专题2.3 根的判别式与根与系数的关系（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.3 根的判别式与根与系数的关系（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 【考点与题型目录】 【考点1】根的判别式 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况.........................................3 【题型2】已知方程根的情况确定参数的值或参数取值范围.................................3 【题型3】已知方程根的情况+一元二次方程的定义确定参数取值范围........................3 【题型4】由一元二次方程根的判别式进行证明...........................................3 【考点2】根与系数的关系 【题型5】由根与系数关系对称性求代数式的值...........................................4 【题型6】由根与系数关系与一元二次方程的解求代数式的值...............................4 【考点3】根的判别式与根与系数的关系综合 【题型7】利用根的判别式与根与系数关系综合求值.......................................5 【题型8】利用根的判别式与根与系数关系综合证明.......................................5 【题型9】根的判别式与根与系数关系几何证明与求值.....................................5 【考点4】链接中考与延伸拓展 【题型10】链接中考..................................................................6 【题型11】拓展延伸..................................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】根的判别式 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）不解方程，可以判断它的根的情况是 ． 【题型2】已知方程根的情况确定参数的值或参数取值范围 【例2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次方程（其中）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； （2）当该方程有实数根时，求m的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·期末）若关于x方程有两个相等的实数根，则 ． 【题型3】已知方程根的情况+一元二次方程的定义确定参数取值范围 【例3】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 （1）如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式2】（24-25九年级上·甘肃金昌·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【题型4】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例4】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程． （1）若此方程的一个根是1，请求出k的值； （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【考点2】根与系数的关系 【题型5】由根与系数关系对称性求代数式的值 【例5】（24-25九年级上·天津滨海新·期中）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： （1） （2） 【变式1】（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）若的两个根分别为，，且，则 ． 【题型6】由根与系数关系与一元二次方程的解求代数式的值 【例6】（2018·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）已知m，n是关于x的方程的两根，则代数式的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若一元二次方程的两个根分别为m，n，则代数式的值为 ． 【考点3】根的判别式与根与系数的关系综合 【题型7】利用根的判别式与根与系数关系综合求值 【例7】（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 【题型8】利用根的判别式与根与系数关系综合证明 【例8】（24-25九年级上·河南周口·期中）已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2），是方程的两实数根，且满足，求k的值． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 【题型9】根的判别式与根与系数关系几何证明与求值 【例9】（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值时，该方程总有两个实数根； （2）若的两条直角边恰好是该方程的两个实数根，且斜边长的长为，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·期中）若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【例2】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． （3）已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【例2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程． （1）若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况； （2）若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 根的判别式与根与系数的关系（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 【考点与题型目录】 【考点1】根的判别式 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况.........................................3 【题型2】已知方程根的情况确定参数的值或参数取值范围.................................4 【题型3】已知方程根的情况+一元二次方程的定义确定参数取值范围........................5 【题型4】由一元二次方程根的判别式进行证明...........................................7 【考点2】根与系数的关系 【题型5】由根与系数关系对称性求代数式的值...........................................9 【题型6】由根与系数关系与一元二次方程的解求代数式的值..............................10 【考点3】根的判别式与根与系数的关系综合 【题型7】利用根的判别式与根与系数关系综合求值......................................12 【题型8】利用根的判别式与根与系数关系综合证明......................................14 【题型9】根的判别式与根与系数关系几何证明与求值....................................17 【考点4】链接中考与延伸拓展 【题型10】链接中考.................................................................19 【题型11】拓展延伸.................................................................21 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】根的判别式 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）原方程有两个相等的实数根；（2）原方程有两个不相等的实数根；（3）原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此根据一元二次方程根的判别式可分别求解（1）（2）（3） 解：（1）解：原方程可化为， ， ∴原方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根． （3）解：原方程可化为． ， 原方程无实数根． 【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，利用判别式的取值范围进行判断即可． 解：A、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，，方程没有实数根，符合题意； D、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·期中）不解方程，可以判断它的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【题型2】已知方程根的情况确定参数的值或参数取值范围 【例2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次方程（其中）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； （2）当该方程有实数根时，求m的取值范围． 【答案】（1），方程的另一个根为；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 解：（1）解：将代入原方程得：， 解得： ∴原方程为 ∴ ∴或 解得， ∴方程的另一个根为； （2）解：当该方程有实数根时， ， 解得：， ∵是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识点，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系列出不等式求解即可． 解：∵一元二次方程有实数根， ∴，解得：． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·期末）若关于x方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，由方程有两个相等的实数根得到，即，计算即可． 解：关于x方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 【题型3】已知方程根的情况+一元二次方程的定义确定参数取值范围 【例3】（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 （1）如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 解：（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式．