（同步讲练篇）第二单元 （质数和合数·7大考点+2拓展考点）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

2025学年五年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 因数和倍数 （质数和合数） 【考点1】判断质数和合数 3 【考点2】质数和合数特殊情况的运用 3 【考点3】奇数和偶数运算性质（加法） 3 【考点4】逐步分解法分解质因数 5 【拓展考点1】短除法分解质因数 6 【拓展考点2】分解质因数求最大公因数和最小公倍数 6 【考点1】判断质数和合数 【思路点拨】一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数，也称为素数。一个大于 1 的整数，如果除了 1 和它本身以外，还有其他的约数，这样的数就叫作合数。可以通过查阅质数表来快速判断一个数是否为质数。常见的质数表列出了一定范围内的所有质数，如 100 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ： 著名的哥德巴赫猜想中提到：任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和。利用这一猜想，拆分下面的偶数：20＝( )＋( )，28＝( )＋( )，34＝( )＋( )。 1．15的因数有( )，这些因数中有( )个质数。 2．一个数，亿位上是最大的一位数，千万位上是6，万位上是最小的合数，千位上是最小的质数，其余数位上都是0，这个数是( )，四舍五入到亿位约是( )亿。 3．一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是( )。 【考点2】质数和合数特殊情况的运用 【思路点拨】1 既不是质数也不是合数。2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。 ： 自然数中除了奇数就是偶数，除了质数就是合数。( ) 1．一个非零自然数含有因数2，那么这个数一定是合数。( ) 2．个位上是1、3、5、7、9的数，都是质数。( ) 3．两个连续自然数的和不是质数就是合数。( ) 【考点3】奇数和偶数运算性质（加法） 【思路点拨】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 ： 一个两位数的质数和一个两位数的合数的和、差均为奇数，并且质数、合数的个位上的数字和十位上的数字分别交换后，质数变成合数，合数变成质数。原来的质数和合数各是多少？（已知原来的质数和合数均为15~20之间的数。） 1．6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。    2．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。 3．阳光小学五（3）班有47名同学，现在派他们到4个社区参加志愿者服务活动，每个社区要求派奇数名同学，你能按要求分配任务吗？说说你的理由。 【考点4】逐步分解法分解质因数 【思路点拨】从最小的质数开始，逐个尝试能否整除给定的合数，能整除的就将其作为一个质因数提出来，然后用商继续进行分解，直到最后得到的商也是质数为止。 ： 把下面各数分解质因数。 21        56        75        68 1．把下面各数写成质数相乘的形式。 45                 96               70 2．把下列合数分解质因数。 36           45          38           95 3．把下面各数分解质因数。 ①78＝                            ②120＝ 【拓展考点1】短除法分解质因数 【思路点拨】用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就继续按上面的方法除下去，直到得出的商是质数为止。最后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 ： 用短除法求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24    48和72    36和54 找出下面每组数的最大公因数。 15和75    18和42    17和18 【拓展考点2】分解质因数求最大公因数和最小公倍数 【思路点拨】求最大公因数和最小公倍数：通过分解质因数，可以找出两个或多个数的公有质因数和各自独有的质因数，进而求出它们的最大公因数和最小公倍数。例如，求12和18的最大公因数和最小公倍数，12=2×2×3, 18=2×3×3,公有质因数为2和3,所以最大公因数是2×3=6;最小公倍数为2×3×2×3=36。 ： 求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45              51和17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年五年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 因数和倍数 （质数和合数） 【考点1】判断质数和合数 3 【考点2】质数和合数特殊情况的运用 4 【考点3】奇数和偶数运算性质（加法） 5 【考点4】逐步分解法分解质因数 8 【拓展考点1】短除法分解质因数 9 【拓展考点2】分解质因数求最大公因数和最小公倍数 11 【考点1】判断质数和合数 【思路点拨】一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数，也称为素数。一个大于 1 的整数，如果除了 1 和它本身以外，还有其他的约数，这样的数就叫作合数。可以通过查阅质数表来快速判断一个数是否为质数。常见的质数表列出了一定范围内的所有质数，如 100 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ： 著名的哥德巴赫猜想中提到：任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和。利用这一猜想，拆分下面的偶数：20＝( )＋( )，28＝( )＋( )，34＝( )＋( )。 答案： 3 17 5 23 3 31 分析：质数是只有1和它本身两个因数的自然数。例如34以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31。可通过试验分别找出两个质数的和，分别是20、28、34。据此解答。 详解：20＝3＋17（答案不唯一） 28＝5＋23（答案不唯一） 34＝3＋31（答案不唯一） 1．