第02讲 一次函数的图像与性质（6个知识清单+12类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第02讲 一次函数的图像与性质 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01正比例函数的图象............................................................................................................................................................3 题型02已知直线与坐标轴交点求方程的解................................................................................................................................5 题型03由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点.................................................................................................................7 题型04由直线与坐标轴的交点求不等式的解集.........................................................................................................................8 题型05根据两条直线的交点求不等式的解集...........................................................................................................................10 题型06判断一次函数的增减性...................................................................................................................................................11 题型07根据一次函数增减性求参数...........................................................................................................................................12 题型08根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况...........................................................................................................15 题型09比较一次函数值的大小...................................................................................................................................................16 题型10一次函数的规律探究问题...............................................................................................................................................17 题型11求一次函数解析式...........................................................................................................................................................19 题型12正比例函数的性质...........................................................................................................................................................21 分层练习........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点3．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点4．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点5．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 题型01正比例函数的图象 1．（八年级下·上海宝山·期中）函数和函数在同一坐标系中的图像大致是（  ） A． B． C． D． 2．（八年级·上海静安·阶段练习）已知函数y=（2a-3）x的图象经过第二、四象限，则a的取值范围是 . 3．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    题型02已知直线与坐标轴交点求方程的解 4．（八年级下·上海普陀·期中）直线的截距是 ． 5．（八年级下·上海·期中）已知点A（﹣1，1）是直线y＝kx+3上的一点，若该直线和x轴相交于点B，求点B的坐标． 题型03由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 6．（八年级下·上海·期中）若直线与为非零常数的图像与x轴交于同一点，那么的值是(       ) A．-0.5 B．0.5 C．2 D．-2 7．（八年级下·上海浦东新·阶段练习）一次函数在轴上的截距是 ． 题型04由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8．（八年级下·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 10．（八年级下·上海徐汇·阶段练习）在一次函数y=-x+1图像上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围. 题型05根据两条直线的交点求不等式的解集 11．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图已知函数和的图像交于点P（－2，－5），根据图像，求不等式的解集． 题型06判断一次函数的增减性 14．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）在一次函数中，y随x的增大而减小，那么常数m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 15．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而 ． 题型07根据一次函数增减性求参数 16．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，则k的取值范围是 ． 18．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）一次函数（为常数，且） (1)若点在此函数的图像上，求这个函数的解析式． (2)当时，函数最大值为2，求出的值． 题型08根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 19．（21-22八年级下·上海嘉定·期中）点，点都在直线上，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 20．（20-21八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    题型09比较一次函数值的大小 21．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 22．（23-24八年级下·上海松江·期中）已知一次函数的图像经过点，如果，那么 ． 题型10一次函数的规律探究问题 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 24．（八年级下·上海·期末）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距是-1，那么这条直线的表达式 ． 题型11求一次函数解析式 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；②当时；③；④不等式的解集是． x … 0 2023 … y … … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线经过点，那么 ． 27．