精品解析：湖北省鄂南高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

鄂南高中2023级高二上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 14 D. 15 6. 设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（ ） A 4：1 B. 5：1 C. 5：2 D. 7：2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为正数 B. -2025是中的项 C. 是递减的等差数列 D. 的最大值是26 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若直线经过点，则最小值是1 C. 当时，的面积为 D. 若线段中点为，则直线的方程为 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 当点异于顶点时，内切圆的圆心总在定直线上 C. 若，则点的纵坐标为 D. 过点作双曲线切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在前n项和为的等差数列中，，，则______. 13. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是________. 14. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）求过点且与曲线C相切的直线的方程. 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和为，求. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 19. 已知数列满足，集合．设中有个元素，从小到大排列依次为 （1）若，请直接写出； （2）若，求； （3）若，求的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂南高中2023级高二上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化抛物线方程标准形式，再求出其焦点坐标. 【详解】抛物线化为：，其焦点坐标为. 故选：C 2. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，然后利用平行线间的距离公式可算出答案. 【详解】已知直线与直线平行，则，解得. 直线化为；直线为直线. 它们之间的距离为. 故选：A. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出渐近线方程． 【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线的求法，属于基础题． 4. 点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程表示圆及点在圆外构造不等式求解即可； 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：， 解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 故选：C 5. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A B. C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 6. 设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 7. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可. 【详解】解析：按照规律有，，，，，，，，， A、C错；， 则，B对； ， D错． 故选：B 8. 已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（ ） A. 4：1 B. 5：1 C. 5：2 D. 7：2 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，将代入, 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为正数 B. -2025是中的项 C. 是递减的等差数列 D. 的最大值是26 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题可先根据已知条件判断数列的类型，再求出数列的首项、通项公式和前项和公式，最后据此逐一分析选项. 【详解】已知，移项可得. 根据等差数列的定义：可知数列是公差的等差数列，且公差为负，所以是递减的等差数列，故C选项正确. 根据等差数列通项公式，可得，. 已知，将，代入可得： ，即. 把代入，可得， ，，解得，首项为正数，故A选项正确. 由等差数列通项公式，把，代入可得： . 令，则，解得， 所以不是中的项，故B选项错误. 令，则，解得. 因为，所以当时，还大于，当时，. 根据等差数列前项和公式，可得，即的最大值是26，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若直线经过点，则的最小值是1 C. 当时，的面积为 D. 若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，的取值范围为进而可得； 选项B，直线轴时，取得最小值，即求椭圆的通径即可； 选项C，根据求焦点三角形的面积方法可得； 选项D，由中点弦的求法可得. 【详解】选项A：由椭圆的方程可得椭圆的长半轴，短半轴， 设半焦距为，则， 因在椭圆上，则的取值范围为，即，故A错误； 选项B：设， 由题意，则的最小值时，直线轴， 当时，由可得，故，故B正确； 选项C： 由椭圆的定义可得， 故，即 在中由余弦定理可得， 得，即， 故，故C错误； 选项D：因在椭圆上，故，， 两式相减可得，可得， 故直线的斜率为，又直线过点， 故直线的方程为，即，故D正确， 故选：BD 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 C. 若，则点的纵坐标为 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据题意，进而可得； 选项B，由双曲线的定义和内切圆的性质，可得，即得，进而可得； 选项C，设， 由，联立 可得； 选项D，当点坐标为时，由得，进而可判断错误. 【详解】选项A：因到渐近线的距离为1，故，故，故A正确； 选项B： 如图，的内切圆的圆心为，分别与切于点, 则, 由双曲线定义可得，故， 故，即， 又，故，故, 故内切圆的圆心总在定直线上，故B正确； 选项C： 设，则，， 因，故，故， 代入可得得，得，故C正确； 选项D： 当点坐标为时，切线方程为，双曲线的渐近线方程为， 联立得，联立得， 故，得，此时渐近线方程为，故D错误， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题选项B考虑到内切圆的性质，由双曲线的定义可得，进而可判断；选项D，先考虑特殊点，点位于顶点时得到，可判断选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在前n项和为的等差数列中，，，则______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，可知为等差数列， 则，即，解得. 故答案为：12. 13. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出曲线，数形结合求出直线与曲线有两个交点的范围. 【详解】依题意，， 则曲线表示为圆心，1为半径在直线及上方的半圆，如图： 当直线为曲线的切线时，，，解得，令切线为， 当直线过点时，它还过点，且这两点都在曲线上，此时，令此直线为， 当直线在直线与之间（不含，含）平行移动时，它与曲线始终有两个交点， 当直线由向右平移时，该直线与曲线最多一个交点， 所以实数b的取值范围是. 故答案为： 14. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）求过点且与曲线C相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由圆心到直线的距离等于半径列出等式，求斜率即可； 【小问1详解】 设，则，， 由，得， 所以曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 曲线C是以（2，4）为圆心，2为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程为，满足与圆C相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到直线距离，解得， 则方程为. 综上：过点且与曲线C相切的直线的方程为或 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质可得，进而可求解； （2）由错位相减法求和即可； 【小问1详解】 由题意知，， 所以，易知公差， ∴， 【小问2详解】 ，① ，② ①-②，得， 所以 化简可得：. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可证明结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 证明：因为为的中点，且， 所以在中，有，且， 又平面平面，且平面平面， 所以平面， 又平面，则， 由，得， 因为， 所以由勾股定理，得， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 可得， 所以， 设平面的法向量为， 由，令，得，所以. 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数和，进而可求出椭圆的方程； （2）设定点，通过几何关系和代数计算判断是否存在定点，并求出其坐标； （3）设，直线，，的斜率成等差数列，只需证，通过直线与椭圆的联立，经过代数运算之后，可得结论. 【小问1详解】 ∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. 【小问3详解】 证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证. 19. 已知数列满足，集合．设中有个元素，从小到大排列依次为 （1）若，请直接写出； （2）若，求； （3）若，求的最小值 【答案】（1）； （2）160； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可求得，从而可求出； （2）由题意可得，然后可依次求出，从而可求出； （3）先证明：，方法一：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于，方法二：利用反证法，假设，则，然后推理证明；然后，证明存在符合要求的数列，构造，分析判断即可. 【小问1详解】 由题意可知， 所以可知， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为对任意，都有， 所以依次为 ， ， ， ， ，… 所以． 【小问3详解】 ． 先证明：． 方法1：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于， 因为，所以，从而， 因为，所以，即． 方法2：假设，则． 则， 因为满足的必要条件是（因为若，则，不等式不成立）， 所以小于的和式至多有以下情况： ； ； …… ； 共，不合题意． 其次，证明存在符合要求的数列． 构造：令． 显然满足， 且． 此时，，故． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $