第5课 一元二次方程的解法-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第5课 一元二次方程的解法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程的根的情况. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法有 开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解． (3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 知识点02 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根． ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根． ③当Δ＜0时，方程没有实数根． ( 能力拓展 )考点01 一元二次方程的解法 【典例1】解方程： （1）x2+2x﹣8＝0（配方法）； （2）3x2﹣4x+1＝0（公式法）． 【即学即练1】用适当的方法解方程： （1）（x+2）2﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝x． 考点02 一元二次方程的根的判别式的应用 【典例2】在下面的四组条件中选择其中一组a，b，c的值，使这个一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①a＝1，b＝2，c＝1； ②a＝2，b＝3，c＝4； ③a＝1，b＝3，c＝1； ④a＝﹣2，b＝5，c＝﹣3． （注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．） 【即学即练2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k和原方程的两个实数根都是整数，且k＜5，求k的值． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．方程x2＝1的根为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝0 2．方程x2+8x﹣9＝0配方结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25 3．一元二次方程x2＝2x的解为（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 4．一元二次方程（x+2）（x﹣1）＝0的根为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝2，x2＝﹣1 5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 7．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则2b2﹣8c+1的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+9＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　． 9．方程x（x+2）＝5（x+2）的解是 　 　． 10．解下列方程． （1）2x（x+4）＝1； （2）2（x﹣3）2＝72． 11．解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 12．已知关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m﹣4＝0． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是x＝2，求m的值． 13．如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容． 已知关于x的一元二次方程x2x﹣6＝0． 其中一次项系数被墨迹污染了． （1）若这个方程的一个根为﹣2，请求出一次项系数； （2）玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 题组B 能力提升练 14．一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的较小的根是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1 15．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 16．观察关于x的方程mx2+（1﹣m）x﹣1＝0，思考下列对这个方程的根的描述，其中正确的是（　　） A．当m＝0时，方程无解 B．当m＝1时，方程只有一个实数解 C．当m＝﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当m≠0时，方程总有两个不相等的实数解 17．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 18．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则点P（m+5，﹣m﹣6）在第 　四　象限． 19．解下列方程： （1）x2﹣4x﹣21＝0； （2）x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0； （3）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6． 20．已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 题组C 培优拔尖练 21．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 22．若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程＝2的解为正整数，则满足条件的a的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 23．若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解． ④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有 　 　.（填序号即可） 24．（1）解方程：（3x+2）（x+3）＝x+14； （2）解方程：（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0． 25．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+a2﹣1＝0． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当a＝4时，等腰△ABC的底边长和腰长分别是一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+a2﹣1＝0的两个根．请用配方法解此方程，并求出△ABC的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课 一元二次方程的解法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程的根的情况. ( 知识精讲 ) 知识点01 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法有 开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种. (1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法． (2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解． (3)公式法：求根公式x＝(其中≥0)． (4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程． 知识点02 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式：Δ=b2－4ac ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根． ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根． ③当Δ＜0时，方程没有实数根． ( 能力拓展 )考点01 一元二次方程的解法 【典例1】解方程： （1）x2+2x﹣8＝0（配方法）； （2）3x2﹣4x+1＝0（公式法）． 【思路点拨】（1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可； 【解析】解：（1）x2+2x﹣8＝0， x2+2x＝8， x2+2x+1＝8+1， （x+1）2＝9， ∴x+1＝3或x+1＝﹣3， ∴x1＝2，x2＝﹣4； （2）3x2﹣4x+1＝0， a＝3，b＝﹣4，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×3×1＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x＝＝， ∴x1＝1，x2＝． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 【即学即练1】用适当的方法解方程： （1）（x+2）2﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝x． 【思路点拨】（1）利用直接开方法求解； （2）利用因式分解法解方程． 【解析】解：（1）（x+2）2＝4， x+2＝±2， ∴x+2＝2或x+2＝﹣2， ∴x1＝0，x2＝﹣4； （2）x2﹣3x＝x， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，直接开方法，解题的关键是掌握因式分解法，直接开方法解方程． 考点02 一元二次方程的根的判别式的应用 【典例2】在下面的四组条件中选择其中一组a，b，c的值，使这个一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①a＝1，b＝2，c＝1； ②a＝2，b＝3，c＝4； ③a＝1，b＝3，c＝1； ④a＝﹣2，b＝5，c＝﹣3． （注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．） 【思路点拨】选择出合适的条件，再求解即可． 