专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题04.平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，，则 ． 例2．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，，证明：．    例3．（2024下·重庆·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例4．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（    ）．      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 例5．（2023上·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，请通过度量、观察、分析等手段，猜测图1、图2、图3中之间的大小关系，用等式表示出来，再对图3中的结论加以证明．    例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，点E，F分别为直线上的一点．    (1)如图1，点G在直线之间，且．直接写出和之间的数量关系（用等式表示）；(2)如图2，点G在同旁．直接写出之间的数量关系（用等式表示）； (3)如图3，点G在同旁，的平分线与的平分线交于点H．用等式表示与之间的数量关系，并证明． 1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，在中，，，．若平分，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023下·广东潮州·八年级统考期中）如图所示，在中，，延长至点E，延长至点F，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（2023下·四川泸州·七年级校考期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ． 9．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    10．（2023下·辽宁锦州·七年级统考期中）如图，且，，则 ．    11．（2023下·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，直线，，，则的度数是 ．    12．（2023·广东汕头·校联考三模）如图，，，，则的度数是 ．    13．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图，E是、外一点，，，，求的度数．    14．（2023下·四川德阳·七年级统考期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从点D引一条射线，若，，求的度数．    15．（2023下·山东济南·六年级统考期末）已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现：如图1，，则　　； (2)问题迁移：如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 17．（23-24七年级下·河南信阳·期末）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． （1）若，则的度数为 ；（2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系： (1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由． (2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由） 图②_________________________________．图③_________________________________． (3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，，则 ． 【答案】/25度 【详解】过点E作，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 例2．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，，证明：．    【答案】见解析 【详解】证明：∵，∴，∵，∴； 例3．（2024下·重庆·七年级统考期末）如图，与分别相交于点B、F，连接．给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判断的条件的个数为（ ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①当时，根据同位角相等，两直线平行可得，故①符合题意； ②当时， ∵，∴，∴，故②符合题意； ③当时，无法判断，故③不符合题意； ④当时，无法判断，故④不符合题意； ⑤当时，根据内错角相等，两直线平行得，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 例4．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（    ）．      A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：∵与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E， ∴，，, ∴， ∵，∴， ∴,即①正确； 如图：过E作，∴， ∵，∴，∴， ∴，即， ∴，故②正确；    ∵，，∴，即， ∵，∴，即，解得：，即③正确．故选D． 例5．（2023上·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，请通过度量、观察、分析等手段，猜测图1、图2、图3中之间的大小关系，用等式表示出来，再对图3中的结论加以证明．    【答案】图1：；图2：；图3：；见解析． 【详解】解：通过度量可知：图1：； 图2：；图3：． 证明：延长，交于点F，如图所示，    ∵，∴，∵是的一个外角， ∴，∴． 例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，点E，F分别为直线上的一点．    (1)如图1，点G在直线之间，且．直接写出和之间的数量关系（用等式表示）；(2)如图2，点G在同旁．直接写出之间的数量关系（用等式表示）； (3)如图3，点G在同旁，的平分线与的平分线交于点H．用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，过点G作，∵，∴， ∴，∴， ∵，即，∴， ∴，∴；       （2）解：如图所示，过点G作， ∵，∴，∴， ∵，∴ （3）解：，证明如下：同理可得， ∵的平分线与的平分线交于点H，∴， ∴，∵，∴． 1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 2．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵，， ∴．故选：B 3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 4．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，在中，，，．若平分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，故D正确．故选：D． 5．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，，，，    ，， ，故选A． 6．（2023下·广东潮州·八年级统考期中）如图所示，在中，，延长至点E，延长至点F，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∵，∴，∴．故选：D． 7．（2023下·四川泸州·七年级校考期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∴，故①正确；∴， ∵，∴，∴平分，故②正确； ∵的余角比大，∴， ∵，∴，∴，故③错误； 设，，∴，∵平分，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，∴，故④错误，∴正确结论的个数有2个．故选：B． 8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ． 【答案】40°． 【详解】如图，∵直线a∥b，∴∠4＝∠1＝75°， 由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．故答案为40°． 9．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，， ，故答案为：． 10．（2023下·辽宁锦州·七年级统考期中）如图，且，，则 ．    【答案】/30度 【详解】解：如图，过点P作，      ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 11．（2023下·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，直线，，，则的度数是 ．    【答案】/33度 【详解】解：令和相交于点，   ， ，，， ，，，故答案为： ． 12．（2023·广东汕头·校联考三模）如图，，，，则的度数是 ．    【答案】/20度 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴．故答案为： 13．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图，E是、外一点，，，，求的度数．    【答案】 【详解】解：，∴． ∵，∴． ∵，，∴． 14．（2023下·四川德阳·七年级统考期末）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从点D引一条射线，若，，求的度数．    【答案】． 【详解】解：∵且（对顶角相等）， ，，， 又，∴，∴． 15．（2023下·山东济南·六年级统考期末）已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现：如图1，，则　　； (2)问题迁移：如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    【答案】(1)150；(2)，理由见解析；(3) 【详解】（1）过作，，          ，，，， ，，，故答案为：150； （2），理由：过点作， ，，，，， ．， ，； （3）过点作，由（2）可知：，，， ，，，， ， 由（2）知，，． 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【详解】（1），理由如下：过点作，，            ，，，，； （2）①不成立，新的结论为 理由为：过作，， ，，，，； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作，，，，， ，； （3），过点作，点作， 又∵，∴，∴，，， 即，∴． 17．（23-24七年级下·河南信阳·期末）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． （1）若，则的度数为 ；（2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； 【延伸拓展】（3）把三角尺从图3的位置开始绕点B顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 【答案】（1），（2），（3）或 【详解】解：（1）如图1，过点C作， ，，， ，，； （2）如图2，过点C作， ，，， ，， ； （3）①如图3，过点C作， ，，， ，，， 则； ②如图，过点A作，，，， ，，， 故的度数为或． 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）探究：在平面内，直线，为平面内一点，连接、，根据点的位置探究、和的数量关系： (1)当点在如图①的位置时，写出、和的数量关系，并说明理由． (2)当点分别在图②、图③所示的位置时，请分别写出图形中相应的、和的数量关系：（直接写出答案，不要求说明理由） 图②_________________________________．图③_________________________________． (3)运用上面结论解决问题：如图④，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)(2)；(3) 【详解】（1）解：，理由如下：如图，过点E作，   ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，即． （2）解：图②中， 过点E作，∵，，∴，∴， ∵，412∴，∴，即． 图③中， 过点E作，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，即． 故答案为：；． （3）解：由（2）中图②的结论可得，在图④中，， ∴， 又∵平分，平分，∴， ∴四边形中，． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$