广东省深圳市2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题

由“高考自主学习课堂”原创 试卷类型：A，2025.2 2025年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 本试卷共6页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处“。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合, ，则 A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则 A.1 B. C.2 D.4 3. 已知向量 若，则 A.-2 B.-1 C.1 D.2 4. 已知3,则 A. B. C.2 D.3 5. 已知函数f(x)的周期为2,且在(0,1)上单调递增，则f(x)可以是 A. B. C. D. 6. 已知双曲线E的中心为原点，焦点在X轴上，两条渐近线夹角为60°,且点(1,1)在E上，则E的离心率为 A. B. C.2 D. 或2 7. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 A. B. C.e D. 8. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4,杯底的半径为3,高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为r的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则 A. B. C.3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 一组样本数据, .其中, , ,求得其经验回归方程为：,残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据(），求得其经验回归方程为：,其残差为, 、分布如图所示，且, ，则 A.样本负相关 B. C. D.处理后的决定系数变大. 10. 已知函数,则 A.为周期函数 B.存在,使得的图象关于对称 C.在区间上单调递减 D.的最大值为2. 11. 已知,其中.点M,N分别满足 ，,其中，直线CM与直线DN交于点P,则 A.当时，直线CM与直线DN斜率乘积为 B.当时，存在点P,使得 C.当时，△PAC面积最大值为 D.若存在，使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中常数项是_____（用数字作答）． 13. 在等比数列中，已知,,则_____． 14. 某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣l分，每个人的基本分为10分．已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分）在 ABC中，角所对的边分别为,,. (1)求B; (2)若b=l，求 ABC的面积． 16. (15分）如图，在直三棱柱中，, D为的中点，E为的中点． (1)证明：平面; (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 17. (15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为,输的概率为,每局比赛的结果是独立的． (1)当P＝时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 18. (17分）已知抛物线,过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）． (1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程； (2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点,求的内切圆的圆心横坐标的取值范围． 19. (17分）已知无穷数列满足，为正整数，. (1)若，求; (2)证明：“存在使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列,使得恒成立？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由． 2025年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 由“高考自主学习课堂”原创 试卷类型：A，2025.2 2025年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 本试卷共6页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处“。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合, ，则 A. B. C. D. 说明：本题改编自人教 A 版必修第一册10页例1． 答案：C. 解：依题意，，∴ ,故选C。 2. 已知（为虚数单位），则 A.1 B. C.2 D.4 说明：本题改编自人教 A 版必修第二册71页例2． 答案：A. 解：依题意，,故选A。 3. 已知向量 若，则 A.-2 B.-1 C.1 D.2 说明：本题改编自人教 A 版必修第二册60页第8题． 答案：B. 解：依题意，，由可得： =0,解得，故选B。 4. 已知3,则 A. B. C.2 D.3 说明：本题改编自人教 A 版必修第一册229页第9题． 答案：C. 解：依题意，,变换可得，两边除得： 即，故选C。 5. 已知函数的周期为,且在上单调递增，则可以是 A. B. C. D. 说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第6题． 答案：B. 解：依题意，C、D周期为1，不合题意；A在上单调递减,不合题意，故选B。 6. 已知双曲线E的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为60°,且点(1,1)在E上，则E的离心率为 A. B. C. D. 或2 说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题． 答案：C. 解：已知点在双曲线E上，∴ ， ∴ 两条渐近线斜率应满足：， 已知两条渐近线夹角为60°，由直线夹角定义可知（如图）： 两条渐近线的倾斜角分为与,或与，即为（，舍去）， 把代入，解得；故选C。 7. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 A. B. C.e D. 说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第13题． 答案：B. 解一：（数形结合法 – 熟悉与互为反函数、切线不等式、的几何意义，可妙解） 依题意，, 由与互为反函数，以及切线不等式 、易知， 由与分别向右、向上平移后所得的与也互为反函数，且正好相切于(1,1)点， ∴此时应有，故选B。 解二：（通法）设该唯一公共点的横坐标为，则利用两曲线相切的性质可得： ，∴ ，可得即，代入(*)式： 0,代入(*)： 可得，故选B。(另外，也不难直接观察出增函数的唯一零点为) 8. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4,杯底的半径为3,高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为r的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则 A. B. C.3 D. 说明：本题改编自人教A版必修第二册119页例4． 答案：D. 解：依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积）： ，∴ ，∴ ，故选D。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 一组样本数据, .其中, , ,求得其经验回归方程为：,残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据(），求得其经验回归方程为：,其残差为, 、分布如图所示，且, ，则 A.样本负相关 B. C. D.处理后的决定系数变大. 说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第三册112页思考． 答案：ABD. 解：依题意，由经验回归方程的斜率可知样本负相关,故A正确； 由已知可得，，因经验回归方程过样本中心， ∴有,解得,故B正确； 由已知的、分布图可知，的集中度更高、拟合度更好，∴ 更小、决定系数更大，故C错误、D正确。故选ABD。 10. 已知函数,则 A.为周期函数 B.存在,使得的图象关于对称 C.在区间上单调递减 D.的最大值为2. 说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 250 页阅读与思考． 答案：AC. 解：依题意，显然、的周期的公倍数显然为的周期故A正确； 易知为中心对称函数，对称中心为；画出的一个最小正周期上的图像，如上图一，则该周期内的图象关于中心对称，所以只需分析上是否存在对称轴；而在上且为一一对应关系， ,0， ∴ 在上图象为非对称形图——类似3次函数的N形图，由三个零点分别为0、、可知其非中心对称，∴ N形图的两个极值点处不可能是对称轴 综上可知，不存在对称轴，故B错（参见下图二）； （上述论述复杂，可直接利用几何直观法快捷判定B选项：上图中，、均为轴对称与中心对称函数，但二者在一个周期内的对称轴未对齐而对称中心对齐、且各点的导数值（即切线斜率）不同，所以可知不可能是轴对称图形，故B错） 在区间上，而对称轴, ∴ ，∴ 在区间上单调递减，故C正确； 若的最大值为2，则，由上图一可知，二者显然不能同时取到1，故D错；故选AC。 11. 已知,其中.点M,N分别满足 ，,其中，直线CM与直线DN交于点P,则 A.当时，直线CM与直线DN斜率乘积为 B.当时，存在点P,使得 C.当时，△PAC面积最大值为 D.若存在，使得，则 说明：说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题． 答案：AD. 解：依题意，直接写出M点坐标、N点坐标， ∴ ，故A正确； 由（与无关），当时, 此时，如图， 因,而当时，恒成立，故B错； （关于C选项，先求P的轨迹） CM方程为,DN方程为, 联立解得的坐标值， ∴， 当时，P的轨迹为, 令平行于AC的直线方程为， 联立P的轨迹方程得：, 由，解得（舍负）, 又，AC的直线方程为 此时与AC的距离d为：, 此时△PAC面积最大，为：，故C错； （关于D选项） 由C可知P的轨迹为,则在上： , 即，显然时恒成立, 当时无解，不合题意； 当即时， 的对称轴为， ∴ ，不合题意； 当即或时， 的对称轴为，则应有（如下左图）：, 解得或，故D正确； 正确 错误 故选AD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中常数项是_____（用数字作答）． 说明：本题改编自人教A 版选择性必修第三册35 页第6 题． 答案：240. 解：依题意，由通项可得， ∴ ，解得 ∴ 所求常数项为：；故答案为240. 13. 在等比数列中，已知,,则_____． 说明：本题改编自人教A 版选择性必修第二册31 页第3 题． 答案：6. 解：依题意，，∴；又， 解得(舍负)，∴ 。故答案为6. 14. 某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣l分，每个人的基本分为10分．已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为________. 说明：本题改编自《趣味数学100 题》． 答案：14. 解一：（从相同分数入手）依题意，注意到赵孙李的均为14分，所以都是3对2错，而钱周为11分，所以都是3错2对； 先观察赵孙，如下图，两人的第1、3、4、5道题的作答相反，所以应各对两道，则两人作答相同的第2道的答案应为正确答案； 继续观察赵李，如下图，同理可知两人作答相同的第3道的答案应为正确答案； 继续观察钱周，如下图，显然两人的第2、3道作答错误，而两人第4、5道题的作答相反，所以应各错一道，所以第一道是正确答案； 回过来再观察赵，如下图，综上可知赵的第1、2、3道作答正确，所以第4、5道题的作答错误，所以吴的第1、4、5道作答正确，其余错误；故答案为14。 解二：（从整体入手——从横向作答情况来整体分析并找出规律。相对于解一，不易想到，规律也藏得更深些）依题意，(横向观察后)注意到赵钱孙李周五人的每道题的作答总有3人相同(对或错)而剩余两人则相反；而且，吴的作答总与那3人的作答相同(如下图)。所以： 当吴的任意一道题作答正确时，赵钱孙李周五人的该道题总得分比吴的得分多两分（即）； 当吴的任意一道题作答错误时，赵钱孙李周五人的该道题总得分也比吴的得分多两分（即）； 综上，无论吴的作答正确与否，每道题中赵钱孙李周五人的总得分总比吴的得分多两分，∴ 吴的得分为，故答案为14。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分）在ABC中，角所对的边分别为,,. (1)求B; (2)若b=l，求 ABC的面积． 16. (15分）如图，在直三棱柱中，, D为的中点，E为的中点． (1)证明：平面; (2)若,求直线与平面所成角的正弦值． 17. (15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为,输的概率为,每局比赛的结果是独立的． (1)当P＝时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 18. (17分）已知抛物线,过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）． (1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程； (2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点,求的内切圆的圆心横坐标的取值范围． 19. (17分）已知无穷数列满足，为正整数，. (1)若，求; (2)证明：“存在使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列,使得恒成立？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由． 2025年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$