（同步讲练篇）第二单元 （因数和倍数的认识、特征及应用·8大考点+3拓展考点）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 各位老师好！备课找资料是不是经常遇到这些烦恼？网上资源太多挑花眼，下载的习题总是不对路，好不容易找到合适的又不够系统...为了解决这些痛点，特推出这套《五年级数学下册高效学习工具箱（2025版）》，专为课堂教学+课后练习+阶段复习量身定制！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 计算题+应用题组合 知识点变式训练包 考点全覆盖 一题多练 新课讲授 当堂检测 提分利器·专项突破篇 课后巩固 15-20题/专项 填空/选择/应用全题型 题型最全面 题量黄金比 作业布置 薄弱项特训 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单 单元卷+答案解析 系统性强 查漏补缺快 考前复习 假期巩固 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 生活应用题集 数学思想方法论 衔接课标 培养高阶思维 社团活动 竞赛辅导 分层检测·质量评价篇 教学评估 A卷（基础题70%） B卷（提升题20%） C卷（拓展题10%） 精准分层 快速评价报告 随堂测验 个性化作业 在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处。在此，期望大家能够以敏锐的视角审视资料。如若发现任何问题，烦请您不吝指出。 一旦收到反馈，将立即修正完善。在此，衷心地感谢大家的理解与信任，期待在您的助力下，这份资料能够更好地服务于大家的学习与工作。 2025年2月17日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 因数和倍数 （因数和倍数的认识、特征及应用） 单元名称 第二单元 因数和倍数 知识概览 因数和倍数的认识、特征及应用 考点数量 8大考点·3拓展考点（考点+例题+练习） 难易程度 ☆☆☆☆☆ 备注：拓展考点根据实际情况可选择性运用。 【考点1】说出谁是谁的因数和倍数 3 【考点2】找一个数的因数 3 【考点3】找一个数的倍数 4 【考点4】列举法表示因数和倍数 4 【考点5】集合法表示因数和倍数 4 【考点6】根据因数的特征解决问题 5 【考点7】根据倍数的特征解决问题 6 【考点8】根据因数和倍数的特征解决综合问题 7 【拓展考点1】求公因数和最大公因数 8 【拓展考点2】求公倍数和最小公倍数 9 【拓展考点3】分解质因数 10 【考点1】说出谁是谁的因数和倍数 【思路点拨】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 ： a、b都是大于0的自然数，a＝9b。a的因数最少有( )，( )，( )和( )。 1．如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 2．在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 3．在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【考点2】找一个数的因数 【思路点拨】列除法算式找：用所求数除以大于等于 1 而小于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。 列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是该数的因数。 ： 20的因数有( )，40以内12的倍数有( )。 1．20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 2．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是 。 3．找15的因数可以想“15除以几没有余数”，因为15÷1＝( )，15÷3＝( )，所以15的因数有( )。 【考点3】找一个数的倍数 【思路点拨】列乘法算式找：用这个数依次与非 0 自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 ： 8的最小倍数是( )。 1．15的因数有( )，50以内12的倍数有( )。 2．24有( )个因数，17的最小倍数是( )。 3．一个数的最大因数是48，这个数是( )，那么这个数的所有因数是( )，这个数的最小倍数是( )。 【考点4】列举法表示因数和倍数 【思路点拨】如 18 的因数有 1，2，3，6，9，18。把因数按从小到大的顺序排列，其中两个因数之间用逗号隔开，全部写完后画上句号。 ： 一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 1．一个数的最小倍数是12，这个数的最大因数是( )。 2．12的因数有 ；请写出30以内所有8的倍数 。 3．按要求写出下列各数的因数或倍数（写出40以内的倍数）。 12的因数：( )   6的倍数：( ) 【考点5】集合法表示因数和倍数 【思路点拨】先画一个椭圆，在椭圆上面写上该数的名称，再把因数或倍数按一定顺序写在椭圆里，因数或倍数之间用逗号隔开。 ： 选择符合条件的数，填写在相应的圆圈里。 1．写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        2．写出下面各数的因数。 3．24和36的最大公因数是（    ）。 【考点6】根据因数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 ： 找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 1．端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 2．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 3．今年是抗日战争胜利75周年，我们应铭记历史。乐乐和爸爸参观完博物馆之后买纪念奖章，已知有四种价格的纪念奖章：4元/个；5元/个；8元/个；15元/个。乐乐有30元钱，如果只买一种纪念奖章，买哪种刚好把钱用完？ 4．把36块糖装在小罐子里，每个小罐子装同样多（每小罐里糖的数量要大于3块，小于36块），有几种装法？每种装法个需要几个小罐子？如果有37块糖呢？ 【考点7】根据倍数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 ： 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 1．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 2．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 3．