精品解析：江西省上饶市弋阳县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

高一开学考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如果今天是星期三，则2020天后的那一天是星期（ ） A. 五 B. 六 C. 日 D. 一 4. 若，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A B. C. D. 6. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A B. C. D. 8. 已知，若正实数满足，则的最小值是（ ） A B. C. 2 D. 4 二、多选题 9. 设函数，给出下列四个结论：正确的是（ ） A. 函数的值域是R B. ，有 C. 若互不相等的实数满足，则的取值范围是 D. ，使得 10. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ） A. B. C. 估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表） D. 估计参赛选手得分的中位数在内 11. （多选）已知函数，则（ ） A. 当时，函数的定义域为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数在上单调递减 D. 当时，关于的方程有两个解 三、填空题 12. 某市11月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是__________. 13. 已知，则最大值______. 14. 已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 现有7名奥运会志愿者．其中志愿者通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语， 从中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （1）求被选中的概率； （2）求和不全被选中概率． 17. 已知函数． （1）当时，求在区间上的值域； （2）当时，解不等式． 18. 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人.心理测评评价标准如下表： 调查评分 心理等级 A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率． 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一开学考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合， ， 所以， 故选：B 2. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到答案. 【详解】命题，的否定为：，. 故选：D 3. 如果今天是星期三，则2020天后的那一天是星期（ ） A. 五 B. 六 C. 日 D. 一 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到周期为7，进而求解. 【详解】每隔七天循环一次，，故2020天后为周日. 故选：C. 4. 若，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数和对数函数性质即可求解判断. 【详解】因为在为增函数， 所以，即； 又为增函数，所以， 所以. 故选：D. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案. 【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AB； 根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除C. 故选：D 6. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】找到给定角终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，又的终边在第三象限， 所以角的终边在第三象限． 故选：C 7. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 8. 已知，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最值即可. 【详解】由题意得，故是定义在上的奇函数， 由为增函数知是增函数， 因，所以，即， 所以. 故选：A 二、多选题 9. 设函数，给出下列四个结论：正确的是（ ） A. 函数的值域是R B. ，有 C. 若互不相等的实数满足，则的取值范围是 D. ，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出的图象.对于A：根据函数图象即可得值域；对于B：举反例说明即可；对于C：根据图象可得，且，即可得结果；对于D：将的图象关于y轴对称可得的图象，结合图象即可得结果. 【详解】作出函数的图象如图所示： 对于选项A：由函数图象可知的值域是，故A正确； 对于选项B：例如，可得，故B错误； 对于选项C：不妨设，由函数图象可知， 因为，则，即，解得， 可得， 所以的取值范围是，故C正确； 对于选项D：将的图象关于y轴对称可得的图象， 由图象可知：，的图象与的图象有交点， 所以，使得，故D正确； 故选：ACD. 10. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ） A. B. C. 估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表） D. 估计参赛选手得分的中位数在内 【答案】ABD 【解析】 【分析】由矩形的面积和为1可得A正确；由频率比组距可得B正确；由平均值的计算可得C错误；由中位数的计算可得D正确； 【详解】对于A、B，由， 得，则，故A，B正确； 对于C，估计参赛选手得分的平均分为x， 则，故C不正确； 对于D，因为，， 所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确． 故选：ABD. 11. （多选）已知函数，则（ ） A. 当时，函数的定义域为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数在上单调递减 D. 当时，关于的方程有两个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项利用根式的被开方数大于等于0判断即可；B、C选项利用分段函数来判断函数的值域和单调性即可；D选项利用换元法转化为与图象有两个交点的问题即可. 【详解】对于A，当时，，由，解得或， 所以函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，，定义域为， 当时，；当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，， 当时，，在上单调递减； 当时，，上单调递减，又， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，易知，，即， 设，则，即， 若方程有两个解，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 某市11月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是__________. 【答案】86 【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解. 【详解】解：因为数据为35，53，54，58，72，80，85，86，111， 125， 所以， 所以这组数据的第75百分位数是86， 故答案为：86 13. 已知，则的最大值______. 【答案】0 【解析】 【分析】将式子构造成可以使用均值不等式的形式，然后求出最大值. 【详解】因为，所以，那么. 将变形为. 对于，这里，因，， 所以，当且仅当时取等号. 则. 故答案为：0. 14. 已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到，且在上大于等于0恒成立，即可得到答案. 【详解】因为函数（且）在区间上单调递增， 在上单调递减， 所以，且在上大于等于0恒成立. 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）本题首先可根据求出集合，然后并集的相关性质即可得出结果； （2）本题可分为、两种情况进行讨论，然后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）因为集合，， 所以集合，. （2）因为，， 所以若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查集合的运算以及根据集合的包含关系求参数，在根据集合的包含关系求参数时，一定要注意讨论集合是空集这种情况，考查计算能力，是中档题. 16. 现有7名奥运会志愿者．其中志愿者通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语， 从中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （1）求被选中的概率； （2）求和不全被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案； （2）根据对立事件的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意从7名奥运会志愿者中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名， 共有， ， 共12种等可能情况， 被选中的情况有共4种， 故被选中的概率为； 【小问2详解】 事件和不全被选中的对立事件为和全被选中， 和全被选中情况有共3种， 故事件和不全被选中的概率为. 17. 已知函数． （1）当时，求在区间上的值域； （2）当时，解不等式． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）令，由得到的范围，再将问题转化为二次函数在给定区间上的值域的问题求解即可； （2）将看成整体，先求出的范围，再利用指数函数单调性求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 令，则函数在上单调递增， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， ∴函数在区间上的值域为. 故时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 当时，． 由，得，即， 解得 或， 所以 或， 所以不等式的解集为或. 18. 某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人.心理测评评价标准如下表： 调查评分 心理等级 A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据调查评分在中市民人数以及频率，列出等式即可求出的值，根据频率之和为1，列出等式即可求出的值； （2）根据频率分布直方图所给信息以及分层抽样的定义得到调查评分在和所抽取的人数，结合相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率进行求解即可． 【小问1详解】 易知调查评分在中的市民有200人， 而评分在中的频率为，所以， 而，解得. 【小问2详解】 因为评分在中的人数是评分在中人数的一半， 若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，此时评分在内的有1人，在内的有2人， 记“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”为事件A， 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 则，故 则在抽取的3人中，经心理疏导后至少一人的心理等级转为的概率为. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． （1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； （2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【答案】（1）是倒函数，不是倒函数；理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案； （2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可, 【小问1详解】 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， 是倒函数， 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数； 【小问2详解】 因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故， 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故. 必要性：当时， 有 ， 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$