专题06 直角三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题06 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 16 58 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形． 【答案】5或/或5 【详解】解：①为的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：， ∴（负值已舍去）； ②为三角形的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：， ∴（负值已舍去）； 综上：或；故答案为：5或． 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴，∴中，； 如图，当时， 同理可得，∵，∴， ∴， 综上所述：的度数为或．故答案为：或． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：      则，由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示： 则，，由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或．故选：A． 例4．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，．点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况：①当时，如图：，设， ，，， ，由折叠得：，， ，， 在中，，，解得：，； ②当，如图：过点C作，垂足为H，， ，由（1）知，， 由折叠得：，，， ，，，， 是的一个外角，， ，，，， 综上所述：的长为或，故答案为: 或． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（2023江西吉安·八年级统考期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：如图所示， 共有6个格点使为直角三角形，，故选：B． 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    【答案】或或 【详解】解：如图，当时，作轴于，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 同法可得，当， 当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或． 例3．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，P为x轴上的一点，当为直角三角形时点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，∴，，， 当时，则， ∴，解得，∴此时点P的坐标为， 当时，则轴，∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或故答案为：或． 例4．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为 ． 【答案】或或1 【详解】当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=， 在直角三角形ABP中，AP=； 当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO， ∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1， ∵AB=BC=2，∴AP=； 情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO， ∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：或或1． ． 例5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 【答案】，或4.8 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵∴解得：； ②如图（2），当时， ∵，∴，∴若则，解得，， ③当时，∵∴，∴， 若时，则；故答案为 ，或4.8 例6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ (1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°； ②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）； (3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标. 【答案】(1)(，1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立(3)(，0)或(，0) 【详解】（1）解：如图，过点B作轴， ∵点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∴B(，1)；故答案为：(，1)； （2）①由旋转的性质可知AP=AQ，． ∵为等边三角形，∴AO=AB，，∴， ∴，∴，∴．∵，∴； ②补全图②如图，①中的结论仍然成立． 由①同理可证，∴； （3）当点P在x轴负半轴运动时，∵，，∴． 当点P在x轴正半轴运动时，∵，，∴． 综上可知， 故可分类讨论：①当时，如图，此时点P在x轴负半轴， ∵，，∴． ∵，∴，解得：或（舍）． ∵，∴，∴P(，0)； ②当时，如图，此时点P在x轴负半轴， ∵，，∴，∴． ∵，∴，∴P(，0)． 综上可知当△OBQ是直角三角形时，点P坐标为(，0)或(，0)． 例7．（2024·江苏连云港·八年级校考阶段练习）（1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E． 求证：△BEC≌△CDA； （2）【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，∴，． 又∵，，∴，又∵，∴． 在和中，，，，∴； （2）①：过点B作交于C，过C作轴于D， ∵，∴为等腰，由（1）同理可证：，∴，， ∵，令，则，∴， 令，则，∴，∴，， ∴．∴，设直线的解析式为， 将点，代入中， 得解得，，，则的解析式：； ②：如下图，设点， 当时，由（1）同理可证：， ∴，即，解得：或，故：或． 1．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，连接若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：在中，，， ． ，， 分两种情况考虑：当时，， ； 当时，， 综上，的度数为或．故答案为：或． 2．（2024·广东汕头·八年级期末）如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当__________时，为直角三角形． 【答案】3或4.8 【详解】①当时，∵是正三角形∴∴ ∴在中，，即，解得 ②当时，∵是正三角形∴∴ ∴在中，，即，解得 即当或时，为直角三角形故答案为：3或4.8． 3.（2024·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 【答案】或/或 【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，， ①如图1，当点E在线段CD上时， ∵，∴三点共线， ∵，∴， ∵，∴； ∴在中，； ②如图2，当点E在射线CD上时， ∵，，，∴， 设，则，∴， ∵，即，解得，∴， ∴在中，． 综上所述，AE的值为或．故答案为：或． 4．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：如图所示： ①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个； ②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，符合条件的点有2个； 符合条件的点的个数共有4个，故选：． 5．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ．    【答案】或 【详解】解：当时，满足为直角三角形； 当时，∵，∴； 综上所述，的度数为或故答案为：或 6．