( ) . A. B. C. D. 3. 已知，， ，则( ) . A. B. C. D. A A C 14 随堂检测 4. 已知函数，讨论 的单调性. 【解析】由，得 . 当时，在上恒成立，所以在 上单调递增. 当时，令，则，解得 . 当或时， ； 当时， . 所以在 ，，，上单调递增，在，上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在 ，，，上单调递增，在，上单调递减. 15 课堂小结 1.知识清单： (1)含参函数的单调性； (2)已知函数的单调性求参数的取值范围； (3)函数单调性的应用. 16 $$