专题02 特殊三角形与一次函数综合的三种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题02 特殊三角形与一次函数综合的三种考法 【考法一、等腰三角形存在性问题】 例1．（腰确定）如图1，在中，，点、点在轴上，，． (1)点的坐标为________； (2)如图2，以为底边向下作等腰直角三角形，，点是线段上一点，连接，当时，求的长度； (3)点是轴上的一个动点，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 例2．（腰不确定）如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 例3．（动点问题）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 变式1．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． (1)点的坐标为______； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 变式3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交x轴于点B和点，点是与y轴的交点． (1)求直线与直线的交点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考法二、直角三角形存在性问题】 例1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 变式1．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 例1．（边确定）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过A，C两点．    (1)则A点的坐标为　　　，B点的坐标为　　　； (2)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 例2．（边不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【课后练习】 1．如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 3．已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C． (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊三角形与一次函数综合的三种考法 【考法一、等腰三角形存在性问题】 例1．（腰确定）如图1，在中，，点、点在轴上，，． (1)点的坐标为________； (2)如图2，以为底边向下作等腰直角三角形，，点是线段上一点，连接，当时，求的长度； (3)点是轴上的一个动点，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点B作轴于点K，根据勾股定理，得，，继而得到，即可确定点的坐标； （2）根据等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解答即可； （3）以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点H和，根据等腰三角形的性质，线段与坐标的关系解答即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点K， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵以为底边向下作等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点H和， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设点， 则， 解得， 故点， 综上所述，点H的坐标为或． ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段与坐标的关系，熟练掌握性质是解题的关键． 例2．（腰不确定）如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的平移，勾股定理，等腰三角形的定义； （1）根据函数图象平移的规律解答即可； （2）根据解析式得出，，根据题意可得或，进而建立方程，求得点的坐标； （3）设，分分别为等腰三角形的顶点，根据勾股定理以及等腰三角形的定义建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）将的图象向上平移个单位，得到的直线， 则的表达式为， （2）解：∵点是线段上的一个动点，的表达式为， ∴设， ∵线段将的面积分成的两部分， ∴或 ∵，当时，，当时， ∴，，即， ∴， ∴或， ∴①或 解①得：或（舍去） 解②得：或（舍去） 所以或 ②当点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵点在轴上，为等腰三角形 设， ∴， 当时， ∴，则 当时，，即， 解得：（舍去）或，则 当时，则， 解得：，则 综上所述，或或． 例3．（动点问题）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为 (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用一次函数的知识求出点、的坐标，根据题意可得，得到点与点重合，即可求解； （2）根据题意，分2种情况讨论：①；②，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则，解得：， ， 是以为斜边的直角三角形， ， 点与点重合， ， ， 当时，是以为斜边的直角三角形． （2）解：由（1）得，，， ， 是以为腰的等腰三角形， 或， ①当时，； ②当时， ，， ， ， ； 综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形． 变式1．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 【答案】(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（）把，分别代入一次函数可求出点坐标，联立一次函数解析式，解方程组可求出点坐标； （）由可得，进而求出点坐标，再利用待定系数法可求出直线的函数关系式； （）由一次函数及点坐标可得，，再分、、三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，, ∴， 由，解得， ∴； （2）解：∵直线平分的面积， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：∵直线交直线于点，点的坐标为， ∴，， ①当时，如图， 则， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度向点匀速运动， ∴点的运动时间为秒； ②当时，过点作轴于点，如图， 则，， ∴点的运动时间为秒； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即轴， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当为等腰三角形时，点的运动时间为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰三角形的定义及性质，勾股定理，掌握一次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． (1)点的坐标为______； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】（1）把代入求出y的值，即可得出答案； （2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点的坐标为； （2）解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴； （3）解：∵点C坐标为， ∴， 当时， ∵点P在y轴上， ∴点P的坐标为或； 当时，过点C作轴，如图所示： ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当点P的坐标为或或时，三角形是为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，直线交点坐标，等腰三角形的定义和性质，综合性较强，正确把握并能熟练运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用． 变式3．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交x轴于点B和点，点是与y轴的交点． (1)求直线与直线的交点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点的坐标为或或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，勾股定理，等腰三角形等知识点，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）将，代入，由待定系数法可得直线的解析式为：，再解方程组，即可求解； （2）设点的坐标为，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点，点经过直线， 则将其代入，得，解得： ∴直线的解析式为：， 由，解得：， ∴直线与直线的交点A的坐标为； （2）存在点的坐标为或或或时，是等腰三角形，理由如下： 设点的坐标为，， ∵，，则，， ∴，，， 当时，即， ∴，解得：（舍去）， 此时点的坐标为； 当时，即， ∴，解得：或， 此时点的坐标为或； 当时，即， ∴，解得：， 此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或或或时，是等腰三角形． 