7.3《定义、命题、定理》复习巩固练习（1） 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第七章《相交线与平行线》 3. 定义、的、命题、定理 复习巩固练习（1） 时间120分钟 满分120分 一、单选题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等 2．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞0”是假命题的a的值是（　　） A．a＝﹣3 B．a＝﹣1 C．a＝0 D．a＝2 3．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a D．a＝0 4．如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那么∠F等于（　　） A．28° B．63° C．37° D．60° 5．如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝107°，则∠B的度数为（　　） A．63° B．73° C．83° D．107° 6．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝62°，则∠MBA的大小为（　　） A．42° B．38° C．32° D．28° 7．以下四个例子中，不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（　　） A．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60° B．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50° 8．为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知BC∥DE，∠ADE＝80°，∠ABC＝110°，则∠A的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 9．“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（　　） A．两个角互为邻补角 B．α＝90°，α的补角β＝90°，β＝α C．α＝120°，α的补角β＝60°，β＜α D．α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α 10．下列说法中不正确的个数是（　　）个． ①和等于180°的两个角互为邻补角；②内错角相等，两直线平行；③线段AC＝BC，则点C为线段AB的中点；④一个锐角的余角一定小于这个角的补角；⑤若两条直线被第三条直线所截，则同位角相等； ⑥相等的角是对顶角． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是 　 　． 12．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　 　． 13．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　． 14．要说明命题“若a+b＞0，则a＞0，b＞0”是假命题，则a＝ 　 　，b＝ 　 　． 15．已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　 　（填一个你认为正确的条件即可） 16．数学上往往是先有猜想，猜想被证明正确后便成为定理．黎曼猜想（也称黎曼假设）是100多年前由德国著名数学家黎曼提出的，它是世界上最重要的数学猜想之一．有大约1000个数学命题，一旦黎曼猜想得到证明，它们就必然成立．黎曼猜想与物理学、密码学也有深刻的联系．黎曼猜想与以下数学式有关：1 当s＝1时，上式就是所有正整数的倒数的和1（*） 随着n的无限增加，（*）式中的第n项将无限接近于0，那么（*）式的值会比10大吗？会比10000大吗？ 自然的感觉是“聚沙成塔”、“积少成多”，即设法把很多小小的项累加起来变大，下面是实现这个想法的一种组合法： 1（）+（）+（） ＞1（）+（）+（） 用这种方法可以判定（*）式中： （1）从第一项1开始，一共 　 　项的和就可以大于3； （2）从第一项1开始，一共 　 　项的和就可以大于6． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． （1）两个锐角的和是锐角； （2）邻补角是互补的角； （3）同旁内角互补． 18．对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“⊕”：a⊕b＝a﹣b+ab． 例如，2⊕5＝2﹣5+2×5＝7． （1）求3⊕（﹣1）的值； （2）若（﹣4）⊕x＝6，求x的值； （3）试探究这种特别的运算“⊕”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明． 19．如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b． 20．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E．填空： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+①　 　＝180°． ∵AE平分∠BAC． ∴②　 　． ∵CE平分∠ACD． ∴③　 　． ∴∠1+∠2＝④　 　°． ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝⑤　 　°． ∴AE⑥　 　CE． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦　 　． 21．如图，点D，B，C在同一条直线上，AB＝BC，BE平分∠ABD．求证：BE∥AC． 22．已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．求证：AB∥CD． 23．