精品解析：江苏省无锡市锡山高级中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题(1-21班)

江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷（1-21班） 命题人：戴承芳 审核人：沈卫忠、郭思弘 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 设，向量，且，则等于（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 3. 已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 4. 某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及直角三角形的勾股定理列出方程，求解即可. 【详解】设，， 因为，，所以，即； 因为，所以， 所以； 因为，，所以，即，， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：C. 5. 某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知先分组后排列即求. 【详解】由题知先分组后排列，则恰有两人报考同一所高校的事件数为. 故选：B. 6. 已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（ ） A. 118 B. 119 C. 120 D. 121 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到是等差数列，从而求得，进而得到，利用裂项相消法求解. 【详解】解：因为数列的各项均为正数，， 所以， 则是以4为首项，以4为公差的等差数列， 所以，则， 所以， 所以数列的前n项和为， 令，解得， 故选：C 7. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 8. 已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】令，由，得，， 由双曲线定义，， 在中，，由余弦定理， 得， 整理得，解得，则，， 在中，由余弦定理， 得，整理得，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C. 将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D. 8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列； 选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得； 选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得； 选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种. 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 10. 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆与双曲线的定义，结合它们离心率的定义逐项进行判断. 【详解】令，由，得， 对于A，，解得，， 解得，因此，A正确； 对于B，由，，得， 则，，而，则，B正确； 对于C，，则，，C错误； 对于D，令的内切圆切分别于点，由轴于， 得为圆切的切点，显然， 由，得，因此， 解得，即点为的右顶点，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线和所成角的余弦值为 D. 若为线段上的动点，则三棱锥的体积最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，所以与不垂直，故与平面不垂直；B选项，求出平面的法向量，则，B错误；C选项，利用异面直线夹角余弦公式得到C正确；D选项，先求出，点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，求出平面的法向量，设，，利用点到平面距离公式得到点到平面的距离最大值，从而得到面积的最大值. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，M，N分别为棱，的中点， 故， ， 故， 所以与不垂直，故与平面不垂直，A错误； B选项，，而平面的一个法向量为， 则， 故与不垂直，故与平面不平行，B错误； C选项，，，， 设异面直线和所成角的夹角为， 故， 故异面直线和所成角的余弦值为，C正确； D选项，为线段上动点，设，， 其中，， 故， 则， 故， 由于为定值，故点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 又， 设点到平面的距离为， 则， 因为，所以当时，， 则三棱锥的体积最大值为，D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间中有6个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作______个平面.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即可. 【详解】空间中有个点，其中任何个点不共面，则任何3个点不共线，过每个点可作一个平面， 所以能作的平面的个数为个. 故答案为： 13. 已知数列前项和为，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，结合前项和的意义，求出即可得解. 【详解】在数列中，由，得，则， 由，得， ，所以. 故答案为： 14. 已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由动点P满足的条件得点P的轨迹为圆，根据抛物线的定义，将转化为，观察图形得的最小值. 【详解】 设，已知，， 则， 化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 抛物线E：的焦点，准线方程为， ， 当且仅当A，P，M，F（P，M两点在A，F两点之间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】动点P满足为“阿波罗尼斯圆”的定义，可知点的轨迹为圆. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，圆：. （1）若不经过第三象限，求的取值范围； （2）当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【小问1详解】 直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，动直线与椭圆交于P，Q两点：当直线过时，的周长为8. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线过点，椭圆的右顶点为A，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和椭圆定义求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【小问1详解】 由题意得：，即， 则， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意知：直线斜率不为，可设， 由消去x得：， 则， 设，则，， 可得， 又因为，则， 所以，解得：， 所以直线的斜率. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点. （1）证明：平面平面. （2）若，求四棱锥的体积. （3）点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用二面角的定义及余弦定理推理证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）结合锥体体积公式计算得解. （3）以为原点建立空间直线坐标系，利用空间向量求出线面角正弦的函数关系，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 设的中点分别为，连接， 由，得，由，得， 正方形中，，则二面角的平面角为， 由余弦定理，得， ，则，由，平面， 得平面，而平面，因此，又， 平面，于是平面，而平面， 所以平面平面． 小问2详解】 由（1）知，四棱锥的高为，点在线段上，且， 则点到平面的距离是点到平面距离的， 所以四棱锥的体积为． 【小问3详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则 ， 当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦的最大值为. 19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①，；②为单调数列，则称数列具有性质P. （1）若，求数列的最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质P，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质P. （参考公式：） 【答案】（1）最小项为； （2）数列具有性质，理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解； （2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②； （3）结合二项式定理及n元基本不等式求解. 【小问1详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 数列最小项为． 【小问2详解】 数列具有性质． ， ， 数列满足条件①． 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质． 【小问3详解】 先证数列满足条件①： ． 当时， 则， 数列满足条件①． 再证数列满足条件②： （，等号取不到） 为单调递增数列，数列满足条件②． 综上，数列具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷（1-21班） 命题人：戴承芳 审核人：沈卫忠、郭思弘 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，且，则等于（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A B. C. D. 4. 某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（ ） A. 118 B. 119 C. 120 D. 121 7. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同选法 C. 将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D. 8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 10. 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 最小值为1 D. 记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 11. 如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线和所成角的余弦值为 D. 若为线段上的动点，则三棱锥的体积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间中有6个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，则可以作______个平面.（用数字作答） 13. 已知数列前项和为，，且，则______. 14. 已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，圆：. （1）若不经过第三象限，求的取值范围； （2）当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且离心率为，动直线与椭圆交于P，Q两点：当直线过时，的周长为8. （1）求椭圆C方程； （2）若直线过点，椭圆的右顶点为A，当面积为时，求直线的斜率. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点. （1）证明：平面平面. （2）若，求四棱锥的体积. （3）点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 19. 基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①，；②为单调数列，则称数列具有性质P. （1）若，求数列的最小项； （2）若，记，判断数列是否具有性质P，并说明理由； （3）若，求证：数列具有性质P. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$