5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第3课时 二倍角的正弦、 余弦、正切公式 ‹#› 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客,每逢佳节倍思亲”,一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情,这里的“倍”何止二倍、三倍,更是百倍、千倍,就像我们期待自己的成绩加倍提高一样,今天,就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 思考1 请写出两角和的正弦、余弦、正切公式. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 思考2 当 = 时,你能写出sin 2 ,cos 2 ,tan 2 的表达式吗? ‹#› 新知学习 探究 返回导航 2sin cos cos2 -sin2 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 求下列各式的值: (1)cos222.5 -sin222.5 ; (2)1-sin215 ; ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (4)cos 20 cos 40 cos 80 . ‹#› 新知学习 探究 返回导航 有关二倍角给角求值问题的策略 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对原式进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,可利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 求下列各式的值: (1)2cos222.5 -1; ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 (2)已知tan ( + )=5,tan ( - )=2,则tan 4 =_. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 有关二倍角给值求值问题的策略 (1)解决此类问题有两种方法,一是对题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;二是对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 在解决具体问题时,要结合之前所学的所有的公式,灵活运用,融会贯通,要注意题目中的隐含条件,要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中,最多只有一个直角或钝角,正弦值均为正,余弦和正切值并不一定为正. ‹#› 新知学习 探究 返回导航 √ ‹#› 新知学习 探究 返回导航 ‹#› 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 (2)求证:3+cos 4 -4cos 2 =8sin4 . 证明:左边=3+2cos22 -1-4(1-2sin2 )=3+2(1-2sin2 )2-5+8sin2 =-2+2(1+4sin4 -4sin2 )+8sin2 =8sin4 =右边. ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 ‹#› 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 提示:sin ( + )=sin cos +cos sin ; cos ( + )=cos cos -sin sin ; tan ( + )=eq \f(tan +tan ,1-tan tan ). 提示:sin 2 =sin ( + )=sin cos +cos sin =2sin cos ; cos 2 =cos ( + )=cos cos -sin sin =cos2 -sin2 ; tan 2 =tan ( + )=eq \f(2tan ,1-tan2 ). eq \a\vs4\al(一 二倍角的正弦、余弦、正切公式) 1.二倍角公式 记法 公式 S2 sin 2 =eq \o( ,\s\up1(1))_ C2 cos 2 =eq \o( ,\s\up1(2))_ T2 tan 2 =eq \f(2tan ,1-tan2 ) 点拨 二倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6 是3 的2倍,3 是eq \f(3 ,2)的2倍,这就是说,“倍”是相对而言的,用于描述两个数量之间的关系. 2.二倍角公式的变形 (1)逆用 2sin cos =sin 2 ,2cos2 -1=cos 2 ,1-2sin2 =cos 2 . (2)变形 ①cos2 =eq \f(1+cos 2 ,2),sin2 =eq \f(1-cos 2 ,2); ②1+cos 2 =2cos2 ,1-cos 2 =2sin2 . 【解】 原式=tan 150 =-tan 30 =-eq \f(\r(3),3). 【解】 原式=cos(2 22.5 )=cos 45 =eq \f(\r(2),2). 【解】 原式=1-eq \f(1-cos 30 ,2)=eq \f(1,2)+eq \f(1,2)cos 30 =eq \f(\r(3)+2,4). (3)eq \f(2tan 75 ,1-tan275 ); 【解】 原式=eq \f(2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 ,2sin 20 ) =eq \f(2sin 40 cos 40 cos 80 ,4sin 20 )=eq \f(2sin 80 cos 80 ,8sin 20 ) =eq \f(sin 160 ,8sin 20 )=eq \f(sin 20 ,8sin 20 )=eq \f(1,8). 解:原式=cos 45 =eq \f(\r(2),2). (2)cos4eq \f( ,12)-sin4eq \f( ,12); 解:原式=(cos2eq \f( ,12)-sin2eq \f( ,12))(cos2eq \f( ,12)+sin2eq \f( ,12))=cos2eq \f( ,12)-sin2eq \f( ,12)=cos eq \f( ,6)=eq \f(\r(3),2). 