【解析】解：选①a＝1，b＝2，c＝1时，x2+2x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根， 故①不符合题意； 选②a＝2，b＝3，c＝4时，2x2+3x+4＝0， Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×4＝﹣23＜0，方程没有实数根， 故②不符合题意； 选择③a＝1，b＝3，c＝1时，x2+3x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0， ， ； 选择④a＝﹣2，b＝5，c＝﹣3时，﹣2x2+5x﹣3＝0， Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣2）×（﹣3）＝1＞0， ＝， ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【即学即练2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k和原方程的两个实数根都是整数，且k＜5，求k的值． 【思路点拨】（1）根据题意得出Δ＞0，代入求出即可； （2）求出k＝2，3，4，代入后求出方程的解，即可得出答案． 【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根． ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣k+1）＞0， ∴k＞1； （2）∵k为整数，且1＜k＜5， ∴k＝2，3，4， 当k＝2时，原方程为 x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝3．x2＝1符合题意． 当k＝3时，原方程为 x2﹣6x+7＝0， 此方程无整数根，不合题意，舍去． 当k＝4时，原方程为 x2﹣8x+13＝0， 此方程无整数根，不合题意，舍去． 所以k的值为2． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出k的值和k的范围是解此题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．方程x2＝1的根为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝0 【思路点拨】两边直接开平方即可得解． 【解析】解：两边直接开平方得：x1＝1，x2＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法是解决此题的关键． 2．方程x2+8x﹣9＝0配方结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25 【思路点拨】利用配方法可得结论． 【解析】解：x2+8x﹣9＝0， x2+8x＝9， x2+8x+16＝9+16， （x+4）2＝25， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 3．一元二次方程x2＝2x的解为（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【思路点拨】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解析】解：∵x2＝2x， ∴x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 4．一元二次方程（x+2）（x﹣1）＝0的根为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝2，x2＝﹣1 【思路点拨】根据已知方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】解：∵（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0，x﹣1＝0， x1＝﹣2，x2＝1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【思路点拨】当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根． 【解析】解：∵x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 【思路点拨】根据Δ＜0，构建不等式求解． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＜0， ∴4﹣4（2﹣m）＜0， ∴4﹣8+4m＜0， ∴4m＜4， ∴m＜1． 故选：C． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建不等式求解． 7．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则2b2﹣8c+1的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【思路点拨】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，列出关系式，代入计算即可求出值． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴b2﹣4a＝0， 则2b2﹣8c+1＝2（b2﹣4c）+1＝2×0+1＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式得到b2﹣4a的值． 8．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+9＝0有两个相等的实数根，则m＝　±6　． 【思路点拨】根据根的判别式，列出关于x的一元二次方程，然后解方程即可求出m的值． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+9＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4×9＝m2﹣36＝0， ∴m＝±6， 故答案为±6． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟记判别式并熟悉一元一次方程的解法是解题的基本思路． 9．方程x（x+2）＝5（x+2）的解是 　x1＝﹣2，x2＝5　． 【思路点拨】先移项得到x（x+2）﹣5（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（x+2）﹣5（x+2）＝0， （x+2）（x﹣5）＝0， x+2＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝5． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 10．解下列方程． （1）2x（x+4）＝1； （2）2（x﹣3）2＝72． 【思路点拨】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解析】解：（1）2x（x+4）＝1， 2x2+8x＝1， x2+4x＝， x2+4x+4＝， （x+2）2＝， 则x+2＝， 所以． （2）2（x﹣3）2＝72， （x﹣3）2＝36， 则x﹣3＝±6， 所以x1＝9，x2＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知配方法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 11．解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【思路点拨】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解析】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1＝﹣，x2＝． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 12．已知关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m﹣4＝0． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是x＝2，求m的值． 【思路点拨】（1）求出Δ＝25＞0，即可证明； （2）把x＝2代入x2﹣（2m+3）x+m2+3m﹣4＝0得到关于m的一元二次方程，再求解即可． 【解析】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m﹣4＝0， ∴Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4×1×（m2+3m﹣4）＝25＞0， ∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）把x＝2代入得：22﹣（2m+3）×2+m2+3m﹣4＝0， 解得：m＝﹣2或m＝3． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握定理是解题的关键． 13．如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容． 已知关于x的一元二次方程x2x﹣6＝0． 其中一次项系数被墨迹污染了． （1）若这个方程的一个根为﹣2，请求出一次项系数； （2）玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 【思路点拨】（1）把x＝﹣2代入方程即可求解； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2+24＞0，由此可证出：不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【解析】解：（1）设一次项系数为b，则方程为x2+bx﹣6＝0， 把x＝﹣2代入方程得，4﹣2b﹣6＝0， 解得b＝﹣1， 所以一次项系数为﹣1； （2）方程为x2+bx﹣6＝0， ∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣6）＝b2+24＞0． ∴不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x＝﹣2求出b值；（2）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 题组B 能力提升练 14．一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的较小的根是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1 【思路点拨】先利用因式分解法求出该方程的解，然后从方程的解中选取一个较小的数即可． 【解析】解：由题意得x+3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的较小的根是﹣3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 15．