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【考点8】根据因数和倍数的特征解决综合问题 【思路点拨】结合因数和倍数的特征综合运用解决。 ： 某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 1．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 2．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 3．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【拓展考点1】求公因数和最大公因数 【思路点拨】定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 求法： 列举法：分别列出两个数的因数，再找出公有的因数和最大公因数。 筛选法：先找出较小数的因数，再从这些因数中找出能整除较大数的因数，其中最大的就是最大公因数。 分解质因数法：将两个数分别分解质因数，把公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到商互质为止，把所有的除数相乘就是最大公因数。 ： 花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的数量要相等，康乃馨的数量也要相等，这种花束中至少有( )朵花。 1．有一张长60cm、宽36cm的长方形纸，如果把它裁成若干张同样大小的正方形纸而无剩余，那么正方形纸的边长最大是( )cm。 2．厨艺大赛中，选手们刀功熟练，一瞬间就把一块长12，宽8，高4的豆腐，切成同样大小的小正方体豆腐丁，刚好切完没有剩余，小正方体豆腐丁的棱长最大是( )，能切成( )个这样的豆腐丁。 3．16的因数有( )，24的因数有( )。16和24的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【拓展考点2】求公倍数和最小公倍数 【思路点拨】定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 求法： 列举法：分别列出两个数的倍数，再找出公有的倍数和最小公倍数。 扩大倍数法（大数翻倍法）：以较大数为基础，依次乘以 1、2、3……，直到所得的积是较小数的倍数，这个积就是最小公倍数。 分解质因数法：先把两个数分解质因数，公有的质因数和各自独有的质因数相乘的积就是最小公倍数。 短除法：用公有的质因数去除，直到商互质为止，把除数和最后的商相乘就是最小公倍数。 ： 欢欢、乐乐和欣欣三个小朋友去体育馆打篮球，欢欢每2天去一次，乐乐每3天去一次，欣欣每4天去一次。三人在6月17日同时来到体育馆，下一次他们同时来体育馆的日期是6月( )日。 1．学校体操队的人数不超过50个。这次队列变化，按每组3人或每组8人进行分组，都刚好分完。体操队最多有( )人。 2．如果a÷b＝c（a、b、c都是非零的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【拓展考点3】分解质因数 【思路点拨】定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。比如 30=2×3×5，2、3、5 就是 30 的质因数。 方法：一般从最小的质数开始试除，直到除得的商是质数为止，再把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 ： 请把下面的数分解质因数： （1）360                （2）1260 1．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 21      23       27       40       18       36        31       49 2．用短除法分解质因数。 315       84          273 3．把下面各数分解质因数。 84        108          91       60 学科网（北京）股份有限公司 $$五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 各位老师好！备课找资料是不是经常遇到这些烦恼？网上资源太多挑花眼，下载的习题总是不对路，好不容易找到合适的又不够系统...为了解决这些痛点，特推出这套《五年级数学下册高效学习工具箱（2025版）》，专为课堂教学+课后练习+阶段复习量身定制！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 计算题+应用题组合 知识点变式训练包 考点全覆盖 一题多练 新课讲授 当堂检测 提分利器·专项突破篇 课后巩固 15-20题/专项 填空/选择/应用全题型 题型最全面 题量黄金比 作业布置 薄弱项特训 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单 单元卷+答案解析 系统性强 查漏补缺快 考前复习 假期巩固 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 生活应用题集 数学思想方法论 衔接课标 培养高阶思维 社团活动 竞赛辅导 分层检测·质量评价篇 教学评估 A卷（基础题70%） B卷（提升题20%） C卷（拓展题10%） 精准分层 快速评价报告 随堂测验 个性化作业 在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处。在此，期望大家能够以敏锐的视角审视资料。如若发现任何问题，烦请您不吝指出。 一旦收到反馈，将立即修正完善。在此，衷心地感谢大家的理解与信任，期待在您的助力下，这份资料能够更好地服务于大家的学习与工作。 2025年2月17日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第二单元 因数和倍数 （因数和倍数的认识、特征及应用） 单元名称 第二单元 因数和倍数 知识概览 因数和倍数的认识、特征及应用 考点数量 8大考点·3拓展考点（考点+例题+练习） 难易程度 ☆☆☆☆☆ 备注：拓展考点根据实际情况可选择性运用。 【考点1】说出谁是谁的因数和倍数 3 【考点2】找一个数的因数 4 【考点3】找一个数的倍数 6 【考点4】列举法表示因数和倍数 7 【考点5】集合法表示因数和倍数 8 【考点6】根据因数的特征解决问题 11 【考点7】根据倍数的特征解决问题 13 【考点8】根据因数和倍数的特征解决综合问题 15 【拓展考点1】求公因数和最大公因数 17 【拓展考点2】求公倍数和最小公倍数 19 【拓展考点3】分解质因数 21 【考点1】说出谁是谁的因数和倍数 【思路点拨】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 ： a、b都是大于0的自然数，a＝9b。a的因数最少有( )，( )，( )和( )。 