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 题型12正比例函数的性质 28．（21-22八年级上·上海嘉定·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过一、三象限 29．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 30．（八年级·上海黄浦·期中）已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3． （1）求点A坐标及此正比例函数解析式； （2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由． 夯实基础 一、单选题 1．将直线向下平移2个单位，得到直线（    ）． A． B． C． D． 2．如图，函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 3．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转90°，当点的对应点落在边上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．一次函数的图象经过点（0， ）．当k＞0时，y的值随x值的增大而 ；当k＜0时，y的值随x值的增大而 ． 7．若直线经过点，则 ，如果这条直线上点A的横坐标，那么它的纵坐标 ． 8．已知y是x的一次函数，当时，；当时，，则这个一次函数的表达式为 ． 9．已知直线的图象如图所示，则 . 10．若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 ． 11．将直线向右平移2个单位长度后，所得直线的解析式是 ． 12．当自变量x=     时，函数与的值相等，这个函数值为 ． 13．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为 ． 14．如图，一次函数的图象经过点A，且与正比例函数的图象交于点B，则该一次函数的表达式为 ． 15．如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．    三、解答题 16．已知直线经过点，与轴交于点．求这条直线所对应的函数表达式． 17．已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上． （1）求此反比例函数的解析式； （2）若直线与线段相交，求m的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点． (1)求该直线的函数表达式． (2)设该直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，求线段MN的长度． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与直线y= x + 3交于点A，两条直线分别与x轴交于点B、点C． (1)求点A的坐标； (2)点D是AC上一点，BD=CD，求△BCD的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 22．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得． 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题． （1）求k的值． （2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． ③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 能力提升 一、单选题 23．关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1 24． 如图所示，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是（ ） A．x＜3 B．x＞3 C． D． 二、填空题 25．直线与两根坐标轴围成的三角形的面积是 ． 26．如图，已知点都在反比例函数的图象上．将线段AB沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA上．当线段与x轴有交点时，b的取值的最大值是 ． 三、解答题 27．一次函数的图象经过点（2，-8），写出这个函数的表达式. 28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：BOC≌CED； （2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一次函数的图像与性质 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01正比例函数的图象............................................................................................................................................................3 题型02已知直线与坐标轴交点求方程的解................................................................................................................................5 题型03由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点.................................................................................................................7 题型04由直线与坐标轴的交点求不等式的解集.........................................................................................................................8 题型05根据两条直线的交点求不等式的解集...........................................................................................................................10 题型06判断一次函数的增减性...................................................................................................................................................11 题型07根据一次函数增减性求参数...........................................................................................................................................12 题型08根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况...........................................................................................................15 题型09比较一次函数值的大小...................................................................................................................................................16 题型10一次函数的规律探究问题...............................................................................................................................................17 题型11求一次函数解析式...........................................................................................................................................................19 题型12正比例函数的性质...........................................................................................................................................................21 分层练习........