15的因数有( )，这些因数中有( )个质数。 答案： 1、3、5、15 2 分析：可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是15的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是15的因数。只有1和它本身两个因数的数叫做质数。1既不是质数也不是合数。据此解答。 详解： 3和5都是质数。 所以，15的因数有1、3、5、15，这些因数中有2个质数。 2．一个数，亿位上是最大的一位数，千万位上是6，万位上是最小的合数，千位上是最小的质数，其余数位上都是0，这个数是( )，四舍五入到亿位约是( )亿。 答案： 960042000 10 分析：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 详解：960042000≈10亿 一个数，亿位上是最大的一位数，千万位上是6，万位上是最小的合数即4，千位上是最小的质数即2，其余数位上都是0，这个数是960042000，四舍五入到亿位约是10亿。 3．一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是( )。 答案：124 分析：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4。据此解答。 详解：通过分析可得：这个三位数是124。 【考点2】质数和合数特殊情况的运用 【思路点拨】1 既不是质数也不是合数。2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。 ： 自然数中除了奇数就是偶数，除了质数就是合数。( ) 答案：× 分析：能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数叫做奇数；只有本身和1两个因数的数叫做质数，除了1和它本身之外还有其他因数的数是合数，1既不是质数也不是合数。据此判断。 详解：由分析可知，在自然数中，除了奇数就是偶数，说法正确。1既不是质数也不是合数，所以除了质数、合数外还有1，后半句说法错误。 故答案为：× 1．一个非零自然数含有因数2，那么这个数一定是合数。( ) 答案：× 分析：根据合数和质数的意义：一个自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数，这样的数叫做合数，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此判断即可。 详解：2的最大因数是它本身，2是最小的质数，因此，含有因数2的自然数是一定是合数，这种说法错误。 故答案为：× 2．个位上是1、3、5、7、9的数，都是质数。( ) 答案：× 分析：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；据此可以举例进行判断。 详解：个位上是1、3、5、7、9的数，都是质数的说法错误，例如21的因数除了1和它本身外，还有3和7。 所以原题说法错误。 故答案为：× 3．两个连续自然数的和不是质数就是合数。( ) 答案：× 分析：只用1和它本身两个因数的数是质数；除了1和它本身两个因数，还有其它因数的数是合数。1既不是质数，也不是合数。据此解答。 详解：当这个两个连续自然数是0和1时，它们的和：0＋1＝1，1既不是质数也不是合数。题目说，两个连续自然数的和不是质数就是合数，这种说法是错误的。 故答案为：× 【考点3】奇数和偶数运算性质（加法） 【思路点拨】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。 ： 一个两位数的质数和一个两位数的合数的和、差均为奇数，并且质数、合数的个位上的数字和十位上的数字分别交换后，质数变成合数，合数变成质数。原来的质数和合数各是多少？（已知原来的质数和合数均为15~20之间的数。） 答案：质数：19；合数：16 分析：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数：一个数，除了1和它本身两个因数，这样的数叫做合数； 奇数和偶数的运算性质： ①偶数±偶数＝偶数 ②奇数±奇数＝偶数 ③偶数±奇数＝奇数 据此找出15~20的质数和合数，再进行分析，即可解答。 详解：15~20的质数有：17，19；合数：15，16，18，20。 17个位上的数字和十位上的数字调换是71，71是质数，不符合题意。 19个位上的数字和十位上的数字调换是91，91是合数，符合题意。 15个位上的数字和十位上的数字调换是51，51是合数；不符合题意。 16个位上的数字和十位上的数字调换是61，61是质数；符合题意。 18个位上的数字和十位上的数字调换是81，81是合数；不符合题意。 20个位上的数字和十位上的数字调换是02，不符合题意。 因为19＋16＝35；35是奇数；19－16＝3；3是奇数，所以原来的质数是19，合数是16。 答：原来的质数是19，合数是16。 1．6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。    答案：不对；理由见详解（理由合理即可）。 分析：康乃馨每枝8元，郁金香每枝4元，8和4都是偶数。因为偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以买康乃馨的钱数是偶数，买郁金香的钱数也是偶数。又因为偶数＋偶数＝偶数，所以买康乃馨和郁金香的总钱数是偶数。根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 详解：售货员说的不对。 理由：8和4都是偶数，偶数的倍数一定是偶数，所以无论各买几枝康乃馨和郁金香，积都是偶数；两个偶数积相加还是偶数，不可能出现奇数，而63是奇数，所以售货员说的不对。（理由合理即可） 点睛：此题考查了奇数、偶数的运算性质及奇数、偶数的意义。 2．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。 答案：偶数；奇数；理由见详解 分析：由运算性质的奇偶性可知，奇数与奇数的差为偶数，奇数与偶数的差为奇数，假设出抽调到甲社区的教师人数，求出抽调到乙社区的教师人数，最后判断乙社区的教师人数为奇数还是偶数，据此解答。 详解：情况1：假设抽调到甲社区了15人。 35－15＝20（人） 因为20为偶数，所以当抽调到甲社区的教师人数为奇数时，抽调到乙社区的教师人数为偶数。 情况2：假设抽调到甲社区了10人。 35－10＝25（人） 因为25为奇数，所以当抽调到甲社区的教师人数为偶数时，抽调到乙社区的教师人数为奇数。 答：如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为偶数，如果抽调到甲社区的教师人数为偶数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数。 