第五章三角函数模块综合检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

答案解析： 1解析：选B.因为－2 024°＝136°－6×360°，且136°角是第二象限角， 所以－2 024°角的终边在第二象限．故选B. 2解析：选A.sin(－x)＝sin[－(＋x)]＝－cos(＋x)＝－.故选A. 3解析：选B.函数f(x)＝2cos(x－)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)是函数f(x)的最小值，f(x2)是函数f(x)的最大值，|x1－x2|的最小值即为函数f(x)的半个最小正周期，而函数f(x)＝2cos(x－)的最小正周期T＝＝4，因此|x1－x2|min＝＝2.故选B. 4解析：选A.因为a＝＝sin 55°， b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°， c＝＝＝tan 65°， 又sin 55°<sin 65°<＝tan 65°， 所以a<b<c.故选A. 5解析：选A.由题意可得500＝Asin(×8.5－π)＋300，可得200＝Asin， 解得A＝200，所以y＝200sin(t－π)＋300，当t＝15.5 h时， y＝200sin(×15.5－π)＋300＝200sinπ＋300＝100＋300 ≈100×1.41＋300＝441(辆)．故选A. 6解析：选A.令f(x)＝0，得3sin(2x＋)＝2⇒sin(2x＋)＝，因为x∈(0，)，所以2x＋∈(，), 因为α，β是函数f(x)＝3sin(2x＋)－2在(0，)上的两个零点， 则α，β是sin(2x＋)＝在(0，)上的两个根，故2α＋＋2β＋＝π⇒α＋β＝，故α＝－β， 则cos(α－β)＝cos[(－β)－β] ＝cos(－2β)＝cos[－(2β＋)] ＝sin(2β＋)＝.故选A. 7解析：选C.f(x)＝1－cos[2(－)]＋sin(ωx＋)－2 ＝－sin ωx＋sin ωx＋cos ωx－1 ＝sin ωx＋cos ωx－1＝sin(ωx＋)－1， 令f(x)＝0，得sin(ωx＋)＝1，由0≤x≤π，ω>0，得≤ωx＋≤ωπ＋. 因为sin(ωx＋)＝1恰有两解，所以≤ωπ＋<⇒ω∈[，)．故选C. 8解析：选A.由N为的中点，则∠AON＝∠BON＝∠AOB＝，可得∠xON＝＋α＝，由三角函数定义可得N点的坐标为(cos，sin)，故A错误； 由题可知，OM⊥AB，可得|OM|＝|OA|·cos＝cos，故B正确； 易知xM＝|OM|cos∠xOM＝cos·cos，又因为A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，M为线段AB的中点，则M(，)，所以(cos α＋cos β)＝coscos＝coscos，故C正确； 由0<α<β<π得，sin α>0，sin β>0，易知线段|AR|＝sin α，|BS|＝sin β， 则|CT|＝|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|<|1×sin α＋1×sin β|＝|sin α＋sin β|，所以|CT|<|AR|＋|BS|，故D正确．故选A. 9解析：选ABD.对于A，1°对应的弧度为rad，所以－120°对应的弧度为－ rad，故A正确；对于B，1 rad对应的角度为，所以 rad对应的角度为×＝18°，故B正确；对于C，1°对应的弧度为 rad，故C错误；对于D，－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，所以这两个角的终边相同，故D正确．故选ABD. 10解析：选ABC.对于A，tan 15°＋tan 60°＝tan(45°－30°)＋＝＋＝2－＋＝2，故A正确； 对于B，(－)＝·＝＝＝2，故B正确； 对于C，(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2，故C正确； 对于D，4sin 18°sin 54°＝4sin(90°－72°)·sin(90°－36°)＝4cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝＝1，故D错误．故选ABC. 11解析：选ACD.由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|＝m，所以cos θ＝，sin θ＝，则f(θ)＝＝sin θ＋cos θ ＝sin(θ＋)， g(θ)＝＝sin θ－cos θ＝sin(θ－)， 对于A，f()＋g()＝sin＋cos＋sin－cos＝1，故A正确； 对于B，f(θ)＋[f(θ)]2＝sin θ＋cos θ＋(sin θ＋cos θ)2，令t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)∈[－，]， 所以f(θ)＋[f(θ)]2＝t＋t2＝(t＋)2－≥－，故B错误； 对于C，＝＝＝2，解得tan θ＝3，又由sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝，故C正确； 对于D，f(θ)g(θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin2θ－cos2θ＝－cos 2θ，因为y＝－cos 2θ为周期函数，故D正确．故选ACD. 12解析：因为角α的终边经过点P(－3，4)，所以tan α＝＝－. 