解:原式=eq \f(\r(2),2) 2sin eq \f( ,32)cos eq \f( ,32)cos eq \f( ,16)cos eq \f( ,8) =eq \f(\r(2),2)sin eq \f( ,16)cos eq \f( ,16)cos eq \f( ,8) =eq \f(\r(2),4) 2sin eq \f( ,16)cos eq \f( ,16)cos eq \f( ,8) =eq \f(\r(2),4)sin eq \f( ,8)cos eq \f( ,8)=eq \f(\r(2),8) 2sin eq \f( ,8)cos eq \f( ,8) =eq \f(\r(2),8)sin eq \f( ,4)=eq \f(\r(2),8) eq \f(\r(2),2)=eq \f(1,8). (3)eq \r(2)sin eq \f( ,32)cos eq \f( ,32)cos eq \f( ,16)cos eq \f( ,8); 解:原式=eq \f(tan 12 -tan 60 ,sin 6 cos 6 )+16(2cos212 -1)+16=eq \f(\f(sin 12 ,cos 12 )-\f(sin 60 ,cos 60 ),\f(1,2)sin 12 )+ 16cos 24 +16 =eq \f(sin 12 cos 60 -cos 12 sin 60 ,\f(1,2)sin 12 cos 12 cos 60 )+16cos 24 +16=eq \f(sin(12 -60 ),\f(1,8)sin 24 )+ 16cos 24 +16 =eq \f(-2sin 24 cos 24 ,\f(1,8)sin 24 )+16cos 24 +16=16. (4)eq \f(tan 12 -\r(3),sin 6 sin 84 )+32cos212 . eq \a\vs4\al(二 给值求值) (1)若cos (2 -eq \f( ,4))=eq \f(1,3),则sin 4 =( ) A.-eq \f(5,9) B.eq \f(5,9) C.-eq \f(7,9) D.eq \f(7,9) 【解析】 由cos (2 -eq \f( ,4))=eq \f(1,3)可得cos (4 -eq \f( ,2))=2cos2(2 -eq \f( ,4))-1=-eq \f(7,9), 故sin 4 =cos (4 -eq \f( ,2))=-eq \f(7,9).故选C. 【解析】 tan 2 =tan [( + )-( - )]=eq \f(tan ( + )-tan ( - ),1+tan ( + )tan ( - ))=eq \f(5-2,1+5 2)=eq \f(3,11), 故tan 4 =eq \f(2tan 2 ,1-tan22 )=eq \f(\f(6,11),1-(\f(3,11))2)=eq \f(33,56). eq \f(33,56) (2)注意几种公式的灵活应用,如: ①sin 2x=cos (eq \f( ,2)-2x)=cos[2(eq \f( ,4)-x)]=2cos2(eq \f( ,4)-x)-1=1-2sin2(eq \f( ,4)-x); ②cos 2x=sin (eq \f( ,2)-2x)=sin[2(eq \f( ,4)-x)]=2sin (eq \f( ,4)-x)cos (eq \f( ,4)-x). 解析:由题意(cos -sin )2=1-2sin cos =(eq \f(1,4))2=eq \f(1,16), 所以sin 2 =eq \f(15,16),cos 4 =1-2sin22 =1-2 (eq \f(15,16))2=-eq \f(97,128).故选A. [跟踪训练2] (1)已知cos -sin =eq \f(1,4),则cos 4 =( ) A.-eq \f(97,128) B.-eq \f(15,16) C.-eq \f(97,256) D.-eq \f(95,256) eq \f(4,5) (2)已知角 满足tan ( -eq \f( ,4))=eq \f(1,3),则sin 2 =_. 解析:因为tan ( -eq \f( ,4))=eq \f(1,3), 即tan ( -eq \f( ,4))=eq \f(tan -tan \f( ,4),1+tan tan \f( ,4))=eq \f(1,3), 解得tan =2, 所以sin 2 =2sin cos =eq \f(2sin cos ,sin2 +cos2 )=eq \f(2tan ,tan2 +1)=eq \f(2 2,22+1)=eq \f(4,5). 【解】 由eq \f( ,4)< <eq \f( ,2), cos >0,得sin -cos >0,sin +cos >0, 所以eq \r(2+2cos 2 )+eq \r(1-sin 2 )-eq \r(1+sin 2 ) eq \a\vs4\al(三 化简与证明) (1)已知eq \f( ,4)< <eq \f( ,2),化简eq \r(2+2cos 2 )+eq \r(1-sin 2 )-eq \r(1+sin 2 ). =eq \r(2(1+cos 2 ))+eq \r(1-2sin cos )-eq \r(1+2sin cos ) =eq \r(4cos2 )+eq \r((sin -cos )2)- eq \r((sin +cos )2) =2cos +sin -cos -sin -cos =0. 证明:eq \f(1-cos +sin ,1+cos +sin ) =eq \f(2sin2\f( ,2)+2sin \f( ,2)cos \f( ,2),2cos2\f( ,2)+2sin \f( ,2)cos \f( ,2)) =eq \f(2sin \f( ,2)(sin \f( ,2)+cos \f( ,2)),2cos \f( ,2)(cos \f( ,2)+sin \f( ,2)))=tan eq \f( ,2). (2)求证:eq \f(1-cos +sin ,1+cos +sin )=tan eq \f( ,2). 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化,异名化同名,异角化同角;②降幂或升幂;③一个重要结论:(sin cos )2=1 sin 2 . (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手,证明一边等于另一边;②比较法,左边-右边=0,eq \f(左边,右边)=1;③分析法,从要证明的等式出发,一步步寻找等式成立的条件. 