5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象与性质的应用 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 新知学习 探究 根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑： (1)根据最大值或最小值求出A的值． (2)根据最小正周期求出ω的值． (3)求φ的常用方法如下：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法，确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．　 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 √ √ √ 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 关于函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的解题策略 (1)验证法：直线x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间，此法适合选择题． (2)换元法：通过诱导公式、三角恒等变换及函数图象间的变换关系，得到所求函数的解析式，一般要化成一角一函数的形式，如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) .采取“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令z＝ωx＋φ，即通过y＝Asin z或y＝Acos z的性质，来研究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) 的性质．　 解题技巧 新知学习 探究 √ 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 新知学习 探究 (1)求S(t)的解析式； 新知学习 探究 (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长． 新知学习 探究 匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数的形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值要明确，半径决定了A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系．　 解题技巧 新知学习 探究 √ 新知学习 探究 新知学习 探究 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 课堂巩固 自测 √ √ 课堂巩固 自测 课堂巩固 自测 课堂巩固 自测 课堂巩固 自测 4．(教材P241T6改编)记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A.已知分针长OA＝5 cm，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动．若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，求点A到x轴的距离y(单位：cm)与时间t(单位：min)的函数解析式． 课堂巩固 自测 课堂巩固 自测 1．已学习：由图象求三角函数的解析式；函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用． 2．须贯通：涉及三角函数的图象与性质的综合问题，一般先要利用诱导公式、三角恒等变换及函数图象间的变换关系把三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后将ωx＋φ看作一个整体，借助正弦函数的性质解决问题． 3．应注意：(1)用代入法求参数φ时，一般代入最值点； (2)求函数最值时，应从函数定义域入手，实际问题中还应考虑自变量的实际意义．　 课堂巩固 自测 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.能根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．　2.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题． eq \a\vs4\al(一　由图象求三角函数的解析式) 　已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象的一部分如图所示，求函数f(x)的解析式． 【解】　由题图可得A＝2，eq \f(T,4)＝2， 即T＝8＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(π,4)， 可得f(x)＝2sin(eq \f(π,4)x＋φ)， 又因为f(－1)＝2，即eq \f(π,4)×(－1)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可得φ＝eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z， 又由0<φ<π，所以φ＝eq \f(3π,4)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(eq \f(π,4)x＋eq \f(3π,4))． 解析：由已知可得，eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)－eq \f(π,12)＝eq \f(π,4)，所以T＝π，所以ω＝eq \f(2π,T)＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)． 又因为f(x)在x＝eq \f(π,3)处取得最大值，所以有2×eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， [跟踪训练1] 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则f(eq \f(5π,4))＝________． eq \f(\r(3),2) 所以φ＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z. 又因为|φ|<eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,6)， 所以f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))，所以f(eq \f(5π,4))＝sin(2×eq \f(5π,4)－eq \f(π,6))＝sin eq \f(7π,3)＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2). 二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 　(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,3))，则下列命题正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点(eq \f(5π,3)，0)对称 B．函数f(x)的最小正周期为2π C．f(x)在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(π,3)]上单调递增 D．将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到的函数为 g(x)＝－2cos x 函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故B错误； 【解析】　由于f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,3))，所以f(eq \f(5π,3))＝2sin(2×eq \f(5π,3)－eq \f(π,3))＝2sin 3π＝0，故f(x)的图象关于点(eq \f(5π,3)，0)对称，A正确； 将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin(x－eq \f(π,3))，再把图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到的函数为g(x)＝2sin(x－eq \f(π,3)－eq \f(π,6))＝ －2cos x，D正确．故选ACD. 当x∈[－eq \f(π,12)，eq \f(π,3)]时，2x－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,3)]⊆[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，故C正确； (2)已知函数f(x)＝2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象上的所有点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，则y＝g(x)在[eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]上的值域为________． [eq \f(1,2)，2] 【解析】　f(x)＝cos 2ωx＋1，eq \f(2π,2ω)＝π，ω＝1，f(x)＝cos 2x＋1，将函数y＝f(x)的图象上的所有点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝cos[2(x－eq \f(π,6))]＋1＝cos(2x－eq \f(π,3))＋1，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变， 得到g(x)＝cos(4x－eq \f(π,3))＋1， 因为x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]， 所以4x－eq \f(π,3)∈[0，eq \f(2π,3)]， 所以cos(4x－eq \f(π,3))∈[－eq \f(1,2)，1]，所以y＝g(x)在[eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]上的值域为[eq \f(1,2)，2]． [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,4))(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，且关于点(eq \f(π,12)，0)对称，则ω的值可能是(　　) A．