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点3．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点4．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点5．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 题型01正比例函数的图象 1．（八年级下·上海宝山·期中）函数和函数在同一坐标系中的图像大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象 【分析】依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可. 【详解】若正比例函数y＝ax的图象从左往右下降，则a＜0， 此时，一次函数y＝x+a 的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数y＝ax的图象从左往右上升，则a＞0， 此时，一次函数y＝x+a 的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象． 2．（八年级·上海静安·阶段练习）已知函数y=（2a-3）x的图象经过第二、四象限，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正比例函数的图象 【分析】根据正比例函数图象的位置与系数的关系可得k值范围，得2a-3<0，求解即可. 【详解】解：∵函数y=（2a-3）x的图象经过第二、四象限， ∴2a-3<0， ∴ . 故答案为： 【点睛】本题考查正比例函数的图象位置与系数的关系，由位置确定系数的符号特征，即数形结合是解答此题的关键. 3．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、求关于原点对称的点的坐标、正比例函数的图象 【分析】把代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点和点关于原点对称可得点的坐标． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∵正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 题型02已知直线与坐标轴交点求方程的解 4．（八年级下·上海普陀·期中）直线的截距是 ． 【答案】或1 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据“直线的截距就是该直线与y轴交点的纵坐标和该直线与x轴交点的横坐标的值”即可解答． 【详解】令代入得：， 即直线在轴上的截距是． 令代入得：， 即直线在轴上的截距是． 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查了截距的定义，即为与y轴交点的纵坐标的值和与x轴交点的横坐标的值，比较简单，需要熟练掌握． 5．（八年级下·上海·期中）已知点A（﹣1，1）是直线y＝kx+3上的一点，若该直线和x轴相交于点B，求点B的坐标． 【答案】（﹣，0） 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出直线与x轴的交点坐标． 【详解】将A（﹣1，1）代入y＝kx+3，得：﹣k+3＝1， 解得：k＝2， ∴直线的解析式为y＝2x+3． 当y＝0时，2x+3＝0， 解得：x＝﹣， ∴点B的坐标为（﹣，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 题型03由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 6．（八年级下·上海·期中）若直线与为非零常数的图像与x轴交于同一点，那么的值是(       ) A．-0.5 B．0.5 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】令为零，得，令得,易求. 【详解】解：当=0，得， 当，得， ∴， ∴=-0.5， 故选A. 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，熟知与x轴相交时y=0是解题关键. 7．（八年级下·上海浦东新·阶段练习）一次函数在轴上的截距是 ． 【答案】2 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】令x=0，求出y的值，即可求解． 【详解】当x=0时，， ∴在轴上的截距是2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数与y轴的交点，熟练掌握一次函数在轴上的截距是函数图像与y轴交点纵坐标的绝对值是解答本题的关键． 题型04由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8．（八年级下·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】的解集即为一次函数的图像轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第一、三、四象限， ∴，一次函数的图像从左到右呈上升趋势， 一次函数的图像与x轴交于点， 的解集即为一次函数的图像轴上方部分的自变量取值范围， 不等式的解集为， 故选：C 【点睛】此题考查了一次函数的图像与不等式的关系，正确理解函数图像与不等式的关系是解题的关键． 9．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 10．（八年级下·上海徐汇·阶段练习）在一次函数y=-x+1图像上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围. 【答案】x<1. 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】先判断出函数图象所经过的象限，再求出直线与x轴的交点即可得出结论． 【详解】∵一次函数y=−x+1中，k=−1<0，b=1>0， ∴此函数的图象经过一二四象限. ∵当y=0时，x=1， ∴位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围是x<1. 故答案为x<1. 【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于判断出函数图象所经过的象限. 题型05根据两条直线的交点求不等式的解集 11．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象即可确定不等式的解题． 【详解】解：函数和的图象相交于点， 根据图象可知，不等式的解集是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，用一次函数的图象的交点坐标解不等式是解题的关键． 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 13．（2022八年级下·上海·专题练习）如图已知函数和的图像交于点P（－2，－5），根据图像，求不等式的解集． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案． 【详解】解：函数，的图象交于点， 则根据图象可得不等式的解集是， 答：不等式的解集为． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大． 题型06判断一次函数的增减性 14．（21-22八年级下·上海奉贤·期末）在一次函数中，y随x的增大而减小，那么常数m的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】先根据一次函数的增减性得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 15．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而 ． 【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，在中，若，则函数值y随自变量x的增大而增大，若，则函数值y随自变量x的增大而减小，根据一次函数图象和性质即可解题． 【详解】解：一次函数解析式为，且， 函数值y随自变量x的增大而减小， 故答案为：减小． 题型07根据一次函数增减性求参数 16．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确理解直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数图象的增减性来确定的符号即可． 【详解】解：一次函数的函数值随自变量的值增大而增大， ， 解得：， 故选：A． 17．