答案： 1 a 9 b 分析：a＝9b，说明9和b都是a的因数，另外一个数的最小公倍数是1，最大因数是它本身，据此填空。 详解：a、b都是大于0的自然数，a＝9b。根据分析，a的因数最少有1，a，9和b。 1．如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 答案： 倍 因 分析：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 详解：如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），即m÷n＝4，那么m是n的倍数，n是m的因数。 2．在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 答案： 98 35 分析：最大的两位数是99，用99除以7求出商和余数，用99减去余数即是所求；一个数的因数最小是1，最大是它本身。据此解答。 详解： 因此，在7的倍数中，最大的两位数是98； 一个数只有a、5、7、35四个因数，即该数最小的因数是a，最大的因数是35，因此，这个数是35。 3．在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 答案： 6 48 48 6 分析：根据题意，结合倍数与因数的定义可知，在整数除法中，‌如果所得的商是自然数而没有余数，‌那么被除数就是除数的倍数，‌而除数则是被除数的因数。‌在这个特定的例子中，‌48除以6的结果是一个没有余数的除法运算，‌因此可以确定6是48的因数，‌同时48是6的倍数。‌ 详解：在48÷6＝8中，6是48的因数，‌同时48是6的倍数。 【考点2】找一个数的因数 【思路点拨】列除法算式找：用所求数除以大于等于 1 而小于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。 列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是该数的因数。 ： 20的因数有( )，40以内12的倍数有( )。 答案： 1、2、4、5、10、20 12、24、36 分析：找一个数的因数，可以一对一对的找，把20写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是20的因数，然后从小到大依次写出即可； 求一个数的倍数的方法用这个数分别乘自然数： 1、2、3、4、5……所得积就是这个数的倍数，据此写出40以内12的倍数即可。 详解：20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有：1、2、4、5、10、20； 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48（超过40所以排除） 40以内12的倍数有：12、24、36。 1．20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 答案： 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出20和30的因数，再找到既是20的因数，又是30的因数的数即可。 详解：20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因数有：1，2，4，5，10，20； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 既是20的因数，又是30的因数有：1，2，5，10。 20的因数有1，2，4，5，10，20，30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，既是20的因数，又是30的因数的数有1，2，5，10。 2．黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是 。 答案：64 分析：根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。 详解：16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。 点睛：本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。 3．找15的因数可以想“15除以几没有余数”，因为15÷1＝( )，15÷3＝( )，所以15的因数有( )。 答案： 15 5 1、15、3、5 分析：因，，改写成除法可以是，。从而确定15的因数。据此解答。 详解：找15的因数可以想“15除以几没有余数”，因为15÷1＝（15），15÷3＝（5），所以15的因数有（1、15、3、5）。 【考点3】找一个数的倍数 【思路点拨】列乘法算式找：用这个数依次与非 0 自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 ： 8的最小倍数是( )。 答案：8 分析：一个数的倍数就是这个数分别乘1、2、3、4……所得的数。根据倍数的定义，一个数的最小的倍数是它本身，据此解答。 详解：由分析得：8的最小倍数是8。 1．15的因数有( )，50以内12的倍数有( )。 答案： 1、3、5、15 12、24、36、48 分析：可以利用乘法来一对一对的找一个数的因数。求一个数的倍数，就用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…就得到了这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍… 详解：1×15＝15、3×5＝15 15的因数有：1、3、5、15； 12×1＝12、12×2＝24、12×3＝36、12×4＝48 12的倍数：12、24、36、48。 2．24有( )个因数，17的最小倍数是( )。 答案： 8 17 分析：根据找一个数的因数的方法，先列举出24的所有因数，再数出个数即可。 一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 详解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；共有8个因数； 17的最小倍数是17。 3．一个数的最大因数是48，这个数是( )，那么这个数的所有因数是( )，这个数的最小倍数是( )。 答案： 48 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 48 分析：一个数的最大因数是它本身，最小因数是它本身；48的最大因数是48；48的最小倍数是48；根据找一个因数的方法写出它的所有因数；据此解答即可。 详解：48的最大因数是48。 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 48的最小公倍数是48。 【考点4】列举法表示因数和倍数 【思路点拨】如 18 的因数有 1，2，3，6，9，18。把因数按从小到大的顺序排列，其中两个因数之间用逗号隔开，全部写完后画上句号。 ： 一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是( )。 答案：15 分析：根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 详解：根据分析可知，一个数的最大因数是15，最小倍数也是15，这个数是15。 1．一个数的最小倍数是12，这个数的最大因数是( )。 答案：12 分析：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。所以一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。 详解：一个数的最小倍数是12，则这个数是12，它的最大因数是12。 点睛：本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握求一个数的因数和倍数的方法。 2．12的因数有 ；请写出30以内所有8的倍数 。 答案： 1，2，3，4，6，12 8，16，24 分析：找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 详解：12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有：1，2，3，4，6，12。 8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 30以内所有8的倍数：8，16，24。 3．按要求写出下列各数的因数或倍数（写出40以内的倍数）。 12的因数：( )   6的倍数：( ) 答案： 1、2、3、4、6、12 6、12、18、24、30、36 分析：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数和商都是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数； 可以列乘法算式找一个数的因数：按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数； 也可以列乘法算式找一个数的倍数：按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 详解：由分析可得： 12的因数：1、2、3、4、6、12 6的倍数：6、12、18、24、30、36 【考点5】集合法表示因数和倍数 【思路点拨】先画一个椭圆，在椭圆上面写上该数的名称，再把因数或倍数按一定顺序写在椭圆里，因数或倍数之间用逗号隔开。 ： 选择符合条件的数，填写在相应的圆圈里。 答案：14的倍数：14、28、42、56、70、84； 84的因数：6、7、14、28、42、84 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出14的倍数和84的因数，再对照给出的数，填空即可。 详解：14×1＝14、14×2＝28、14×3＝42、14×4＝56、14×5＝70、14×6＝84 84＝1×84＝2×42＝3×28＝4×21＝6×14＝7×12 14的倍数：14、28、42、56、70、84 84的因数：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84 1．写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        答案：见详解 分析：根据找一个数的倍数的方法，写出7和13的倍数，各写5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 详解： （答案不唯一） 2．写出下面各数的因数。 答案：见详解 分析：根据找一个数的因数的方法，列举出42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 详解： 3．24和36的最大公因数是（    ）。 答案： 12 分析：利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找。两个乘数都是积的因数。找出乘积是24和36的因数；找出24和36中公有因数中最大的一个即可。 详解：24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24； 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36； 24和36的最大公因数是12。 【考点6】根据因数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 ： 找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 答案：见详解 分析：首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 详解：因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 点睛：本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 1．端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 答案：（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 分析：每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 详解：（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 2．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 答案：36位；3棵 分析：根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数（其中总人数包含王老师），可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，结合题中：五（2）班人数多于20且不超过40，据此确定每人植树棵数和总人数，因为王老师也参与了植树，所以总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 详解：111＝1×111＝3×37 学生人数多余20且不超过40，结合实际情况植树的总人数排除1、3、141。 也就是植树总人数为：37人，平均每人植树：111÷37＝3（棵） 学生人数为：37－1＝36（人） 答：五（2）班有36位同学，平均每位同学植树3棵。 3．今年是抗日战争胜利75周年，我们应铭记历史。乐乐和爸爸参观完博物馆之后买纪念奖章，已知有四种价格的纪念奖章：4元/个；5元/个；8元/个；15元/个。乐乐有30元钱，如果只买一种纪念奖章，买哪种刚好把钱用完？ 