专题04 特殊三角形中的动点问题-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题04 特殊三角形中的动点问题 【例题精讲】 例1．（直角三角形运动问题）如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 例2．（等边三角形动点问题）如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．    (1)求证：； (2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形? (3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形； (4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间． 例3．（等腰三角形运动问题）在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 例4．（等腰直角三角形运动问题）【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 【课后练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．A、两点的坐标分别为、，且；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）      (1)求、的长； (2)点从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．连接，若的面积为，求与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，连接，连接并延长交于点，在点运动的过程中，当的面积等于32时，请求出点的坐标． 2．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 3．在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点P停止运动．设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示P、C两点间的距离； (2)当与的一边平行时，求t的值； (3)当与的一边垂直时，求t的值； (4)在整个运动过程中，扫过的面积为 ． 4．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 5．如图，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)连接，相交于点，则在，运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (2)点，运动时间为多少时，是直角三角形？ (3)如图，若点，运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点，则的度数为 ． 6．如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 7．如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． (1)当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； (2)当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； (3)在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 8．在等腰直角中，，点（不与点、重合）从点出发沿线段以每秒的速度向终点运动，在运动过程中，过点作交射线于点，以线段为直角边作等腰直角，使得，且点、位于两侧．将与重叠部分图形记为，点运动时间为（秒）． (1)长为__________； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当点与的顶点连线平分面积时，求此时的值； (4)当图形为轴对称图形时，直接写出的范围． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊三角形中的动点问题 【例题精讲】 例1．（直角三角形运动问题）如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 【答案】(1)，， (2)， (3)或或 【分析】（1）根据勾股定理即可求出的长，根据的面积即可求出，根据的长为点Q运动过的路程减去的长即可列出代数式； （2）可得，，，在中，根据勾股定理构造方程，解出，进而求出； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：，，， ． ∵，或， ∴，即， ∴． 当点Q在边上运动时，． 故答案为：，， （2）解：∵点在边的垂直平分线上，取的中点，作，交于，连接， ∴，，， ∵， ∴在中，，即， 解得：． 此时，此时走了； ， ∴点在边上， ． （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ， ， ， ， ， ∴，解得； ③当时， 由（1）可知边上的高， ∴在中，． ， ∴，解得； 综上所述：当为6秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 例2．（等边三角形动点问题）如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．    (1)求证：； (2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形? (3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形； (4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间． 【答案】(1)见解析 (2)秒 (3)1或2； (4)秒 【分析】由“”可证； 由全等三角形的性质可求，可得，即可求解； 分和两种情况，由含角的直角三角形的性质得出方程，求解即可； 证明，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵点P，Q的速度相同， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形时，， ∴， ∴， ∴，， ∴当运动时间为秒时，是等腰三角形； （3）设运动时间为t秒，则， ①当时， ∵， ∴． ，即 解得；　 ②当时， ∵， ∴， ，即， 解得； ∴当点运动到第秒或第秒时，为直角三角形． 故答案为：或； （4）∵是等边三角形， ∴． 与（1）同理可得， ∴ 又∵， ∴， ∴． 当为直角三角形时，若， ∵， ∴，此时不成立； 若，则． ∵， ∴， ∴B， ∴， 即是直角三角形时，点P的运动时间为6秒． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 例3．（等腰三角形运动问题）在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②的度数为或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵将沿翻折至， ， ， ， ； （2）①如图，当点在下方时， ， ， ， ， ， ； 当点在上方时， ， ， 由折叠可得， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 当点在上方时， 设， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 例4．（等腰直角三角形运动问题）【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①；②详见解析 （2）详见解析 （3）不变，理由见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）①根据直角三角形的性质进行证明即可； ②根据证明即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据证明得； （3）分点在上，的延长线上，的延长线上三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解：（1）①， ， 又， ， ， ， ②证明：在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）线段的长度不变，理由如下： 当点D在线段上时， 由（1）得， ； 当点D在线段的延长线上时， 由（2）得； 当点D在线段的延长线上时，如图， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，线段的长度不变，总等于的长． 【课后练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．A、两点的坐标分别为、，且；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）      (1)求、的长； (2)点从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．连接，若的面积为，求与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，连接，连接并延长交于点，在点运动的过程中，当的面积等于32时，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点在线段上时，；当点在的延长线上， (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质可得，，求解即得； （2）由，当点在线段上时，，当点在的延长线上，，； （3）当点在线段上时， 过点作于点，根据，得，得，可得，得，得，得为等腰直角三角形，可得；当点在延长线时，过点作于点， 同理可得，得． 【详解】（1）解：， 且，， ，， ， ，， 即，； （2）解：点从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，点运动时间为秒， ， 当点在线段上时 ； 当点在的延长线上， ； （3）解：当点在线段上时，如下图， 过点作于点， 则，则， 即， ， ，， ， ，， ， ， 而，则， 则为等腰直角三角形，则， 则点； 当点在延长线时，过点作于点，如下图： 同理可得：， ， ， 而，则， 则为等腰直角三角形， 则， 则点． 