根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃金昌·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由“关于x的一元二次方程有实数根”可得且，解不等式组即可求出k的取值范围． 解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 【题型4】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例4】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程． （1）若此方程的一个根是1，请求出k的值； （2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式； （1）将1代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 解：（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）证明：，，， ， 故无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，进而即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点2】根与系数的关系 【题型5】由根与系数关系对称性求代数式的值 【例5】（24-25九年级上·天津滨海新·期中）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式和分式的求值， （1）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式变形，即可求解； （2）将通分得到，然后整体代入求解即可． 解：（1）∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ； （2） ． 【变式1】（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题． 解：，是方程的两个根， ，， ． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）若的两个根分别为，，且，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 解：的两个根分别为，，且， ，， ． 故答案为：19． 【题型6】由根与系数关系与一元二次方程的解求代数式的值 【例6】（2018·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）已知m，n是关于x的方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解定义．解题的难点是根据根与系数的关系得到的值．把代入已知方程得到的值；然后利用根与系数的关系得到的值；最后将其代入所求的代数式进行求值． 解：把代入，得 ， 则， 又∵实数m、n是关于x的方程的根， ∴， ∴． 故答案是：4． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若一元二次方程的两个根分别为m，n，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为． 根据一元二次方程的定义得出，由一元二次方程根与系数关系得出，整体代入即可得到答案． 解：∵一元二次方程的两根分别为m，n ∴，，即， ∴． 故答案为：． 【考点3】根的判别式与根与系数的关系综合 【题型7】利用根的判别式与根与系数关系综合求值 【例7】（24-25九年级上·江西赣州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，，由完全平方公式可得，进而可得，求出的值再结合（1）即可求解； 解：（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：由根和系数的关系可得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得，， ∵时，， ∴． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 【答案】0或8/8或0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ①当时，这个方程有两个相等的实数根， 则这个方程根的判别式， 解得或； ②当时，则，符合题意； 综上，的值为0或8， 故答案为：0或8． 【题型8】利用根的判别式与根与系数关系综合证明 【例8】（24-25九年级上·河南周口·期中）已知：关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2），是方程的两实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1）见分析；（2）4或 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是记住：是一元二次方程的两根时，． （1）证明即可； （2）根据关于k的方程求解即可． 解：（1）证明：依题意，得， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）设关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴k的值为4或-2． 【变式1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程的根和十字相乘法因式分解，判断①，根的判别式判断②，方程的解判断③，根与系数的关系，判断④． 解：若方程有两实数根为1，，则分解因式得，故①错误； 若，则：，则方程有两个不相等的实数根；故②正确； 当时，， ∴若，则方程一定有一个根为；故③正确； ∵方程有两个不等于0的实数根， ∴， ∴， ∴方程为一元二次方程， ∵， ∴， ∴方程一定有两实数根．故④正确； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 解：设方程的两个实数根为，， 则， ∴， 令，即， 解得：， ∵方程有实数根， ∴， 即：， 综上所述：． 故答案为：1． 【题型9】根的判别式与根与系数关系几何证明与求值 【例9】（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值时，该方程总有两个实数根； （2）若的两条直角边恰好是该方程的两个实数根，且斜边长的长为，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）-3 【分析】（1）一元二次方程的根的情况可以由方程的根的判别式来判定，先计算，证明，即可得该方程总有两个实数根． （2）由题意用分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边的长，由根与系数的关系可得，根据勾股定理列方程，解关于a的一元二次方程即可． 解：（1）证明：∵ ∴不论取何值时，方程总有两个实数根 （2）解：由题意，用分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边的长，则有 ， 又∵斜边长 根据勾股定理 ∴ ∴ 即 或 ∵为两个正根 ∴舍去 ∴ 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，解一元二次方程，熟练的运用“根的判别式判定方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系，根据，结合“等腰三角形的边长分别是、、1”，根据三角形的三边关系进行分类讨论，求出、，即可作答． 解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴ ∵等腰三角形的边长分别是、、1 ∴当时，则，， 解得；， 此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去； 当时，同理可得，不能满足三边关系，故舍去； 当时，则 解得； 此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系，符合题意； 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·期中）若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 【答案】6.5/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而得到，再利用勾股定理得到该三角形斜边长，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． 解： ，， ， 方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长， 该三角形斜边长为， 该三角形斜边上的中线长为， 故答案为：6.5． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 解：（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【例2】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【答案】或 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程． 由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 解：设方程的两个根为， 则， 由条件知，即且， 故． 则方程为． 当，即时，关于x的方程为有实数根， 不等式即为， 则， 或． 当时，， ． 又是正整数，且， ，但使不等式的分母无意义． 综上，不等式的解为：或． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． （3）已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】（1），，，6；（2）；（3）3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 解：（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 【例2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程． （1）若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况； （2）若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根． 【答案】（1）；（2）答案不唯一，当时， 【分析】（1）根据，求k的取值情况即可； （2）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，根据方程的根的判别式，解答即可． 本题考查了根的判别式，解方程，熟练掌握根的判别式和解方程是解题的关键． 解：（1）解：∵方程没有实数根，， ∴， 解得． （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． 当时，方程变形为， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$