答案：买5元/个或15元/个 分析：根据总价÷单价＝数量，用30分别除以四种纪念奖章的价格，若能够整除，则刚好把钱用完；若不能整除，则说明不能把钱刚好用完。 详解：30÷4＝7（个）……2（元） 30÷5＝6（个） 30÷8＝3（个）……6（元） 30÷15＝2（个） 答：买5元一个的或15元一个的奖章，刚好把钱用完。 点睛：本题考查倍数的认识，明确总价、数量和单价之间的关系是解题的关键。 4．把36块糖装在小罐子里，每个小罐子装同样多（每小罐里糖的数量要大于3块，小于36块），有几种装法？每种装法个需要几个小罐子？如果有37块糖呢？ 答案：5种装法；每种装法分别需要9个、6个、4个、3个、2个小罐子；37块糖不能按要求分装 分析：每小罐里糖的数量必须是36的因数，先求出36的所有因数，找到大于3小于36的因数，是每个小罐子装的个数；糖的总数量÷每个小罐子装的个数＝需要的小罐子数量；根据同样的想法，先找到37的所有因数，没有大于3小于36的因数，就不能按要求分装。 详解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以：36÷4＝9（个） 36÷6＝6（个） 36÷9＝4（个） 36÷12＝3（个） 36÷18＝2（个） 37的因数有：1、37。 答：有5种装法，每种装法分别需要9个、6个、4个、3个、2个小罐子，37块糖不能按要求分装。 点睛：关键是理解因数的意义，掌握一个数的因数的求法。 【考点7】根据倍数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 ： 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 答案：2人；4人 分析：根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 详解：526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 1．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 答案：181本 分析：先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 详解：100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 2．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 答案：42、49棵 分析：根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 详解：7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 3．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 答案：28米；理由见详解 分析：根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 详解：4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 点睛：找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 【考点8】根据因数和倍数的特征解决综合问题 【思路点拨】结合因数和倍数的特征综合运用解决。 ： 某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 答案：90人 分析：当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 详解：3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 1．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 答案：爸爸：42岁；小强：14岁 分析：公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 详解：因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 2．阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 答案：24元 分析：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 详解：48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 点睛：关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 3．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 答案：0592－5056831 分析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 详解：5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 点睛：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【拓展考点1】求公因数和最大公因数 【思路点拨】定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 求法： 列举法：分别列出两个数的因数，再找出公有的因数和最大公因数。 筛选法：先找出较小数的因数，再从这些因数中找出能整除较大数的因数，其中最大的就是最大公因数。 分解质因数法：将两个数分别分解质因数，把公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到商互质为止，把所有的除数相乘就是最大公因数。 ： 花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的数量要相等，康乃馨的数量也要相等，这种花束中至少有( )朵花。 答案：5 分析：由题意可知：求48与72的最大公因数，就是可以扎成花束的数量，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；再用向日葵的数量除以花束数量，就是每束花中向日葵的数量，用康乃馨的数量除以花束的数量，就是每束花中康乃馨的数量，再把它们相加，即可解答。 详解：48＝2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 48和72的最大公因数是2×2×2×3＝24 48÷24＋72÷24 ＝2＋3 ＝5（朵） 花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的数量要相等，康乃馨的数量也要相等，这种花束中至少有5朵花。 1．有一张长60cm、宽36cm的长方形纸，如果把它裁成若干张同样大小的正方形纸而无剩余，那么正方形纸的边长最大是( )cm。 