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果） 【答案】69°或11° 【详解】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°， 当是直角三角形时，如图，当∠AED=90°， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBE= ∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°； 如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC=， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案为：69°或11°． 7.（2023·河南·三模）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为 ． 【答案】或 【详解】如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B、D′、E三点共线， 又∵∠AD′B=∠C=90°，∠ABD′=∠BEC=90°，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC（AAS），∴BE=AB=17， ∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2； 如图2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″， ∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32． 综上所知，DE=2或32．故答案为2或32． 8．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：如图2所示：，， 如图3所示：，，， 如图4所示，，， 故答案为：或或． 9．（2024·浙江金华·八年级校联考期中）如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t= s时，△POQ是等腰三角形；当t= s时，△POQ是直角三角形． 【答案】 或10 【详解】如图，当PO=QO时，△POQ是等腰三角形 ∵PO=AO−AP=10−2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10−2t=t解得t=； 如图，当PO=QO时，△POQ是等腰三角形 ∵PO=AP−AO=2t−10，OQ=1t∴当PO=QO时，2t−10=t解得t=10； 如图，当PQ⊥AB时，△POQ是直角三角形，且QO=2OP ∵PO=AP−AO=2t−10，OQ=1t，∴当QO=2OP时,t=2×(2t−10)解得t=； 如图，当PQ⊥OC时，△POQ是直角三角形，且2QO=OP ∵PO=AP−AO=2t−10，OQ=1t，∴当2QO=OP时，2t=2t−10方程无解.故答案为(1). 或10    (2). 10．（2023·福建厦门·八年级校考期中）如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB＝60°，点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO． （1）请直接写出点D的坐标 ； （2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标． 【答案】（1）D（﹣3，3）；（2）画图形见解析，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标为（，3+），（，）． 【详解】（1）点D在第二象限，正确画出△COD如图所示，∵△ABO≌△DCO，∴CD＝BA， ∵点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），∴D（﹣3，3），故答案为（﹣3，3）； （2）∵OC＝OB＝3，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°， ①当CD为直角边时，如图，过点D作P1D⊥CD，交BC于点P1， ∵DC∥OB，∴∠DCP1＝∠OBC＝45°，∴△P1DC为等腰直角三角形， ∴，∴P1（﹣3 ，3）； ②当CD为斜边时，过D点作DP2⊥BC交BC于点P2，易得△CDP2是等腰直角三角形，作P2E⊥CD， ∵CP2＝DP2，∴CE＝DE＝，∴P2（，）．． 综上所述，点P在直线BC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P的坐标（ ，3 ），（，）． 11．（2024·浙江金华·八年级校考期中）已知中．    (1)如图1、2，若点是上一点，且，点是上的动点，将沿对折，点的对应点为（点和点在直线的异侧），与交于点． ①当时，求的度数．②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图3，若点是上一点，且，是线段上的动点，以为直角构造等腰直角（三点顺时针方向排列），在点的运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或(2) 【详解】（1）解：①当时，由翻折的性质可知， ，∴； ②当时，，∴； 当时，， ∴； 当时，，∴（舍去） 综上所述，为或 （2）解：如图，连接，，过点作直线，于点，作点关于直线的对称点，连接    ∵，∴，∴， 在和中，∴≌∴，∴点在直线上运动， ∵关于直线对称，∴，，∴， ∵，∴，∴的最小值为． 12．（2024·河南洛阳·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，点是上的点，且．    (1)直接写出矩形的周长； (2)将沿射线方向，以每秒个单位的速度平移得到，设平移的时间为秒． ①当经过线段的中点时，求矩形与重叠部分的面积； ②将，，，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请你求出所有符合上述条件的的值，并判定拼接后的三角形分别是什么特殊三角形． 【答案】(1)矩形的周长为 (2)①；②，，；拼接后得到的三角形为等腰直角三角形． 【详解】（1）在矩形中，，，∴矩形的周长为； （2）①如图，点为中点，．    ∵， ，∴为等腰直角三角形．∴．∴． 重叠部分的面积为直角梯形的面积； ②点与点的左侧，如图．设与交于点，， ，．．． ，拼接后得到的为等腰直角三角形； 点在点的重合，如图．可得，．． ，拼接后得到的为等腰直角三角形； 点在点的右侧，当点与点重合，如图．可得， ．．拼接后得到的为等腰直角三角形．    13．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．    【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)(3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，，点坐标为， 点在轴正半轴上，，，设直线的解析式为， ，，直线的函数表达式为； （2）解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，，解得，，，， ，，，由题意知，点在轴下方， ，，， 把代入，，解得，； （3）解：若点在轴的正半轴，如图，   ，   ， ， 是以为底边的等腰直角三角形，，， 直线的解析式为，时，， ，，，； 若点在轴的负半轴，如图，同理可得，，； 若点在轴的负半轴，如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形，，， ，，， ，，设，则， ，解得，，，； 若点在轴的正半轴，如图，过点作轴于点，同理可得，   ， ，，，，， 综上所述，点的坐标为或或或． 14．