如图，直线AB、CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1+∠2＝90°，且∠1：∠3＝1：8．（注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC） （1）求∠AOF的度数； （2）求证：AB∥EF． 24．如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数． 25．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）操作判断 若∠DCB＝55°，则∠ACE＝ 　 　；若∠ACE＝158°，则∠DCB＝ 　 　； （2）性质探究 由（1）猜想∠ACE与∠DCB的数量关系，并证明你的猜想； （3）拓展应用 当∠BCE＜180°且点B在直线CE的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出∠BCE所有可能的度数（不必说明理由）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A B D A B C B 二、填空题（本大题共 6 小题，总分 18 分） 11．同位角相等． 12．如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 13．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 14．2，﹣1 （答案不唯一）． 15．∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）． 16．1024． 三、解答题（本大题共 9 小题，总分 72 分） 17．解：（1）假命题．反例为：40°与 60°的和为 100°； （2）真命题； （3）假命题．反例为：如图，∠1+∠2＜180°． 18．解：（1）3⊕（﹣1）＝3﹣（﹣1）+3×（﹣1）＝3+1﹣3＝1； （2）（﹣4）⊕x＝6， 则﹣4﹣x﹣4x＝6， 解得：x＝﹣2； （3）这种特别的运算“⊕”不具有交换律， 例如：2⊕5＝2﹣5+2×5＝7，5⊕2＝5﹣2+5×2＝13， ∴2⊕5≠2⊕5， ∴这种特别的运算“⊕”不具有交换律． 19．证明：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角， 第 2页（共 4页） ∴∠4＝∠3+∠2＝75°， 又∵∠1＝75°， ∴∠1＝∠4， ∴a∥b． 20．解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠1= 12∠BAC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠2= 12∠ACD， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠E＝180°﹣∠1﹣∠2＝90°， ∴AE⊥CE， 用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角 的平分线互相垂直． 故答案为：∠ACD；∠BAC；∠ACD；90；90；⊥；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平 分线互相垂直． 21．证明：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵∠A+∠C+∠ABC＝180°＝∠ABC+∠ABE+∠DBE， ∴∠A＝∠ABE， ∴BE∥AC． 22．证明：∵GH⊥CD，（已知） 第 3页（共 4页） ∴∠CHG＝90°．（垂直定义） 又∵∠2＝30°，（已知） ∴∠3＝60°． ∴∠4＝60°．（对顶角相等） 又∵∠1＝60°，（已知） ∴∠1＝∠4． ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． 23．（1）解：∵OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD， ∴∠1＝∠EOD= 12 ∠AOD，∠FOD= 1 2 ∠BOD， ∵∠AOB＝180°， ∴∠EOD+∠FOD= 12 ∠AOB＝90°， ∵∠1：∠3＝1：8， ∴设∠1＝α，∠3＝8α， ∴α+α+8α＝180°， ∴α＝18°， ∴∠1＝18°， ∴∠AOF＝18°+90°＝108°； （2）证明：∵∠EOF＝90°， ∴∠2+∠E＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠E， ∴AB∥EF． 24．（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠C＝∠A， ∵∠1＝∠A， ∴∠1＝∠C， ∴FE∥OC； （2）解：∵FE∥OC， ∴∠FOC+∠OFE＝180°， 第 4页（共 4页） ∵∠FOC+∠BOC＝180°，∠DFE+∠OFE＝180°， ∴∠BOC+∠DFE＝180°， ∵∠BOC﹣∠DFE＝20°， ∴∠BOC+∠DFE＝180°， 解得：∠DFE＝80°， ∴∠OFE＝100°． 25．解：（1）∵∠DCB＝55°，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝35°， ∵∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°+35°＝125°； ∵∠ACD＝∠ACE﹣90°＝158°﹣90°＝68°， ∠DCB＝90°﹣68°＝22°． 故答案为：125°，22°． （2）猜想：∠ACE+∠DCB＝180°． 理由如下：∵∠ACD＝90°﹣∠DCB， 又∵∠BCE＝90°﹣∠DCB， ∴∠ACE＝∠ACD+∠BCE+∠DCB ＝90°﹣∠DCB+90°﹣∠DCB+∠DCB ＝180°﹣∠DCB， 即∠ACE+∠DCB＝180°． （3）存在，30°、45°、120°、135°、165°． 理由：当 CB∥DE时，∠BCE＝120°； 当 AC∥DE时，∠BCE＝30°； 当 AB∥DE时，∠BCE＝165°； 当 AB∥CD时，∠BCE＝135°； 当 AB∥CE时，∠BCE＝45°。