5.3.1 函数的单调性课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用 第五章 一元函数的导数及其应用 课时1 函数的单调性 新知探究 探究一：函数的单调性与导数 情境设置 问题1：如图，这是某跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间𝑡 变化的函数的图象以及其速度随时间变化的函数的图象，试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别. 【解析】通过观察图象，可以发现： (1)运动员从起点到最高点，他的重心离水面的高度ℎ随时间𝑡的增加而增加， 即单调递增，相应地， ； (2)运动员从最高点到入水，他的重心离水面的高度ℎ随时间𝑡的增加而减小， 即单调递减，相应地， . 2 新知探究 探究一：函数的单调性与导数 情境设置 问题2：观察下面一些函数的图象，探究函数的单调性和导数正负的关系. (1) (3) (2) (4) 3 新知生成 知识点一 函数的单调性与导数 1.一般地，函数的单调性与其导数有如下关系： 导数的符号 不等式的解集 函数的单调性 单调区间 单调递增 递增区间 单调递减 递减区间 4 新知生成 知识点一 函数的单调性与导数 2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明: (1)若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则仍为 增函数(减函数的情形完全类似). (为增函数的充要条件是对任意的都有且在内的任一 非空子区间上不恒为0.相反，为减函数的充要条件是对任意的都有 且在内的任一非空子区间上 不恒为0. 5 一、函数的单调性与导数 例题1 利用导数判断下列函数的单调性. ； ； (3) . 【解析】(1) 因为 ，所以 ，所以函数在上单调递增. (2)因为， ，所以，所以在上单调递增. (3)因为，，所以，所以 在 上单调递减. 6 反思感悟 方法总结 利用导数判断或证明函数单调性的思路：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 在给定区间上恒成立.一般步骤如下： ①求导数； ②判断的符号； ③给出单调性的结论. 特别提醒：如果出现个别点使 ，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性. 7 新知运用 跟踪训练1 求证：函数在， 上单调递减. 【解析】因为，当，时，， ， 所以，所以. 故在， 上单调递减. 8 二、函数的单调性与导数 例题2 已知函数 . (1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(−1,𝑓(−1)) 处的切线方程； (2)求函数𝑦=𝑓(𝑥) 的单调区间. 【解析】(1) 由，得 . 因为，，所以曲线在点处的切线 方程为 . (2) 由题意可知，函数的定义域为，由（1）知，当 时，，函数在上单调递减；当或 时， ，函数在和，上单调递增；当时， ，函数 在，上单调递减.综上所述，函数的单调递增区间为和， ，单调递减区间为和， . 9 反思感悟 方法总结 求函数 的单调区间的步骤 (1)确定函数 的定义域. (2)求导数 . (3)解不等式 ，函数在解集与定义域的交集上为增函数. (4)解不等式 ，函数在解集与定义域的交集上为减函数. 10 新知运用 跟踪训练2 求下列函数的单调性. (1); (2); (3); (4); 11 新知探究 探究二：导函数图象与原函数图象的关系 情境设置 问题1：观察下面若函数𝑓(𝑥)为可导函数，且在区间(𝑎,𝑏)上是单调递增(减)函数，则𝑓′(𝑥) 满足什么条件？ 问题2：结合图象，如何从导数的角度解释函数增减快慢的情况？ 12 新知生成 知识点二 导函数图象与原函数图象的关系 一般地，若函数𝑦=𝑓(𝑥)为可导函数，则在区间(𝑎,𝑏) 上有如下关系： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 越快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 越慢 比较“平缓” 13 三、导函数图象与原函数图象的关系 例题3 设是函数的导数，的图象如图所示，则的图象最有可能是( ) . A. B. C. D. 【解析】由导函数的图象可得，当时，，函数 单调递增； 当时，，函数 单调递减； 当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选C. C 14 反思感悟 方法总结 研究函数与导数图象之间关系的方法：研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素， (1)对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减； (2)对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 15 新知运用 跟踪训练3 已知函数𝑦=𝑥𝑓′(𝑥)(其中𝑓′(𝑥)是函数𝑓(𝑥) 的导函数)的图象如图所示，则下面四个图象中，是函数𝑦=𝑓(𝑥) 的大致图象的是( ) . A. B. C. D. 【解析】由函数 的图象可得， 当时，，，可知函数在 上单调递增； 当时，，，可知函数在 上单调递减； 当时，，，可知函数在 上单调递减； 当时，，，可知函数在上单调递增. 综上所述，函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为 ， .故选C. C 16 随堂检测 1.函数𝑓(𝑥)=2𝑥−sin 𝑥在𝐑 上是( ) . A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.不确定单调性的函数 2.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图所示，则𝑦=𝑓′(𝑥) 的图象可能是( ) . A. B. C. D. 3.函数𝑓(𝑥)=3+𝑥ln 𝑥 的单调递增区间是________. D A 17 随堂检测 4. 已知函数 . (1)求曲线𝑓(𝑥)在点(2,𝑓(2)) 处的切线方程； (2)求𝑓(𝑥) 的单调区间. 【解析】(1) ，， . 又， 曲线在点处的切线方程为 ， 即 . ( ， 当 ，时，；当，时， . 故的单调递增区间为 ，，，单调递减区间为， . 18 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的单调性与导数； (2)导函数图象与原函数图象的关系. 19 $$