点睛：熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 3．阳光小学五（3）班有47名同学，现在派他们到4个社区参加志愿者服务活动，每个社区要求派奇数名同学，你能按要求分配任务吗？说说你的理由。 答案：不能；理由见详解 分析：根据奇数和偶数的运算性质解答即可。 详解：因为奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以4个奇数相加的和一定是偶数，而47不是偶数，所以无法分配此任务。 点睛：此题主要考查学生对奇数和偶数的运算性质的理解。 【考点4】逐步分解法分解质因数 【思路点拨】从最小的质数开始，逐个尝试能否整除给定的合数，能整除的就将其作为一个质因数提出来，然后用商继续进行分解，直到最后得到的商也是质数为止。 ： 把下面各数分解质因数。 21        56        75        68 答案：21＝3×7；56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；68＝2×2×17 分析：把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数。据此解答。 详解：21＝3×7 56＝2×2×2×7 75＝3×5×5 68＝2×2×17 1．把下面各数写成质数相乘的形式。 45                 96               70 答案：45＝3×3×5；96＝2×2×2×2×2×3；70＝2×5×7 分析：求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质差不多。分解质因数只针对合数。 详解：，45＝3×3×5；，96＝2×2×2×2×2×3；，70＝2×5×7 2．把下列合数分解质因数。 36           45          38           95 答案：36＝2×2×3×3；45＝3×3×5；38＝2×19；95＝5×19 分析：求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质差不多。分解质因数只针对合数。 详解：，36＝2×2×3×3；，45＝3×3×5；，38＝2×19；，95＝5×19。 点睛：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 3．把下面各数分解质因数。 ①78＝                            ②120＝ 答案：见详解 分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此将78和120拆分为质数乘积的形式即可。 详解：①78＝2×3×13 ②120＝2×2×2×3×5 【拓展考点1】短除法分解质因数 【思路点拨】用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就继续按上面的方法除下去，直到得出的商是质数为止。最后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 ： 用短除法求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24    48和72    36和54 答案：18和24最大公因数：2×3＝6，最小公倍数：2×3×3×4＝72； 48和72最大公因数：2×2×2×3＝24，最小公倍数：2×2×2×3×2×3＝144； 36和54最大公因数：2×3×3＝18，最小公倍数：2×3×3×2×3＝108。 分析：由题意可知利用短除法求最大公因数和最小公倍数时，先从最小的质数开始依次往上去除，直至两个数互质为止即可。 详解： 18和24最大公因数：2×3＝6，最小公倍数：2×3×3×4＝72； 48和72最大公因数：2×2×2×3＝24，最小公倍数：2×2×2×3×2×3＝144； 36和54最大公因数：2×3×3＝18，最小公倍数：2×3×3×2×3＝108。 找出下面每组数的最大公因数。 15和75    18和42    17和18 答案：15；6；1 分析：①如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数；②当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1；③用短除法求最大公因数，先用这几个数的最小质因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 详解：（1），所以15和75的最大公因数是15； （2） 18和42的最大公因数是：； （3） 17和18是互质数，所以 17和18的最大公因数是1。 【拓展考点2】分解质因数求最大公因数和最小公倍数 【思路点拨】求最大公因数和最小公倍数：通过分解质因数，可以找出两个或多个数的公有质因数和各自独有的质因数，进而求出它们的最大公因数和最小公倍数。例如，求12和18的最大公因数和最小公倍数，12=2×2×3, 18=2×3×3,公有质因数为2和3,所以最大公因数是2×3=6;最小公倍数为2×3×2×3=36。 ： 求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 答案：15；17；12 分析：我们可以利用质因数分解法来求出两个数的最大公因数：每个数分别分解质因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公因数。 详解：（1）45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 所以，45和60的最大公因数为：3×5＝15； （2）17＝1×17 51＝3×17 所以，17和51的最大公因数为：17； （3）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以，24和36的最大公因数为：2×2×3＝12。 求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45              51和17 答案：7；9；17 分析：求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 详解：14＝2×7 35＝5×7 14和35的最大公因数是7； 54＝2×3×3×3 45＝3×3×5 3×3＝9 54和45的最大公因数是9； 51÷17＝3 51和17是倍数关系，所以51和17的最大公因数是17。 学科网（北京）股份有限公司 $$