则＝ ＝3tan α－1＝3×(－)－1＝－5. 答案：－5 13解析：设方程x2－4xcos θ＋2＝0的两根为a，b，则a＋b＝4cos θ，ab＝2， 又方程2x2＋4xsin θ＋1＝0的两根为，，则＋＝－2sin θ， 所以＋＝＝＝－2sin θ，即tan θ＝－， 所以θ＝－＋kπ(k∈Z)． 答案：－＋kπ(k∈Z) 14解析：由f(x)＝2sin(ωx＋φ)－＝0可得ωx＋φ＝＋2k1π，k1∈Z或ωx＋φ＝＋2k1π，k1∈Z. 根据正弦函数图象性质可知|x1－x2|min＝(－)＝，解得ω＝2， 故f(x)＝2sin(2x＋φ)－， 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后可得f(x＋)＝2sin[2(x＋)＋φ]－＝2sin(2x＋＋φ)－为偶函数， 则＋φ＝＋k2π，k2∈Z，又|φ|<可得φ＝－， 因此f(x)＝2sin(2x－)－， 当x∈(，θ)时，可知2x－∈(，2θ－)，若函数f(x)在(，θ)内恰有2个最值点，可知<2θ－≤，解得<θ≤，所以实数θ的取值范围为(，]． 答案：(，] 15解：(1)由≤α≤得≤2α≤π， 因为sin 2α＝，则cos 2α＝－＝－＝－. (2)由≤α≤，π≤β≤知≤α＋β≤2π，因为cos(α＋β)＝－， 则sin(α＋β)＝－ ＝－＝－， 由sin(β－α)＝sin[(α＋β)－2α]＝sin(α＋β)·cos 2α－cos(α＋β)sin 2α ＝－×(－)－(－)×＝， 又≤β－α≤，故β－α＝. 16解：(1)因为－1≤sin(2x＋)≤1， 所以－3≤3sin(2x＋)≤3， 所以－2≤3sin(2x＋)＋1≤4， 则f(x)的最大值为4. 此时2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 解得x＝kπ＋(k∈Z)． 故当f(x)取得最大值时，对应的x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}． (2)由－≤x≤，得≤2x＋≤.列表如下： x － 2x＋ π 2π f(x) 4 1 －2 1 17解：(1)因为f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2 ＝sin 2x＋cos 2x＋3 ＝2sin(2x＋)＋3， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋)＋3，那么将f(x)图象上各点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin x＋3. 当x∈[－，]时，sin x∈[－，]，g(x)∈[2，3＋]， 由方程g(x)＝m有解，可得实数m的取值范围为[2，3＋]． 18解：(1)由题图可知，A＝1，因为f(0)＝sin φ＝－，又|φ|≤π，所以φ＝－， 所以f(x)＝sin(ωx－)， 又ω×－＝＋2kπ，k∈Z， 所以ω＝2＋6k，k∈Z，由0<ω≤6得ω＝2， 所以f(x)＝sin(2x－)． (2)因为f(α)＝sin(2α－)＝，所以cos(4α－)＝1－2×()2＝－， 又α∈(，)，所以4α－∈(π，)，所以sin(4α－) ＝－＝－， 所以f(2α)＝sin(4α－)＝sin[(4α－)＋] ＝sin(4α－)cos＋cos(4α－)sin ＝－×＋(－)×＝－. (3)令t＝2x－，则当x∈[，π]时，t∈[，]， 易知函数y＝sin t在[，]上单调递减，在[，]上单调递增，又sin()＝，sin()＝－1，sin()＝－， 因为方程f(x)＝a在[，π]上有两个不同的实根x1，x2， 所以y＝sin t，t∈[，]的图象与直线y＝a有两个不同的交点，设交点的横坐标分别为t1，t2，且t1<t2，如图： 由图知－1<a≤－， 由正弦函数的对称性可知＝， 所以t1＋t2＝2x1－＋2x2－＝3π， 所以x1＋x2＝， 又≤t1＝2x1－<，所以≤x1<， 所以2x1＋x2＝x1＋x1＋x2 ＝x1＋∈[，)． 19解：(1)f1(x)不具有性质T，f2(x)具有性质T，理由如下： ①假设f1(x)具有性质T，即存在正数T，使得2(x＋T)－1＝T(2x－1)恒成立， 则(2T－2)x＝3T－1对∀x∈R恒成立，则此时无解，故假设不成立， 所以f1(x)不具有性质T. ②取T＝1>0，则f2(x＋1)＝cos[2π(x＋1)＋1]＝cos(2πx＋1)＝f2(x)， 即f2(x＋T)＝Tf2(x)对∀x∈R恒成立， 所以f2(x)具有性质T. (2)因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)具有性质T， 所以存在正数T，使得∀x∈R都有 sin[ω(x＋T)＋φ]＝Tsin(ωx＋φ)恒成立， 令t＝ωx＋φ，则sin(t＋ωT)＝Tsin t对∀t∈R恒成立，若T>1，取t＝， 则sin(＋ωT)＝T>1，矛盾， 若0<T<1，取t＝－ωT， 则sin＝Tsin(－ωT)， 即sin(－ωT)＝>1，矛盾，所以T＝1， 则当且仅当ω＝2kπ，k∈Z时，sin(t＋ω)＝sin t对∀t∈R恒成立， 因为ω>0，所以ω≥2π， 所以ω的最小值为2π. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修一第五章三角函数模块综合检测 (时间：120分钟，满分：150分) 班级 姓名 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．