解:因为eq \f(3 ,2)< <2 , 所以 eq \r(\f(1,2)+\f(1,2)cos 2 )=|cos |=cos , 又eq \f(3 ,4)<eq \f( ,2)< ,所以eq \r(\f(1,2)-\f(1,2)cos )=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f( ,2)))=sin eq \f( ,2), 所以原式=sin eq \f( ,2). [跟踪训练3] (1)化简: eq \r(\f(1,2)-\f(1,2) \r(\f(1,2)+\f(1,2)cos 2 ))( ∈(eq \f(3 ,2),2 )). 证明:由题意可得,sin4 +cos4 =(sin2 )2+(cos2 )2=(sin2 +cos2 )2-2sin2 cos2 =1-eq \f(1,2) (2sin cos )2=1-eq \f(1,2)sin22 . (2)证明:sin4 +cos4 =1-eq \f(1,2)sin22 . eq \a\vs4\al(四 倍角公式的综合运用) (对接教材例6)在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin2eq \f(B+C,2)=1+cos 2A. (1)求角A的大小; 【解】 由2sin2eq \f(B+C,2)=1+cos 2A,可得cos 2A+cos (B+C)=0, 即cos 2A-cos A=0,故2cos2A-cos A-1=0,解得cos A=-eq \f(1,2)或cos A=1, 又A∈(0, ),故cos A=-eq \f(1,2),A=eq \f(2 ,3). 【解】 由(1)可知,A=eq \f(2 ,3),sin A=eq \f(\r(3),2),则sin2A=2sin2B-2sin2C=(1- cos 2B)-(1-cos 2C)=cos 2C-cos 2B=eq \f(3,4), 所以cos 2C-cos 2B=eq \f(3,4). (对接教材例6)在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin2eq \f(B+C,2)=1+cos 2A. (2)若sin2A=2sin2B-2sin2C,求cos 2C-cos 2B的值. 解析:由题意eq \f(sin 2A,2)=eq \f(cos 2A,2),又2A∈(0, ),所以cos 2A=sin 2A>0,所以tan 2A=1,2A=eq \f( ,4),A=eq \f( ,8).故选B. [跟踪训练4] (1)在锐角三角形ABC中,若sin Acos A=cos2A-eq \f(1,2),则A=( ) A.eq \f( ,12) B.eq \f( ,8) C.eq \f( ,6) D.eq \f( ,4) 解析:设等腰三角形的底角为 ,则 ∈(0,eq \f( ,2)),故顶角为 -2 , 因为sin =eq \f(\r(5),3), 所以cos =eq \f(2,3), sin ( -2 )=sin 2 =2sin cos =2 eq \f(\r(5),3) eq \f(2,3)=eq \f(4\r(5),9). (2)已知等腰三角形底角的正弦值为eq \f(\r(5),3),则顶角的正弦值是_. eq \f(4\r(5),9) 解析:cos 2 =1-2sin2 =eq \f(1,4),所以sin2 =eq \f(3,8).故选D. 1.已知cos 2 =eq \f(1,4),则sin2 =( ) A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4) C.eq \f(5,8) D.eq \f(3,8) 2.(多选)(教材P223 T5改编)下列各式中值为1的是( ) A.sin 75 cos 75 B.cos215 -sin215 C.eq \f(\r(3),2)+2sin215 D.sin22 024+cos22 024 对于D,sin22 024+cos22 024=1,符合题意.故选CD. 解析:对于A,sin 75 cos 75 =eq \f(1,2)sin 150 =eq \f(1,4),不符合题意; 对于B,cos215 -sin215 =cos 30 =eq \f(\r(3),2),不符合题意; 对于C,eq \f(\r(3),2)+2sin215 =eq \f(\r(3),2)+1-cos 30 =eq \f(\r(3),2)+1-eq \f(\r(3),2)=1,符合题意; 解析:由sin =eq \f(3\r(10),10), 是第二象限角,可知cos =-eq \r(1-sin2 )=-eq \f(\r(10),10), 所以tan =eq \f(sin ,cos )=-3, 所以tan 2 =eq \f(2tan ,1-tan2 )=eq \f(-6,1-9)=eq \f(3,4). 3.(教材P223 T2改编)已知 是第二象限角,且sin =eq \f(3\r(10),10),则tan 2 =_. eq \f(3,4) 解:原式 =eq \f(cos 2 ,2tan (\f( ,4)- )cos2[\f( ,2)-(\f( ,4)+ )]) =eq \f(cos 2 ,2tan (\f( ,4)- )cos2(\f( ,4)- )) 4.化简与证明: (1)化简:eq \f(2cos2 -1,2tan (\f( ,4)- )sin2(\f( ,4)+ )); =eq \f(cos 2 ,2sin (\f( ,4)- )cos (\f( ,4)- )) =eq \f(cos 2 ,sin (\f( ,2)-2 ))=eq \f(cos 2 ,cos 2 )=1. 1.已学习:利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明. 2.须贯通:二倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如4 是2 倍角, 是eq \f( ,2)的倍角,在二倍角公式中,要特别关注二倍角的余弦公式及其变形. 3.应注意:化简求值开根号,易忽略角的范围;实际问题中隐含的条件. $$