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）已知一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，根据y随着自变量x的值的增大而增大，得到，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）一次函数（为常数，且） (1)若点在此函数的图像上，求这个函数的解析式． (2)当时，函数最大值为2，求出的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）将代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式； （2）分两种情况讨论：当时，随的增大而增大，则当时，有最大值2，将代入函数关系式即可求得的值；当时，随的增大而减小，则当时，有最大值2，将代入函数关系式即可求得的值； 【详解】（1）∵一次函数，点在此函数的图像上， ∴将代入得，， ∴， ∴ ∴一次函数的解析式为：． （2）①当时，随的增大而增大，则当时，有最大值2， ∴， ∴， ②当时，随的增大而减小，则当时，有最大值2， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型08根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 19．（21-22八年级下·上海嘉定·期中）点，点都在直线上，则a，b的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵k=＞0 ∴y随x的增大而增大 ∵-3＜-1 ∴a＜b 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键． 20．（20-21八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 题型09比较一次函数值的大小 21．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴与异号， ∴， 故选：A 22．（23-24八年级下·上海松江·期中）已知一次函数的图像经过点，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据一次项系数小于0可得y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵一次函数的图像经过点，且， ∴， 故答案为：． 题型10一次函数的规律探究问题 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 24．（八年级下·上海·期末）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距是-1，那么这条直线的表达式 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】直线，k表示倾斜程度，b表示y轴上的截距；两直线平行，即倾斜程度一样； 【详解】解：因为直线平行于直线，且在y轴上的截距是-1， 所以，，所以直线表达式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查直线的系数k，b的性质，熟记性质是解题关键． 题型11求一次函数解析式 25．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；②当时；③；④不等式的解集是． x … 0 2023 … y … … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键． 认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】①由表格可知，时，，，即， 故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选∶ C． 26．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线经过点，那么 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程是解此题的关键．把代入得，到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得：， ， 故答案为：． 27．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点． (1)求一次函数解析式； (2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，图象的平移，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积的计算，熟练的求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先确定平移后的函数解析式，然后求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴交点坐标为， 设直线的解析式为：，把和代入得： ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）设平移后的直线解析式， 则与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴与坐标轴围成的三角形面积为， 解得：， ∴平移后的直线解析式为或． 题型12正比例函数的性质 28．（21-22八年级上·上海嘉定·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】分别应用正比例函数的性质分析即可选择． 【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故选项不符合题意； B．由知，函数值随自变量的增大而增大，故选项符合题意； C．正比例函数图象都经过原点，故选项不符合题意； D．由知，图象经过一、三象限，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 29．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键． 30．（八年级·上海黄浦·期中）已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3． （1）求点A坐标及此正比例函数解析式； （2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）A（3，-2），y＝-x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】（1）结合题意，得；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案； （2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）如图， ∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3 ∴ ∵△AOH的面积为3 ∴ ∴AH＝2 ∵点A在第四象限 ∴A（3，-2）， 把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2 解得： ∴正比例函数解析式为y＝-x； （2）设P（t，0），即 ∵△AOP的面积为5 ∴ ∴t＝5或t＝-5 ∴能找到一点P使S△AOP＝5，P点坐标为（5，0）或（-5，0）． 【点睛】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解． 夯实基础 一、单选题 1．将直线向下平移2个单位，得到直线（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“上加下减”进行计算即可得． 【详解】解：∵直线向下平移2个单位， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，解题的关键是掌握“上加下减”． 2．如图，函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用一次函数的性质得出的值，再利用函数图象得出不等式的解集． 【详解】解：函数与的图象相交于点， ， 解得：， 关于的不等式的解集是：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出的值． 3．若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象与性质，根据直线经过第一、二、四象限，得出，则，进而判断函数经过第一、二、三象限，即可求解． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，则 ∴函数经过第一、二、三象限， 故选：D． 4．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 5．如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转90°，当点的对应点落在边上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于点，通过证明，即可得出的坐标． 