精品解析：2024年 广东省深圳市蛇口育才教育集团育才二中中考三模数学试卷

育才二中初三年级考前热身训练 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共4页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 如图，已知，，下列数量关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（ ） 月用水量(吨) 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 A. 中位数是 B. 平均数是7 C. 众数是2 D. 方差是1 6. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 7. 某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米． A. 15－5 B. 20－10 C. 10－5 D. 5－5 10. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11. 因式分解：_______． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 13. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 14. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若， ，则k的值是___________． 15. 如图，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN、CN，则△CAN周长的最小值为________. 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算； 17. 先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 18. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数； （4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数； （5）在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率． 19. 花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 20. 如图，在中，，顶点O，D在斜边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的恰好经过点D和点E． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 21. 请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米． 处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 22. 【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 育才二中初三年级考前热身训练 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共4页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2. 襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3. 纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，（且n为整数），确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】0.000000001变成1，小数点向左移动了9位，且，所以，，即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，确定a及n的值是解题的关键． 4. 如图，已知，，下列数量关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ，选项C正确， 无法判断与是否相等， 无法得出分别与相等， 无法得出， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 5. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示：关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的（ ） 月用水量(吨) 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 A. 中位数是 B. 平均数是7 C. 众数是2 D. 方差是1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数，平均数，中位数，方差，解题的关键是熟练掌握求众数，平均数，中位数，方差的方法． 【详解】解：A、根据题意可得，一共有20户，中位数为第10户和第11户用水吨数的平均数，则中位数，故A说法正确，符合题意； B、由题意得，平均数为，故B说法错误，不符合题意； C、由表可知，月用水量为5吨的户数最多，则众数为5，故C说法错误，不符合题意； D、，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：依题意， ∴且 故选B 【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键． 7. 某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，根据“总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元”，列出方程即可解答． 【详解】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐， 根据题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 9. 如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米． A. 15－5 B. 20－10 C. 10－5 D. 5－5 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论． 【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示． 在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°， ∴AM＝AB•cos30°＝5（米），BM＝AB•sin30°＝5（米）． 在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°， ∴DE＝AE•tan60°＝10（米）． 在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5（米），∠CBN＝45°， ∴CN＝BN•tan45°＝10＋5（米）， ∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋5＋5−10＝15−5（米）． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键． 10. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 第二部分非选择题 二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法及公式法因式分解，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 13. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若， ，则k的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出点坐标，利用，求出点横坐标，过点作轴，交轴于点，再利用，求出点纵坐标，即可求出值． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∴， 过点作轴，交轴于点， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查已知图形面积求值．正确的求出一次函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积和锐角三角函数值求出点的坐标，是解题的关键． 15. 如图，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN、CN，则△CAN周长的最小值为________. 【答案】8+4 【解析】 【分析】如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．证明△OHM≌△NJO（AAS），推出JN=OH=，推出点N的运动轨迹是直线（该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是），作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小． 【详解】解：如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J． ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∵OH⊥BC于H， ∴OH=BH， ∵OB=AB，AB=8， ∴OB=2， ∴OH=BH=， ∵OM=ON，∠OHM=∠NJO=90°，∠NOJ=∠OMH， ∴△OHM≌△NJO（AAS）， ∴JN=OH=， ∴点N的运动轨迹是直线（该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是， 作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G． 在Rt△AGC′中，AC′=， ∴△ACN的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算； 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简计算即可得答案． 【详解】 =2+1-2×+ =． 【点睛】本题考查了实数的计算，包含负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 17. 先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 当时 原式． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 18. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、倒画赏析、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，完成下列问题： （1）本次调查共抽取了____________名学生； （2）补全条形统计图； （3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数； （4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数； （5）在经典通读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率． 【答案】（1）300 （2）见详解 （3）120° （4）200 （5） 【解析】 【分析】（1）由国画赏析的人数除以所占的百分比，即可得到答案； （2）利用抽取的总人数减去其他项目的人数，再补全条形图即可； （3）先求电脑编程所占百分比，然后乘以360°，即可得到答案； （4）先求民族舞蹈所占百分比，然后乘以1200，即可得到答案； （5）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取的学生人数为：（人）； 故答案为：300； 【小问2详解】 解：根据题意， 花样跳绳的人数为：（人）； 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：根据题意， “电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：； 小问4详解】 解：全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）； 【小问5详解】 解：列表如下： A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种， 所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为． 【点睛】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键． 19. 花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）款玩偶购进个，款玩偶购进个 （2）按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润． 【小问1详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意，得， 解得：， ∴（个）． 答：款玩偶购进个，款玩偶购进个； 【小问2详解】 设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得， ∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而增大． ∴当时，（元）， ∴款玩偶为：（个）． 答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查列一元一次方程解实际问题的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是解题的关键． 20. 如图，在中，，顶点O，D在斜边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的恰好经过点D和点E． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明四边形AOEF是平行四边形，得到，即可证明∠OEB=∠ACB=90°，由此即可证明结论； （2）过点F作于点H，先解直角△CEF求出EF的长，再证明四边形AOEF是菱形，得到OA，AF的长，再解直角△AHF，求出AH，FH，进而求出OH，即可利用勾股定理求出OF． 【小问1详解】 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴；， ∵， ∴；， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：过点F作于点H， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴是菱形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米． 处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案； 任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值； 任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【详解】解：任务 如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 则点为原点， 由题意得，，， 则点的坐标为， 令抛物线的解析式为， 将点代入中得， ， 解得：， 则抛物线的解析式为． 任务（米）， 将代入得， ，（舍）， （米， （米），（米）， 琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米． 任务3：将代入得， ，（舍）， ， 该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间． 22. 【问题提出】 （1）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接与交于点，若，求证：； 【迁移应用】 （2）如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接交于点，且，求的值； 【拓展提高】 （3）如图，在四边形中，点是边上的一点，连接与交于点，，，，请直接写出的值． 【答案】（）见解析；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，求得； （）根据补角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （）过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，得到∴，，，同（）可得，在上取一点使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，， 求得，根据相似三角形的性质得到，设 ，则，，得到 ，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴值为； （）如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（）可得， ∵， ∴设，， 在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$