专题：第16章二次根式综合与实践——“比大小”新探教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十六章二次根式综合与实践 ——“比大小”新探教学设计 指导思想与理论依据 1. 指导思想：本节课以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，注重培养学生的数学核心素养，特别是逻辑推理能力、运算能力和数学建模能力。通过复习旧知、探究新知、综合运用和问题解决等环节，帮助学生掌握比较大小的多种方法，并能在实际问题中灵活运用。 2. 理论依据：学生通过已有的知识经验，主动建构新的知识体系。本节课通过复习旧知，引导学生自主探究比较大小的新方法，帮助学生形成系统的知识结构。通过设置问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生在解决问题的过程中掌握知识、提升能力。 教学背景分析 教材分析 1.教材内容：本节课的内容选自八年级数学教材中的二次根式章节综合与实践的内容，主要涉及比较大小的多种方法，包括做差法、做商法、平方法和倒数法等。通过本节课的学习，学生将进一步掌握比较无理数大小的方法，并能在实际问题中灵活运用。 2.教材的地位与作用：比较大小是数学中的基本技能，贯穿于整个数学学习过程。本节课的内容是对之前所学知识的深化和拓展，为后续学习函数等内容奠定基础。本节课是在学生学习了二次根式的基础上进行的综合与实践内容，旨在帮助学生将二次根式的运算与比较大小的方法相结合，提升他们的综合运用能力。 学情分析 1.学生已有知识：学生已经掌握了比较有理数大小的方法，如做差法、做商法等，并且对无理数的概念有了一定的了解。已经学习了二次根式的运算规则，能够进行简单的二次根式的加减乘除运算。同时具备一定的代数运算能力，能够进行简单的平方、开方等运算。 2.学生认知特点：八年级学生的抽象逻辑思维能力正在逐步发展，能够理解较为复杂的数学概念和方法，但在实际应用中仍需要教师的引导和帮助。学生对数学问题的探究兴趣较高，但缺乏系统的思维训练，容易在复杂问题中迷失方向。 3.学生在学习中可能遇到的困难： （1）二次根式的运算不熟练：学生在进行二次根式的加减乘除运算时，可能会出现计算错误，特别是在分母有理化的过程中容易出错。 （2）比较方法的综合运用能力不足：学生在面对复杂的比较问题时，可能难以选择合适的比较方法，或者无法将多种方法综合运用。 （3）无理数的比较难以理解：由于无理数的概念较为抽象，学生在比较无理数大小时，可能会感到困惑，特别是在处理平方、开方等运算时容易出现错误。 （4）实际问题中的应用能力不足：学生在将数学知识应用于实际问题时，可能会遇到困难，特别是在理解问题情境和建立数学模型方面。 教学目标设计 教学目标 1.掌握比较大小的多种方法，包括做差法、做商法、平方法和倒数法。 2.能够灵活运用这些方法比较无理数的大小，并解决实际问题。 3.通过复习旧知、探究新知、综合运用等环节，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。 4.通过问题解决，提升学生的数学建模能力和应用意识 教学重点 1.掌握比较大小的多种方法，特别是平方法和倒数法的应用。 2.能够灵活运用这些方法解决实际问题。 教学难点 1.如何将复杂的无理数比较问题转化为有理数比较问题。 2.在实际问题中灵活运用多种比较方法。 教学过程 环节一——复习巩固 在之前的学习过程中，我们已经学习了哪些比较两个数大小的方法？ 1. 做差法：①若，则 ②若，则 ③若，则 2. 做商法：①若1，且0,0，则 ②若1，且0,0，则 ③若1，且0,0，则 ④若1，且0,0，则 3. 平方法：①若，且0,0，则 ②若，且0,0，则 4. 倒数法：①若 ，且0,0，则 ②若 ，且0,0，则 【学生活动】学生回忆并回答比较大小的常用方法，如做差法、做商法等。通过小组讨论，举例说明这些方法的应用。 【教师活动】引导学生思考如何将无理数比较问题转化为有理数比较问题，并通过例题讲解平方法和倒数法的应用。 