5 B．9 C．13 D．15 解析：函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,4))(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，且关于点(eq \f(π,12)，0)对称，则有eq \f(ωπ,4)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)且eq \f(ωπ,12)＋eq \f(π,4)＝mπ(m∈Z)，解得ω＝1＋4k(k∈Z)且ω＝12m－3(m∈Z)， 选项中只有ω＝9符合条件．故选B. 解析：f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cos ωx＝2sin(ωx＋eq \f(π,3))，令t＝ωx＋eq \f(π,3)， 因为0≤x≤π，所以eq \f(π,3)≤t≤ωπ＋eq \f(π,3)，作出函数y＝2sin t的图象． (2)已知函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cos ωx(ω>0)，若在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实数x1，x2，满足f(x1)＋f(x2)＝4，则ω的取值范围为________． [eq \f(13,6)，eq \f(25,6)) 要使在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实数x1，x2，满足f(x1)＋f(x2)＝4， 即使y＝2sin t在区间[eq \f(π,3)，ωπ＋eq \f(π,3)]上必须恰好出现两个最大值． 由图知，eq \f(5π,2)≤ωπ＋eq \f(π,3)<eq \f(9π,2)，解得eq \f(13,6)≤ω<eq \f(25,6)，故ω的取值范围为[eq \f(13,6)，eq \f(25,6))． eq \a\vs4\al(三　匀速圆周运动的数学模型) 　近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为eq \f(2π,3)，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米)．设点P转动t(单位：秒)后离地面的距离为S(单位：米)，则S关于t的函数关系式为S(t)＝Asin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)． 【解】　如图，建立平面直角坐标系，当t＝0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0，60)，由题意得，ω＝eq \f(2π,5)， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋B＝100＋40，,－A＋B＝100－40，,S（0）＝Asin φ＋B＝60，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝40，,B＝100，,φ＝－\f(π,2)，)) 所以S(t)＝40sin(eq \f(2π,5)t－eq \f(π,2))＋100. 【解】　令S(t)≥80，则S(t)＝40sin(eq \f(2π,5)t－eq \f(π,2))＋100≥80，即coseq \f(2π,5)t≤eq \f(1,2)， 所以2kπ＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,5)t≤2kπ＋eq \f(5π,3)(k∈Z)，解得eq \f(5,6)＋5k≤t≤eq \f(25,6)＋5k(k∈Z)． 当k＝0时，eq \f(5,6)≤t≤eq \f(25,6)，eq \f(25,6)－eq \f(5,6)＝eq \f(10,3)， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为eq \f(10,3) 秒． [跟踪训练3] 如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系可以表示为(　　) A．d＝4sin(eq \f(πt,20)－eq \f(π,6))＋2 B．d＝4sin(eq \f(πt,20)＋eq \f(π,6))＋2 C．d＝4sin(eq \f(πt,10)－eq \f(π,6))＋2 D．d＝4sin(eq \f(πt,10)＋eq \f(π,6))＋2 解析：设d＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2))， 由题意可知，dmax＝A＋b＝6，dmin＝b－A＝－2，解得A＝4，b＝2， 函数d＝4sin (ωt＋φ)＋2(A>0，ω>0，－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2))的最小正周期为T＝eq \f(60,1.5)＝40，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,40)＝eq \f(π,20)，当t＝0时，d＝4sin φ＋2＝0，可得sin φ＝－eq \f(1,2)， 又因为－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2)，则φ＝－eq \f(π,6)，故d＝4sin(eq \f(πt,20)－eq \f(π,6))＋2.故选A. 1．(教材P241T4改编)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)) B．f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3)) C．f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6)) D．f(x)＝sin(4x＋eq \f(π,6)) 解析：根据图象知A＝1，eq \f(3,4)T＝eq \f(11π,12)－eq \f(π,6)＝eq \f(3π,4)，所以T＝eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2， 将点(eq \f(π,6)，1)代入f(x)＝sin (2x＋φ)， 得sin(2×eq \f(π,6)＋φ)＝1，所以eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又|φ|<eq \f(π,2)，则φ＝eq \f(π,6)， 所以f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6))．故选C. 2．(多选)已知函数f(x)的图象是由函数y＝2sin x·cos x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到的，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在区间[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上单调递增 C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称 D．f(x)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)对称 令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以单调递增区间为[－eq \f(π,12)＋kπ，eq \f(5π,12)＋kπ]，k∈Z，故B选项错误； 解析：因为y＝2sin xcos x＝sin 2x，向右平移eq \f(π,6)个单位长度得f(x)＝sin 2(x－eq \f(π,6))＝sin(2x－eq \f(π,3))，则最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，故A选项正确； 令2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，故C选项错误； 令2x－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为(eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，0)，k∈Z，故D选项正确．故选AD. 3．函数f(x)＝1－2sin2x＋2eq \r(3)sin xcos x在[0，m]上的最大值为2，则实数m的最小值为________．　 解析：函数f(x)＝1－2sin2x＋2eq \r(3)sin x·cos x＝cos 2x＋eq \r(3)sin 2x＝2sin(2x＋eq \f(π,6))， 因为函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，所以2m＋eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，解得m≥eq \f(π,6)，所以实数m的最小值为eq \f(π,6). eq \f(π,6) 解：由题意得分针每分钟转eq \f(2π,60)＝eq \f(π,30) rad，则t min后转了eq \f(π,30)t rad， 则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为y＝5eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin（－\f(π,30)t＋φ）))，当t＝0时，点A在时钟的12点处，此时y＝5， 所以5＝5eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin（－\f(π,30)×0＋φ）))⇔|sin φ|＝1，所以可以取φ＝eq \f(π,2)，此时y＝5eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,30)t)). $$