－2 024°角的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知cos(＋x)＝，则sin(－x)＝(　　) A．－ B. C. D．－ 3．设函数f(x)＝2cos(x－)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D. 4．已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 5．据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y(单位：辆)与时间t(单位：h)满足如下函数关系式：y＝Asin(t－π)＋300(A为常数，6≤t≤18)．已知早上8：30(即t＝8.5 h)时的车流量为500辆，则下午15：30(即t＝15.5 h)时的车流量约为(参考数据：≈1.41，≈1.73)(　　) A．441辆 B．159辆 C．473辆 D．127辆 6．已知α，β是函数f(x)＝3sin(2x＋)－2在(0，)上的两个零点，则cos(α－β)＝(　　) A. B. C. D. 7．若函数f(x)＝2sin2(－)＋sin(ωx＋)－2(ω>0)在[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围为(　　) A．[，) B．(，] C．[，) D．(，] 8．如图，角α，β(0<α<β<π)的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中错误的是(　　) A．N点的坐标为(cos，sin) B．|OM|＝cos C.(cos α＋cos β)＝coscos D．若α＋β的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则|CT|<|AR|＋|BS| 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是(　　) A．－120°化成弧度是－π rad B. rad化成角度是18° C．1°化成弧度是180 rad D．－330°与750°的终边相同 10．计算下列各式的值，其结果为2的有(　　) A．tan 15°＋tan 60° B.(－) C．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°) D．4sin 18°sin 54° 11．在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|＝m(m≠0)，定义f(θ)＝，g(θ)＝，则(　　) A．f()＋g()＝1 B．f(θ)＋[f(θ)]2≥0 C．若＝2，则sin 2θ＝ D．f(θ)g(θ)是周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则＝ ________． 13．定义：关于x的两个不等式f(x)<0，g(x)<0的解集分别为(a，b)和(，)，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式x2－4xcos θ＋2<0与不等式2x2＋4xsin θ＋1<0为对偶不等式，则θ＝________． 14．已知x1，x2是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－(ω>0，|φ|<)的两个零点，且|x1－x2|min＝，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(，θ)内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－.求： (1)cos 2α的值； (2)角β－α的值． 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝3sin(2x＋)＋1. (1)求f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的取值集合； (2)用“五点法”画出f(x)在[－，]上的图象． 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，当x∈[－，]时，方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围． 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<ω≤6，|φ|≤π)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； (2)已知α∈(，)，f(α)＝，求f(2α)的值； (3)若关于x的方程f(x)＝a在[，π]上有两个不同的实根x1，x2，且x1<x2，求2x1＋x2的取值范围． 19．(本小题满分17分)已知非常数函数f(x)的定义域为R，如果存在正数T，使得∀x∈R，都有f(x＋T)＝Tf(x)恒成立，则称函数f(x)具有性质T. (1)判断下列函数是否具有性质T？并说明理由； ①f1(x)＝2x－1；②f2(x)＝cos(2πx＋1)． (2)若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)具有性质T，求ω的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$