【考法二、直角三角形存在性问题】 例1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的坐标分别为、 (2) (3)存在．点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，直角三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，直线分别交轴，轴于，两点，当时，求出点，当时，求出点，即可； （2）根据第一象限内的点到轴的距离为，则点的纵坐标为，根据点在直线上，求出点的坐标，设直线的解析式为，即可； （3）根据是直角三角形，分类讨论：当边为斜边，；当边为直角边，；当边为直角边，；进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于，两点, ∴当时，, ∴点； ∵当时，, ∴点． （2）解：∵第一象限内的点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 当边为斜边，； ∵， ∴点与点重合， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵线段在第一象限， ∴点在的负半轴， ∴设点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵点在上，点是轴上一动点， ∴； 综上所述，当点，时，是直角三角形． 例2．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】（1）利用待定系数法即可求出线段所在直线的解析式． （2）过A点作轴于F点，先证明，则可得，，进而可得．然后分两种情况：①当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式．②当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式． （3）若为直角三角形，则P点只能在线段上．然后分两种情况：①当时，②当时，分别求出的长，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，用待定系数法求一次函数解析式，列一次函数关系式以及动点问题．正确的画出图形，并且分类讨论是解题的关键． 变式1．如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①当点落在轴上时，求点的坐标； ②若为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①，②或 【分析】（1）把点，代入，求出，得直线直线：，再把点代入，求出，得点的坐标，最后把代入，求出； （2）①过点作轴于点，作轴于点，求出，再求出，可得，即可得答案； ②分两种情况讨论，当时，求出，从而得到，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， 直线：， 把点代入， 得：， 解得：， 把代入， ， ， 故答案为：，，； （2）①直线：， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，作轴于点，则，，， ， ， 点的坐标为； ②如图， 当时，由翻折得：， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图， 当时，，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，翻折的性质，直角三角形的判定于性质，解题的关键是作辅助线． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 【考法三、等腰直角三角形存在性问题】 例1．（边确定）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过A，C两点．    (1)则A点的坐标为　　　，B点的坐标为　　　； (2)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能， 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出、两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点的坐标，再由、两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）设点的坐标为，过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点，同（2）理可证得，从而，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，则，所以点坐标为； 令，则，所以点坐标为． 所以点、坐标分别是和； （2）解：如图，过点向轴作垂线，为垂足．   为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，，． ． ，． ． 故点坐标为． 设函数表达式为，把、两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为，假设以为直角边的△BQC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点， 同（2）理可证得， ，， ， ，，． ∴由，，， 此时，m适合题意． 此时．    【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 例2．（边不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 变式1．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标 (2)存在， (3) (4)满足条件的点C的坐标为或 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可； （3）利用三角形面积公式列式运算即可； （）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点坐标； （2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，， ∴的最小值； （3）如图2中， ∵点坐标为，， ∴， ． 故答案为18； （4）如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，且 (3)存在，或5 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再由题意求出，可求点坐标； （2）根据点的运动特点先求出点坐标为，再求三角形面积即可； （3）分两种情况讨论：当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，通过证明，可得，再将点代入直线的解析式：，求的值；当时，过点作轴交于点，同理可得，求出，即可求． 【详解】（1）当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ； （2），动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ，且； （3）存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或5． 【课后练习】 1．如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）先根据与满足的方程以及非负数的性质得出、的长，再由矩形对边相等可得出、的长，由A、C在坐标轴上即可得出B、C的坐标； （2）根据三角形全等，得出的长，再根据两点之间的距离公式即可得出的坐标，根据待定系数法可得出的解析式； （3）设，，得到，则，，，再根据勾股定理分情况列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据折叠可知：， ∴，， ∵，， 设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ， ①当为直角时，， 故， 解得，则； ②当为直角时，， 即 此时无解； ③当为直角时，， 即， 解得，则； 综上可得，P为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，两点间距离公式，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 3．已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C． (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②存在；满足条件的点P为或． 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可；②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时，   ， 综上：； （3）①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图：    ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 当在的右侧时： 同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 当在的左侧时： 同法可得：， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ，点的纵坐标不是整数，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$