答案：12 分析：据题意可知，找出60与36的最大公因数，即裁成的正方形的最大边长。 详解： 60与36的最大公因数是：（cm） 正方形纸的边长最大是12cm。 2．厨艺大赛中，选手们刀功熟练，一瞬间就把一块长12，宽8，高4的豆腐，切成同样大小的小正方体豆腐丁，刚好切完没有剩余，小正方体豆腐丁的棱长最大是( )，能切成( )个这样的豆腐丁。 答案： 4 6 分析：根据长方体切割正方体的方法可知：要使正方体的边长最长，又不能有剩余，那么小正方体豆腐丁的棱长应该是12、8、4的最大公因数，根据求最大公因数的方法：几个数的公有质因数的连乘积是最大公因数，然后根据切的总个数等于长、宽、高上切成的个数的连乘积，由此即可解答。 详解：12＝2×2×3 8＝2×2×2 4＝2×2 12、8、4的最大公因数是2×2＝4，小正方体豆腐丁的棱长最大是4cm。 （12÷4）×（8÷4）×（4÷4） ＝3×2×1 ＝6×1 ＝6（个） 故，小正方体豆腐丁的棱长最大是4cm，能切成6个这样的豆腐丁。 3．16的因数有( )，24的因数有( )。16和24的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 答案： 1、2、4、8、16 1、2、3、4、6、8、12、24 8 48 分析：（1）根据求一个数因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，应有顺序地写，做到不重复，不遗漏。 （2）根据最大公因数和最小公倍数的意义可知：最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数和各自独有质因数的连乘积，据此先把16和24分解质因数，然后求出它们的最大公因数和最小公倍数即可。 详解：16的因数有：1、2、4、8、16 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 所以16和24的最大公因数是：2×2×2＝8 最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 16的因数有1、2、4、8、16，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48。 【拓展考点2】求公倍数和最小公倍数 【思路点拨】定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 求法： 列举法：分别列出两个数的倍数，再找出公有的倍数和最小公倍数。 扩大倍数法（大数翻倍法）：以较大数为基础，依次乘以 1、2、3……，直到所得的积是较小数的倍数，这个积就是最小公倍数。 分解质因数法：先把两个数分解质因数，公有的质因数和各自独有的质因数相乘的积就是最小公倍数。 短除法：用公有的质因数去除，直到商互质为止，把除数和最后的商相乘就是最小公倍数。 ： 欢欢、乐乐和欣欣三个小朋友去体育馆打篮球，欢欢每2天去一次，乐乐每3天去一次，欣欣每4天去一次。三人在6月17日同时来到体育馆，下一次他们同时来体育馆的日期是6月( )日。 答案：29 分析：求出三人间隔时间的最小公倍数是三人同时来的间隔时间，根据最小公倍数的求法：几个数的公有质因数与每一个数独有质因数的连乘积；如果几个数成倍数关系，最小公倍数为较大的数；如果几个数为互质数，最小公倍数为几个数的乘积；再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同时来的日期。 详解：2、3、4的最小公倍数是2×3×2＝12 6月17日＋12天＝6月29日 欢欢、乐乐和欣欣三个小朋友去体育馆打篮球，欢欢每2天去一次，乐乐每3天去一次，欣欣每4天去一次。三人在6月17日同时来到体育馆，下一次他们同时来体育馆的日期是6月29日。 1．学校体操队的人数不超过50个。这次队列变化，按每组3人或每组8人进行分组，都刚好分完。体操队最多有( )人。 答案：48 分析：总人数既能被3整除又能被8整除，3和8的最小公倍数是24，体操队的人数是24的倍数且小于50人，据此解答。 详解：，因为总人数不超过50人，所以总人数可能是（人）或（人）。因为，所以体操队总人数最多是48人。 2．如果a÷b＝c（a、b、c都是非零的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 答案： b a 分析：如果a÷b＝c（a、b，c均为非零自然数），那么a和b是倍数关系；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数就是两数之中较小的数，它们的最小公倍数就是两数之中较大的数。据此解答。 详解：如果a÷b＝c（a、b、c都是非零的自然数），a和b的最大公因数是b，a和b的最小公倍数是a。 【拓展考点3】分解质因数 【思路点拨】定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。比如 30=2×3×5，2、3、5 就是 30 的质因数。 方法：一般从最小的质数开始试除，直到除得的商是质数为止，再把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 ： 请把下面的数分解质因数： （1）360                （2）1260 答案：（1）360＝2×2×2×3×3×5 （2）1260＝2×2×3×3×5×7 分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 详解：（1）360＝2×2×2×3×3×5 （2）1260＝2×2×3×3×5×7 1．先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 21      23       27       40       18       36        31       49 答案：见详解 分析：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 详解： 21＝3×7 27＝3×3×3 40＝2×2×2×5 18＝2×3×3 36＝2×2×3×3 49＝7×7 2．用短除法分解质因数。 315       84          273 答案：315＝3×3×5×7；84＝2×2×3×7；273＝3×7×13 分析：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 详解：315＝3×3×5×7       84＝2×2×3×7          273＝3×7×13                3．把下面各数分解质因数。 84        108          91       60 答案：见详解 分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，据此解答。 详解：84＝2×2×3×7； 108＝2×2×3×3×3； 91＝7×13； 60＝2×2×3×5。 学科网（北京）股份有限公司 $$