5.2.3 简单复合函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.2导数的运算 第五章 一元函数的导数及其应用 课时3 简单复合函数的导数 新知探究 探究一：复合函数的概念 情境设置 问题1：函数 是由哪些函数复合而成的？ 问题2：如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ 2 新知生成 知识点一 复合函数的概念 一般地，对于两个函数 和，如果通过中间变量，可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 . 3 一、复合函数的概念 例题1 下列函数是怎样复合而成的？ (1) ； (2) . 【解析】(1) 令，则 ， 所以是由函数和函数 复合而成的. (2)令，则，所以是由函数和函数复合而成的. 4 反思感悟 方法总结 若与均为基本初等函数，则函数和函数均为复合函数. 5 新知运用 跟踪训练1 下列函数是怎样复合而成的？ ； ； . 【解析】(1) 函数是由与 复合而成的. (2)函数是由与 复合而成的. (3)函数是由与 复合而成的. 6 新知探究 探究二：复合函数的导数 情境设置 问题：如何求复合函数的导数？以函数𝑦=sin 2𝑥 为例，研究其导数. 【解析】猜想的导数与函数， 的导数有关. 以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数. 可以先得到，的导数，即， . 换一个角度求 . 由此可发现， . 7 新知生成 知识点二 复合函数的导数 一般地，对于由函数和复合而成的函数 ，它的导数与函数，的导数间的关系为 ， 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 8 二、复合函数求导法则 例题2 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【解析】(1) . (2) . ( . ( . 9 反思感悟 方法总结 对于复合函数的求导，要注意分析函数的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，选择的中间变量应是基本函数的结构，切不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算. 注意：对复合函数求导时，一般从最外层开始，由外及里，一层一层地求导.不要忘记中间变量对自变量的求导. 10 新知运用 跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)； (2) ； (3) ； (4) . 【解析】(1) . (2) . (3) . (4) . 11 三、复合函数求导法则的应用 例题3 (1)已知函数已知物体运动的位移(单位：)与时间(单位： )满足函数关系式 ，则物体在时的瞬时速度为( ) . A. B. C. D. (2) 若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ___. 【解析】(1) 因为，所以，令 ，得 .故选A. (2)令，则曲线在点处的切线的斜率为 ，又切线与直线 垂直，所以.因为 ，所以 ，所以，故 . A 2 12 反思感悟 方法总结 1.利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数.求曲线 的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点.求过点𝑃 与曲线相切的直线方程时，一般设出切点坐标，写出切线方程，再代入点的坐标，求出 ，得直线方程. 2.利用导数求参数问题，能比较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用. 13 新知运用 跟踪训练3 已知曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积为，则 ___. 【解析】因为，所以，得该曲线在处的切线的斜率 ，切点为，所以切线方程为 . 令，得；令，得 .所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积 ， 解得 . 8 14 随堂检测 1. 函数的导数是( ) . A. B. C. D. 2. 已知函数，则等于( ) . A.1 B. C. D. 3.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种 现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足的函数关系为，其中为 时铯137的含量.已知时，铯137含量的变化率是太贝克/年，则 ( ) . A.5太贝克 B.太贝克 C.太贝克 D.150太贝克 B C D 15 随堂检测 4. 已知直线与曲线相切，则的值为____. 【解析】，.设切点为，则 ， ，且，解得 . 16 课堂小结 1.知识清单： (1)复合函数的概念； (2)复合函数的导数; (3)复合函数求导法则的应用. 17 $$