【详解】解：过点作的垂线交于点，如下图： 由题意， 为等腰直角三角形，， 设直线的方程为， 将代入中， ， 解得：， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，一次函数，解题的关键是：添加辅助线，证明三角形全等，得到对应边相等，即可求出坐标． 二、填空题 6．一次函数的图象经过点（0， ）．当k＞0时，y的值随x值的增大而 ；当k＜0时，y的值随x值的增大而 ． 【答案】 b 增大 减小 【解析】略 7．若直线经过点，则 ，如果这条直线上点A的横坐标，那么它的纵坐标 ． 【答案】 【分析】先根据直线经过点，可求出，从而得到函数解析式，再将代入解析式即可求解． 【详解】解：∵直线经过点， ∴ ，解得 ； ∴该函数解析式为 ， 当时， ． 故答案为： ； ． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数的解析式，以及求函数值，求出正比例函数解析式是解题的关键． 8．已知y是x的一次函数，当时，；当时，，则这个一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①先设出函数解析式的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；②将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 直接用待定系数法求解即可． 【详解】解：因为y是x的一次函数，所以可设所求表达式为． 当时，；当时，分别代入，得 解这个方程组，得 所以所求的一次函数表达式为， 故答案为：． 9．已知直线的图象如图所示，则 . 【答案】 【分析】根据一次函数的图象及性质与系数的关系即可求出a、b的取值范围，从而求出，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据图象可知， ∴ 所以 故答案为：． 【点睛】此题考查的是一次函数的图象及性质和去绝对值，掌握一次函数的图象及性质与系数的关系和绝对值的性质是解决此题的关键． 10．若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】k＞0 【详解】试题分析：一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 由题意得，y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，故． 11．将直线向右平移2个单位长度后，所得直线的解析式是 ． 【答案】y=x-1 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将将直线y=x+1向右平移2个单位长度所得函数的解析式为y=（x-2）+1，即y=x-1． 故答案为：y=x-1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 12．当自变量x=     时，函数与的值相等，这个函数值为 ． 【答案】 【分析】根据函数值相等，自变量相等，可得方程，解方程可得答案． 【详解】解：依据题意可知：， 移项得：， 化简得： ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了函数值，利用了函数值相等，自变量相等得出方程是解题关键． 13．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为 ． 【答案】 【分析】分时，时，时三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，， 解得：，满足，符合题意； ②若，则当时，， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，， 解得：，不满足，不符合题意； ③若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，此时函数， 由题意，，方程无解，此情况不存在， 综上，满足条件的k的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 14．如图，一次函数的图象经过点A，且与正比例函数的图象交于点B，则该一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】先由图象求出点A的坐标，再由点B在上求出点B的坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式. 【详解】解：设该一次函数的表达式为，由图象知点B在直线y=－x上，所以点B的坐标为（－1,1），由一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，可得，解得，所以该一次函数的表达式为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，属于基础题型，注意利用正比例函数的解析式求出B点坐标是解题的关键. 15．如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，根据一次函数解析式求出，点坐标，再由中点坐标公式求出，坐标，根据对称的性质求出坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小．    令中，则， 点的坐标为， 令中，则， 故， 点的坐标为， 点C，D分别为线段，的中点， ， 关于轴的对称点， ， 设直线的解析式为， 将坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令中， 则， 解得， 当最小时，点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，找出点位置是解题的关键． 三、解答题 16．已知直线经过点，与轴交于点．求这条直线所对应的函数表达式． 【答案】 【分析】根据经过点，点，把点代入，即可得到直线的函数表达式． 【详解】解：把和分别代入得， 解得， ∴． ∴这条直线所对应的函数表达式为． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． 17．已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上． （1）求此反比例函数的解析式； （2）若直线与线段相交，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）m的取值范围是． 【分析】（1）利用待定系数法，设出反比例函数的解析式为，把点或代入，即可求出的值，进而求出反比例函数的解析式． （2）设是线段上任一点，根据点、可求出的取值范围． 【详解】解：（1）设所求的反比例函数的解析式是， 依题意得：，， 反比例函数解析式为． （2）设P（x，y）是线段上任一点，则有，； ，， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，及直线与反比例函数图象上线段相交时，直线解析式系数的取值范围，解题的关键在于利用已知的两个点确定m的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点． (1)求该直线的函数表达式． (2)设该直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，求线段MN的长度． 【答案】(1)该直线的函数表达式为 (2)线段MN的长度为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点M、N的坐标，然后利用勾股定理计算线段MN的长度． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 代入，得：， 解得：， ∴该直线的函数表达式为； （2）∵， ∴当时，，即N（0，1）， 当时，，即M（2，0）， 由勾股定理得：， ∴线段MN的长度为． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数图象与坐标轴的交点求法以及勾股定理的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与直线y= x + 3交于点A，两条直线分别与x轴交于点B、点C． (1)求点A的坐标； (2)点D是AC上一点，BD=CD，求△BCD的面积． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) 【分析】（1）联立两直线解析式，解方程组即可求解； （2）根据直线与坐标轴的交点求得的坐标，过点D作于点E，根据题意求得的坐标，继而求得的坐标，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，解得 ∴点A的坐标为 （2）直线中，时，， ∴ 直线时，， ∴ ∴． 