【设计意图】通过复习旧知，帮助学生回忆比较大小的基本方法，为后续的探究新知和综合运用奠定基础。 环节二——探究新知 1.我们在“实数”这一章学习了如何比较两个无理数的大小，你还记得怎么 比较吗？试试看. 比较大小：（1） 8； （2） 解析：（1）利用平方法，=65，，∵6564，∴ （2） 类比平方法，通过计算两个数的立方，将其转化为有理数，=3，，∵3，∴ 【学生活动】学生尝试用平方法比较 和8的大小，并通过计算得出结论。并通过类比平方法，尝试用立方的方法比较和 的大小。 【教师活动】教师引导学生思考如何将无理数比较问题转化为有理数比较问题。 【设计意图】通过探究无理数的大小比较，帮助学生掌握平方法的应用，并培养学生的逻辑推理能力。 2..我们在“不等式与不等式组”这一章学习了“用求差法比较大小”。 如：当a>b>0时，比较与的大小。 解析：利用做差法：-=，∵a>b>0，∴>0且>0，∴>0，即> 【学生活动】学生分组讨论，比较含有字母的表达式大小。 【教师活动】教师提出含有字母的比较问题，引导学生思考如何通过做差法来解决这类问题。 【设计意图】通过引入含有字母的比较问题，帮助学生将具体的数字比较推广到更一般的代数表达式比较，提升他们的代数运算能力和抽象思维能力。 环节三——综合运用 结合以前的学习经验和本章新学习的内容，你能继续探究下面的问题吗？ 比较与的大小。（请至少设计两种不同的比较方法） 解析：方法一——做差法与平方法的综合运用（先做差，再利用平方法） 利用做差法可知，=+-，由此转化为了比较（+）与的大小。再利用平方法可知，，=20，利用做差法-20=-10，由此将问题转化为了比较与10的大小，利用平方法可知，=84，=100，∵84＜100，∴-10＜0，∴+-＜0，即 方法二——平方法与做差法的综合运用（先平方，再利用做差法） 分别求出与的平方可得，，再利用做差法，类比方法一，将问题转化为了比较的大小，（，（，再次利用做差法可得，，（，=4096，∵3840＜4096，即可得到 方法三——倒数法与做差法的综合运用 分别求出与的倒数可得，，，再利用做差法，∵＞0，∴＞0，∴＞，根据倒数法“两个正数比较，分子相同，分母越大，这个数反而小”可知 方法四——分母有理化、倒数法与做差法的综合运用 结合平方差公式，利用分母有理化的逆用，可得，，利用做差法，∵＞0，∴。根据倒数法“两个正数比较，分子相同，分母越大，这个数反而小”可知 【学生活动】学生分组讨论，设计不同的方法比较 的大小。并通过计算和推理，得出结论，并在小组内分享自己的解题思路。 【教师活动】教师引导学生思考如何将复杂的比较问题转化为简单的有理数比较问题，并通过例题讲解多种方法的综合运用。 【设计意图】通过综合运用多种比较方法，帮助学生巩固所学知识，并提升他们的综合运用能力。 环节四——问题解决 阅读材料：伽利略(1564一1642年)是16至17世纪意大利的著名科学家 他曾登上比萨斜塔进行铁球自由下落试验，并不断研究试验结果，最后得出了著 名的自由落体公式,这里的h是物体由静止开始在重力作用下自由下 落的距离，：是物体自由下落的时间，g是被称为重力速度的常数（其中g≈ 10m/s2).把自由落体公式变形可以得到t= 解决问题：一个铁球首次从离地面20米高处自由下落时间为秒，再次从 离地面40米高处自由下落时间为秒，时间是的2倍吗？请你通过计算、 推理说明你的结论. 解析：根据等式性质可知,再根据算数平方根的定义，,带入g≈ 10， 化简得； 铁球从离地面20米高处自由下落，即h=20，带入公式可得；再次从 离地面40米高处自由下落，即h=40，带入公式可得，∴ 【学生活动】学生阅读材料，理解自由落体公式，并通过计算比较和 的大小。通过推理和计算，得出结论，并在小组内讨论。 【教师活动】教师引导学生理解自由落体公式，并通过提问帮助学生将数学知识应用于实际问题。 【设计意图】通过解决实际问题，帮助学生将数学知识应用于实际情境，提升他们的数学建模能力和应用意识。 环节五——课堂检测 比较 的大小，至少使用两种不同的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$