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握非负数性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，三角形面积计算公式，分类讨论，是解题的关键． 2．如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)4 (2)5或16 (3)5或11 【分析】（1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）分和两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵为以为腰的等腰三角形， 当时， 根据题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，设， ∵， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， 解得． 故当或时，为以为腰的等腰三角形． （3）解：∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴，∴， 设，∵，， ∴，解得， ∴， ∴，解得． ∴，解得． 故当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的判定和性质，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． 3．在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点P停止运动．设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示P、C两点间的距离； (2)当与的一边平行时，求t的值； (3)当与的一边垂直时，求t的值； (4)在整个运动过程中，扫过的面积为 ． 【答案】(1) (2)3或9 (3)6秒或15秒 (4) 【分析】（1）根据线段的和差可得结论； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）根据边界点正确画出扫过的图形为，根据三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 则； （2）解：当时，如图1， ∵是等边三角形，， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∴（秒）； 当时，如图2， 则 而 ∴ ∴三点在一条直线上， 又点在上运动， ∴点与点重合， ∴ ∴（秒）； 综上，当秒或9秒时，与的一边平行； （3）解：当时，如图3， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴（秒）； 当时，如图4， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（秒）， 综上，当秒或15秒时，与的一边垂直； （4）解：如图4，当点P与B重合时，点Q在的位置，当点Q在射线上时，点P在射线上，此时扫过的图形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，由旋转得：， ∴，∴， 由（3）知：，， ∴， ， ∵，，，∴， ∴． 即在整个运动过程中，扫过的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题几何变换的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，根据已知条件正确作图． 4．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由路程、速度和时间的关系表示的长，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等边三角形的性质及判定，平行线的判定及性质，全等三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．如图，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)连接，相交于点，则在，运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (2)点，运动时间为多少时，是直角三角形？ (3)如图，若点，运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点，则的度数为 ． 【答案】不变，； 或； ． 【分析】根据等边三角形的性质可得、，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形外角的性质求出的度数； 当是直角三角形时可以分两种情况，一种是，另一种是，根据等边三角形的性质可知中，所以另一个锐角一定是，根据含角的直角三角形的边之间的关系可以求出运动的时间； 根据等边三角形的性质可得、，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形外角的性质可得，所以可得，再根据邻补角的定义可以求出的度数． 【详解】解：不变，． 理由如下， 是等边三角形， ，， 设运动的时间为， 则有， 在和中， ， ， ， ； 当时，则有， ， ，， ， 解得：； 当时，则有， ， ， 解得：， 综上所述当或时，是直角三角形； 是等边三角形， ，， ， 设运动的时间为，则有, 在和中 ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据等边三角形的性质找到相等的边和角，根据边和角之间的关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解决问题． 6．如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为________； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2)或4 (3)2或6 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当在线段上时，作于，于． 平分， ， ，，， ， ； ②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， 当或4时，满足； （3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下： 由（1）知，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， ， ， 时， 当在延长线上时，， 解得：， 综上所述，满足条件的的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．如图①，在中，，于点D．在线段上，动点E以每秒个单位长度的速度从点A出发向终点D运动．连接，以为边作等边（点C，E，F按逆时针顺序排列），连接．设点E的运动时间为t秒，的面积为S，S与t的函数图象如图②所示（S，t均可为0），其中线段所在直线表达式为． (1)当时，点E与点A重合，为等边三角形，如图③， 此时的面积 （直接填空）； (2)当时，连接，如图④． ①此时 （直接填空） ②求线段的长； (3)在点E运动的过程中，若存在两个时刻和，对应的的面积分别为和，当，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据函数解析式求值，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是实际运动和函数图象的对应结合． （1）将代入函数的解析式求得结果； （2）①可推出是等边三角形，此时点在处，，代入函数解析式求得结果； ②当是等边三角形时，可证得，从而得出，进一步得出结果； （3）根据前文得出，，进一步得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， 故答案为：； （2）解：①如图1， ，于点， ，即垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， 此时点运动到点处，， ， ， 故答案为：2； ②如图1， 当是等边三角形时， ，， ， ， ， ， ， 当时，, ， ， ； （3）解：当时，， 当，可得， ，， 当时，． 8．在等腰直角中，，点（不与点、重合）从点出发沿线段以每秒的速度向终点运动，在运动过程中，过点作交射线于点，以线段为直角边作等腰直角，使得，且点、位于两侧．将与重叠部分图形记为，点运动时间为（秒）． (1)长为__________； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当点与的顶点连线平分面积时，求此时的值； (4)当图形为轴对称图形时，直接写出的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，轴对称图形的性质； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，进而求得的值； （3）当落在上时，连线平分面积，进而求得，即可求解； （4）分量种情况讨论，当在的延长线上时，当点落在上时，分别求得临界值，进而根据题意，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰直角中，， ∴ 故答案为：． （2）如图，作于，则， 当点与重合时， ∴ ∴时，点与点重合． （3）解：如图所示， ∵是斜边上的中线， ∴平分面积， ∴当落在上时，连线平分面积， ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴平分， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ （4）解：当在的延长线上时，设与交于点，交于点， 则为， 同理可得， 则 ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴为轴对称图形， 由（1）可得重合时，， ∴时，为轴对称图形， 如图所示，当点落在上时，过点作， ∵， ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点继续运动，则在内部，始终为等腰直角三角形， ∵，则点运动到点的时间为， ∴， 综上所述，当图形为轴对称图形时，或． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，为定值 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$