过点D作于点E，如图∵， ∴， ∴，点D的横坐标为， ∵点D在直线上，点D的纵坐标为，即， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数综合，求两直线交点，以及直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)点的坐标为：或或或 【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为： （2）∵交轴于点， ∴， ∵与交于点， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 当时，或， 当时，如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， 时，如图2，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上所述：点的坐标为：或或或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键． 21．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)①55件；②不存在，理由见解析 【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）①根据每件的利润乘以销售量等于利润1375元，列出方程并求解，再结合每件商品获利不得高于60%，可得符合题意的答案； ②根据每件的利润乘以销售量等于利润1650元，然后根据根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，将点、代入一次函数关系式得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴y与x之间的函数关系为； （2）解：①根据题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴，， ∴每天的销售量55件； ②根据题意，得， 化简得， ∴， ∴方程无解， ∴不存在每天的销售利润为1650元． 【点睛】本题考查了一次函数一元以及二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键． 22．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得． 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题． （1）求k的值． （2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． ③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6． 【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 点A的坐标是，所以； （2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为， 所以这个“Z函数”表达式为； ②画出的图象如图： 性质如下（答案不唯一）； （a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线 （b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称． （c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大． ③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，； 第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为， ，即， ， 由题意得， ， （a）当时，，解得； （b）当时，， 解得， 当时，．解得； 当时，，解 所以x的值为． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 能力提升 一、单选题 23．关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1 【答案】B 【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程组可得， ， ∵点P（a，b）总在直线y=x上方， ∴b＞a， ∴， 解得k＞-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解． 24． 如图所示，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是（ ） A．x＜3 B．x＞3 C． D． 【答案】A 【详解】法一：由图示可得，当时，函数图像在轴的上方，此时，即． 所以不等式的解集为． 故选：A． 法二：由直线与轴交于点，则， 于是． 由得； 又，则． 故选：A． 二、填空题 25．直线与两根坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】6 【分析】先求出与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】当x=0时，， ∴OB=2， 当y=0时，，解得x=6， ∴OA=6， ∴直线与两根坐标轴围成的三角形的面积是： ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键． x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 26．如图，已知点都在反比例函数的图象上．将线段AB沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA上．当线段与x轴有交点时，b的取值的最大值是 ． 【答案】 【分析】由题可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解这个方程求出m的值，由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A1在x轴上、B1在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围，再确定b的最大值． 【详解】解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=的图象上． ∴m（m+1）=（m+3）（m-1）． 解得：m=3． ①当点B1落到x轴上时，如图1， 设直线OA的解析式为y=ax， ∵点A的坐标为（3，4）， ∴3a=4，即a=． ∴直线OA的解析式为y=x． ∵点A1始终在直线OA上， ∴直线y=kx+b与直线OA垂直． ∴k=-1． ∴k=． ∴直线y=x+b， 由于BB1∥OA，可设直线BB1解析式为y=x+c． ∵点B的坐标为（6，2）， ∴×6+c=2，即c=-6． ∴直线BB1解析式为y=x-6． 当y=0时，x-6=0．则有x=． ∴点B1的坐标为（，0）． ∵点C是BB1的中点， ∴点C的坐标为（，）即（，1）． ∵点C在直线y=-x+b上， ∴×+b=1． 解得：b=． ②当点A1落到x轴上时，如图2， 此时，点A1与点O重合． ∵点D是AA1的中点，A（3，4），A1（0，0）， ∴D（，2）． ∵点D在直线y=x+b上， ∴×+b=2． 解得：b=． 综上所述：当线段A1B1与x轴有交点时，则b的取值范围为≤b≤． b的取值的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,中点坐标公式待定系数法求一次函数解析式，等知识，利用线段A1B1与x轴有交点时，分类讨论A1、B1在x轴上的思想方法，是一道好题． 三、解答题 27．一次函数的图象经过点（2，-8），写出这个函数的表达式. 【答案】. 【详解】点睛：将点（2，-8）代入函数解析式可得到关于k的方程，解出即可得到k的值． 试题解析：∵一次函数的图象经过点（2，-8）， ∴， ∴， ∴这个函数的表达式为. 点睛：本题考查待定系数法求函数解析式，注意在代入计算时要细心，减少出错. 28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E． （1）求证：BOC≌CED； （2）求经过 A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程） 【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或 【分析】（1）由“AAS”即可证明； （2）设直线的解析式为，待定系数法即可求得解析式，设，即可得的坐标，代入解析式即可求得，进而求得的坐标； （3）设，分别表示出的长，分三种情况讨论，根据平面直角坐标系中的点的坐标，利用勾股定理求得两点距离，分别求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， 在与中， ， （AAS）， （2）设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得， 直线的解析式为， ， ， 设， ， ， 点在直线上，将代入， 即， 解得， ， （3）存在，理由如下： 设， ， ， ①当时， ， 解得， ②当时， ， 解得：， ③当时， ， 解得或（与C点重合，舍）， 综上所述，的坐标为： 或或或 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，一次函数的性质，等腰三角相对性状，三角形全等的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$