专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（2023·重庆渝中·校考一模）如图，已知，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设与交于点．    ∵，∴．∴．故选：A． 例2．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）补全下列证明过程： 已知：如图，求证：． 证明：如图，作射线，使， （_______________）    又 （________________） （_________________） 即∴（_________________） 又 （__________________） 【答案】见解析 【详解】证明：如图，作射线，使，    （两直线平行内错角相等）， 又（已知），（等量代换）， 即，∴（内错角相等，两直线平行）， 又，（平行于同一直线的两直线平行）． 例3．（2024下·重庆·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①当时，根据同位角相等，两直线平行可得，故①符合题意； ②当时， ∵，∴，∴，故②符合题意； ③当时，无法判断，故③不符合题意； ④当时，无法判断，故④不符合题意； ⑤当时，根据内错角相等，两直线平行得，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，平分，，已知，则 度． 【答案】115 【详解】解：如图所示，连接，过点C作，∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴，即，故答案为：． 例5．（2023下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．    (1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系； ①______，②______，③______，④______．(2)请写出图③证明过程． 【答案】(1)；；；(2)见解析 【详解】（1）解：①；②； ③；④； （2）①如图①，过点作，则，，， ，．           ②如图②，过点作，则，，， ，． ③如图③，过点作，则，，， ，． ④如图④，过点作，则，，， ，． 例6．（2024下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．    (1)如图①，，，之间的数量关系为______；(2)如图②，求证：； (3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3)25° 【详解】（1）解：． 理由：过点作，如下图：∵，∴，          ∴，，∴； （2）证明：如图，过点作．∵，∴ ∵，，∴∴ ∵，∴． （3）解：的度数为， ∵，，如图：，∵，∴， ∵，的平分线交于点，∴，， ∴． 1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 2.（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，， ∴．故选：B 3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 4．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，．故选C． 5．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，， ，，故答案为：B． 6．（2023上·甘肃定西·七年级校考期末）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于F，    ∵，，∴， ∵，∴．故选B． 7．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故选：A． 8．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，    ，， ，，故选：C． 9．（2023·泸州·八年级校考阶段练习）如图，直线，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，    ∵，，∴， ∵，∴， 故选：B． 10．（2023上·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图所示，，，，则 ．    【答案】20 【详解】解：，，， 是的外角，．故答案为：20． 11．（2023下·重庆合川·八年级统考期末）如图，直线 ,的直角顶点在直线上，点在直线上，若边的中点在直线上且，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，点为的中点， ∴，，∴， ∵，∴在中，， 即，∴，∵，∴，故答案为； 12．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，， ，故答案为：． 13．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．    【答案】 【分析】（1）延长，交与点H，令和相交于点I，根据三角形的外角定理得出，易得，根据平行线的性质得出，，求出，进而求出，最后根据三角形的外角定理得出，即可求解；（2）设，则，根据角平分线的定义的得出，则，进而得出，根据平行线的性质得出，进而得出，最后根据三角形的内角和定理得出，列出等式，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长，交与点H，令和相交于点I， ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，  ∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，故答案为：20°；       （2）设，∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∵，，∴，   ∵，∴， ∵，，， ∴，即， 整理得：．故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 14．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）如图，，．若，试求的度数．    【答案】     【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可以得到解题即可； 【详解】解：（1）∵，，∴， 又∵，，∴； 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质． 15．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析． 【详解】（1）证明：过点作，如图1所示：，    又，， ，即； （2）解：，理由如下：过点作，如图2所示：，    又，，， 又，． 【点睛】本题考查了平行线性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 16．（2023下·河南漯河·七年级统考期中）探究题：    (1)如图，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论． (3)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论． (4)在图中，，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）解：相等，过点作，如图1所示．，， ，，．             （2）过点作，如图2所示．，， ，，， ，． （3）过点作，如图3所示．，， ，，． （4）过点作，如图4所示．，结合（1）结论，， ，结合（1）结论，， 又，． 17．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)65° (2)当在的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当在线段上时，；当在的下方时， 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∵，∴，，． 又， ∵，，∴； （2）解：．理由如下：当在的上方时，如图，过作， ∵，∴，，， ，． 当在线段上时，由（1）可得：； 当在的下方时，如图，过作， ∵，∴，，， ，． 18．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期末）已知直线，直线交于点M，交于点N，平分交于点H，．（本题不允许直接使用三角形内角和定理）        (1)如图1，求的度数；(2)如图2，若平分，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，平分，延长线交于点Q，连接，若，求的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，且∴， ∵平分∴；∴； （2）证明：作，如下图所示，    ∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴∥，∴， ∴，∴； （3）解：作，如下图所示， ∴，，   ∵，∴ ，∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， 作，如上图所示，同理可证． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04.平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（2023·重庆渝中·校考一模）如图，已知，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 例2．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）补全下列证明过程： 已知：如图，求证：． 证明：如图，作射线，使， （_______________）    又 （________________） （_________________） 即∴（_________________） 又 （__________________） 例3．（2024下·重庆·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，平分，，已知，则 度． 例5．（2023下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．    (1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系； ①______，②______，③______，④______．(2)请写出图③证明过程． 例6．（2024下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．    (1)如图①，，，之间的数量关系为______；(2)如图②，求证：； (3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数． 1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 6．（2023上·甘肃定西·七年级校考期末）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（　　）    A． B． C． D． 9．（2023·泸州·八年级校考阶段练习）如图，直线，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．（2023上·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图所示，，，，则 ．    11．（2023下·重庆合川·八年级统考期末）如图，直线 ,的直角顶点在直线上，点在直线上，若边的中点在直线上且，则的度数为 ． 12．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    13．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．    14．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）如图，，．若，试求的度数．    15．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由．    16．（2023下·河南漯河·七年级统考期中）探究题：    (1)如图，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论． (3)若将点移至图的位置，此时、、之间有什么关系？直接写出结论． (4)在图中，，与之间有何关系？直接写出结论． 17．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 18．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期末）已知直线，直线交于点M，交于点N，平分交于点H，．（本题不允许直接使用三角形内角和定理）        (1)如图1，求的度数；(2)如图2，若平分，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，平分，延长线交于点Q，连接，若，求的度数． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$