第08讲 复数的概念（六大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第08讲 复数的概念 学习目标： 1.理解复数的基本概念及复数相等的有关知识 2.理解复数代数形式及其几何意义、复数模的运用、共轭复数的概念 重点难点： 重点：复数的概念、分类以及复数相等的条件，虚数单位的理解和运用 难点：对复数概念的理解，尤其是虚数的概念。复数相等条件的应用，以及在实际问题中对复数分类的准确判断 一、数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 二、复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 三、复平面 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 四、复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 考点01复数的实部与虚部 1．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 2．若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为 ． 3．已知复数的实部是（    ） A．0 B．2 C．3 D． 4．已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（  ） A． B． C． D． 5．已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 考点02复数的分类 6．已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 7．复数．当为何值时，． 8．已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 10．若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？ 考点03复数相等 11．已知，求实数x，y的值. 12．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 13．求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 14．已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 15．，，并且，则的取值范围为 . 考点04复数对应点的象限 16．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 18．复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 考点05复数的模长 21． （    ） A． B． C． D． 22．复数的实部与虚部之和为 . 23．设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 24．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 25．已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点06与复数模相关的轨迹问题 26．已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 27．证明：集合中的所有复数在复平面上所对应的点在同一个圆上． 28．设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 29．已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 30．已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 基础试炼 1．复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 7．复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）. 8．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为 ． 9．已知，则复数的模的取值范围是 . 10．已知，，若，求实数的值． 11．已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 12．设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 高阶突破 1．设实数，，满足，则的最大值为 ． 2．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 3．已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 4．设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 5．已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（     ）. A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段 6．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 8．已知集合，，讨论实数m取何值时： (1)； (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第08讲 复数的概念 学习目标： 1.理解复数的基本概念及复数相等的有关知识 2.理解复数代数形式及其几何意义、复数模的运用、共轭复数的概念 重点难点： 重点：复数的概念、分类以及复数相等的条件，虚数单位的理解和运用 难点：对复数概念的理解，尤其是虚数的概念。复数相等条件的应用，以及在实际问题中对复数分类的准确判断 一、数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 二、复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 三、复平面 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 四、复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 考点01复数的实部与虚部 1．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 2．若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为 ． 【答案】2 【详解】复数的实部与虚部分别为，因此，解得， 所以b的值为2. 故答案为：2 3．已知复数的实部是（    ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以复数的实部为. 故选：D. 4．已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为复数的实部和虚部分别是2和3， 所以 所以 故选：C. 5．已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 考点02复数的分类 6．已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】B 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 7．复数．当为何值时，． 【答案】 【详解】  因为，所以为实数，需满足解得． 8．已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则为纯虚数； 若复数为纯虚数，则，解得， 所以“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当，即时，复数z是实数． （2）当，即时，复数z是虚数． （3）当且，即时，复数z是纯虚数． 10．若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？ 【答案】当时，，是虚数，且是纯虚数；当时，，是实数. 【详解】因为为实数，所以或m=2. 时，，是虚数，且是纯虚数； 时，，是实数. 考点03复数相等 11．已知，求实数x，y的值. 【答案】或 【详解】，解得或 12．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 13．求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)，或 (4) 【详解】（1）由，可得 （2）由，可得 （3）由，可得，或 （4）由，可得 14．已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【答案】1，2 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 15．，，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 考点04复数对应点的象限 16．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 17．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得， 故答案为： 18．复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 19．复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以在复平面内对应的点，位于第三象限. 故选：C 20．在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【答案】 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 考点05复数的模长 21． （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 22．复数的实部与虚部之和为 . 【答案】5 【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5. 故答案为：5 23．设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以 所以，得， 故 故选：B 24．若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 25．已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 考点06与复数模相关的轨迹问题 26．已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为，即， 故复数在复平面上对应的点的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆. 故选：B. 27．证明：集合中的所有复数在复平面上所对应的点在同一个圆上． 【答案】证明过程见解析 【详解】设集合中的所有复数在复平面上所对应的点的坐标为， 因为， 所以点到原点的距离等于1， 因此点在以原点为圆心的单位圆上. 28．设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以点所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为，另一个半径为， 则其面积为. 故选：A. 29．已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】A 【详解】， ， （舍去）， 复数对应的点的集合是以原点为圆心，以4为半径的一个圆． 故选：A. 30．已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【答案】4 【详解】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆， 复平面内满足的点的集合围成的图形面积为， 则，解得（负值舍去）． 故答案为：4． 基础试炼 1．复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】的虚部为， 故选：C 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】，故，所以. 故选：C. 3．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 4．在复平面内，为坐标原点，复数对应的向量分别是，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数对应的点为, 所以， 对应复数为. 故选：A 5．（多选）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 所以或. 故选：AC 6．（多选）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】ACD 【详解】选项A中，当，时，复数是纯虚数，错误； 选项B中，时，为纯虚数，正确； 选项C中，若是纯虚数，则，即， 所以，错误； 选项D中，没有给出是实数，当时， 也是虚数，错误. 故选：ACD 7．复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为： 8．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为 ． 【答案】 【详解】由题知，， ，∴， 所以与夹角为， 故答案为：． 9．已知，则复数的模的取值范围是 . 【答案】 【详解】，因为， 所以，则， 所以复数的模的取值范围是. 故答案为：. 10．已知，，若，求实数的值． 【答案】或 【详解】因为，所以， 所以有或， 由，得解之得； 由，得解之得， 代入都满足和集合元素1互异， 综上可知，或． 11．已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 12．设复数、、在复平面上所对应的点分别为A、B、C，求的面积． 【答案】5 【详解】由题意知， 故, ， 则，即为直角三角形， 故的面积为. 高阶突破 1．设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 2．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 3．已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得， 消去并整理得， 显然，当时，，当时，， 所以λ的取值范围是. 故答案为： 4．设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 【答案】 【详解】因为是纯虚数，所以，解得. 则，则的虚部为. 故答案为：；. 5．已知复数在复平面内表示一个圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为：（     ）. A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段 【答案】D 【详解】表示点，故， ，由此可知表示：，在直线上， 又，所以表示一条线段. 故选：D. 6．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设复数， 由得，， 所以，解得， 所以. 故选：B. 7．（多选）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A：，所以的虚部为，A错误； 对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确； 对于C：，所以，C正确； 对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点， 所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D正确， 故选：BCD 8．已知集合，，讨论实数m取何值时： (1)； (2)． 【答案】(1); (2)或. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以. 所以，所以恒成立. 即无论实数m取任何值，恒成立. 故. （2）因为，所以. 因为，， 所以或. 当时，有：，解得：； 当时，有：，解得：. 综上所述：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$