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【思路点拨】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，m≠0， 即m＞﹣1且m≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 16．观察关于x的方程mx2+（1﹣m）x﹣1＝0，思考下列对这个方程的根的描述，其中正确的是（　　） A．当m＝0时，方程无解 B．当m＝1时，方程只有一个实数解 C．当m＝﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当m≠0时，方程总有两个不相等的实数解 【思路点拨】利用根的判别式解答即可． 【解析】解：A、当m＝0时，方程为一元一次方程，有解，此选项错误； B、当m＝1时，方程为x2﹣1＝0，x＝±1，方程有两个不相等的实数根，此选项错误； C、当m＝﹣1时，方程为﹣x2+2x﹣1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项正确； D、当m≠0时，Δ＝（1﹣m）2﹣4×m×（﹣1）＝（1+m）2≥0，方程有两个实数根，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 17．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【思路点拨】先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到Δ＝（k﹣3）2+4，所以Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【解析】解：关于x的方程（k﹣3）⊗x＝1化为x2﹣（k﹣3）x＝1， 整理得x2﹣（k﹣3）x﹣1＝0， ∵Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣1） ＝（k﹣3）2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 18．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则点P（m+5，﹣m﹣6）在第 　四　象限． 【思路点拨】由一元二次方程根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，由m的取值范围可得出m+5，﹣m﹣6的符号，进而可得出点P所在的象限，此题得解． 【解析】解：由题意可知：Δ＝42+4m＞0， ∴m＞﹣4， ∴m+5＞0，﹣m﹣6＜0， ∴点P（m+5，﹣m﹣6）在第四象限， 故答案为：四． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 19．解下列方程： （1）x2﹣4x﹣21＝0； （2）x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0； （3）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6． 【思路点拨】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣7＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可； （3）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解析】解：（1）（x﹣7）（x+3）＝0， x﹣7＝0或x+3＝0， 所以x1＝7，x2＝﹣3； （2）（x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣2； （3）方程化为一般式为2x2﹣5x+3＝0， （2x﹣3）（x﹣1）＝0， 2x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝，x2＝1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 20．已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【思路点拨】（1）根据Δ＝3，构建方程求解； （2）根据m≠0且Δ≥0，构建不等式求解． 【解析】解：（1）∵Δ＝3， ∴9m2﹣6m+1﹣9m2+4m ＝﹣2m+1＝3， ∴m＝﹣1； （2）由题意得：m≠0且Δ≥0， m≠0且﹣2m+1≥0， m≠0且， ∴m的取值范围是：m≠0且． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 题组C 培优拔尖练 21．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 【思路点拨】根据题意可知，用2x﹣3替换了原方程中的x，结合换元思想即可解决问题． 【解析】解：由题知， 将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换， 可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0． 因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1， 所以2x﹣3＝﹣3或1， 解得x＝0或2， 即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x1＝0，x2＝2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键． 22．若数a使关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程＝2的解为正整数，则满足条件的a的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】先根据一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解可得a的取值范围，再解分式方程＝2，可得y＝且y≠1，最后结合正整数可得答案． 【解析】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6+a＝0有两个不相等的实数解， ∴22﹣4（﹣6+a）＞0， 即a＜7， 解关于y的分式方程＝2，可得y＝且y≠1， ∵y为正整数， ∴＞0，且y＝≠1， ∴a＞1，且a≠3， ∴a＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程的解． 23．若定义：方程cx2+bx+a＝0是方程ax2+bx+c＝0（a≠c≠0）的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果x＝﹣2是x2+2x+c＝0的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解． ④若ac＜0，则ax2+bx+c＝0与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有 　②③④　.（填序号即可） 【思路点拨】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解x＝1，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【解析】解：①x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，把x＝﹣2代入方程cx2+2x+1＝0得4c﹣4+1＝0，解得c＝，所以错误； ②一元二次方程ax2+bx+c＝0与它的倒方程有公共解，正确，公共解是x＝1； ③若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根； ④当ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，cx2+bx+a＝0也为一元二次方程，此方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 24．（1）解方程：（3x+2）（x+3）＝x+14； （2）解方程：（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0． 【思路点拨】利用因式分解法依次对所给一元二次方程进行求解即可． 【解析】解：（1）（3x+2）（x+3）＝x+14， 3x2+9x+2x+6﹣x﹣14＝0， 3x2+10x﹣8＝0， （x+4）（3x﹣2）＝0， 则x+4＝0或3x﹣2＝0， 所以． （2）（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0， （x+5﹣1）（x﹣5﹣3）＝0， （x+4）（x﹣8）＝0， 则x+4＝0或x﹣8＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝8． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 25．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+a2﹣1＝0． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当a＝4时，等腰△ABC的底边长和腰长分别是一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+a2﹣1＝0的两个根．请用配方法解此方程，并求出△ABC的周长． 【思路点拨】（1）将x＝0代入原方程可得出关于a的一元一次方程，解方程求出a的值；（2）结合（1）以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论． 【解析】解：（1）∵方程有一个根为0， ∴把x＝0代入方程得a2﹣1＝0， ∴a＝1或a＝﹣1． （2）当a＝4时，方程为x2﹣8x+42﹣1＝0， 整理得x2﹣8x+15＝0， 配方得（x﹣4）2＝﹣15+16， 直接开平方得x﹣4＝﹣1或x﹣4＝1， 解得x1＝3，x2＝5， 当△ABC的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当△ABC的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 纵上所述，△ABC的周长为13或11． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及三角形三边关系，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$