（2024·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C． (1)求直线l1的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S△AOP＝S△AOC，求出点P的坐标；(3)点M为直线l1上的动点，且点M不在坐标轴上，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)(2)（5，2）或（5，8）(3)或或 【详解】（1）解：∵点A（2，a）在直线l2：y＝x上，∴a＝2，即A（2，2）， ∵直线l1：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），∴   解得：， ∴直线直线l1的函数表达式为：y＝﹣2x+6； （2）解：∵S△AOP＝S△AOC，∴当以AO为底边时，两三角形等高， ∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y＝x+d， ①直线l3过点C（3，0），得l3为：y＝x﹣3，当x＝5时，m＝5﹣3＝2，∴点P（5，2）， ②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），直线l3过点（1，4），得l3为：y＝x+3， 当x＝5时，m＝5+3＝8，∴点P（5，8），综上所述，点P坐标为（5，2）或（5，8）； （3）解：设M（a，-2a+6），则N（a，a），∴MN=|-2a+6-a|=|-3a+6|， 如图，当∠MQN=90°时，过点Q作QD⊥MN于D， ∵△MNQ为等腰直角三角形，∴MD=ND=QD，∴MN=2QD， ∴|-3a+6|=2|a|，解得：a=或a=6，∴M（，）或M（6，-6）； 如图，当∠QMN=90°或∠QNM=90°时，∵MN=MQ或MN=NQ，∴|-3a+6|=|a|，解得a=或a=3， ∴M（，3）或M（3，0），∵点M不在坐标轴上，∴M（，3）； 综上所述，M（，）或M（6，-6）或M（，3）． 15．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，（如图所示）其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值；(2)在直角坐标系内是否存在点P使形成以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标和此时的面积；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) (2)存在，当时，若点P的坐标为，此时的面积为5；若点P的坐标为，此时的面积为1；当时，若点P的坐标为，此时的面积为10；点P的坐标为，此时的面积为2． 【详解】（1）解：∵，∴，解得：； （2）解：存在，∵A、B、C三点的坐标分别为，，， ∴A、B、C三点的坐标分别为，，， ∴轴，且，，， 当时，此时，若点P在的下方，如图，过点P作轴于点E，轴于点D，则，，    ∵，∴，∴， ∴，∴，，∴，∴， ∴此时点P的坐标为，∴的面积为； 若点P在的上方，同理此时点P的坐标为，的面积为； 当时，此时，若点P在的下方，如图，过点P作轴于点M，则， ，    ∴，∴，∴， ∴，∴，∴此时点P的坐标为，∴的面积为； 若点P在的上方，同理此时点P的坐标为，的面积为； 综上所述，当时，若点P的坐标为，此时的面积为5；若点P的坐标为，此时的面积为1；当时，若点P的坐标为，此时的面积为10；点P的坐标为，此时的面积为2． 16．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B．(1)求直线的解析式；(2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积；(3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标．    【答案】(1)(2)(3)点N的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得，∴，∴直线：； （2）∵直线：，∴点B的坐标为， ∵直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E， 当时，，当时，，解得，∴、， 联立与得，解得，∴， ∴，∴，∴的面积为； （3）如图2，当时，过点E作轴于H， 由翻折得，∴， ∵，∴，，∴，∴ ， ∵，∴，由翻折得，∴点N的坐标为； 如图3，当时，由翻折得，∵，，∴，， ∴，∴点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 8 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 16 58 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形． 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 例4．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，．点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（2023江西吉安·八年级统考期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．    例3．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，P为x轴上的一点，当为直角三角形时点P的坐标为 ． 例4．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为 ． 例5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 例6．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ (1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°； ②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）； (3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标. 例7．（2024·江苏连云港·八年级校考阶段练习）（1）【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E． 求证：△BEC≌△CDA； （2）【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 1．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，连接若为直角三角形，则的度数为 ． 2．（2024·广东汕头·八年级期末）如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当__________时，为直角三角形． 3.（2024·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 4．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ．    6．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果） 7.（2023·河南·三模）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为 ． 8．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点B的一条直线交于点D，且，则直线是的关于点B的二分割线．如图2，中，，钝角同时满足：①为最小角；②存在关于点B的二分割线，则的度数为 ． 9．（2024·浙江金华·八年级校联考期中）如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t= s时，△POQ是等腰三角形；当t= s时，△POQ是直角三角形． 10．（2023·福建厦门·八年级校考期中）如图，Rt△ABO在平面直角坐标系中，O为原点，OB在x轴上，∠AOB＝60°，点A坐标为（3，3），点C的坐标为（0，3），点D在第二象限，且△ABO≌△DCO． （1）请直接写出点D的坐标 ；（2）点P在直线BC上，且△PCD是等腰直角三角形，请画出图形并求点P的坐标． 11．（2024·浙江金华·八年级校考期中）已知中．    (1)如图1、2，若点是上一点，且，点是上的动点，将沿对折，点的对应点为（点和点在直线的异侧），与交于点． ①当时，求的度数．②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图3，若点是上一点，且，是线段上的动点，以为直角构造等腰直角（三点顺时针方向排列），在点的运动过程中，直接写出的最小值． 12．（2024·河南洛阳·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，点是上的点，且．    (1)直接写出矩形的周长；(2)将沿射线方向，以每秒个单位的速度平移得到，设平移的时间为秒．①当经过线段的中点时，求矩形与重叠部分的面积； ②将，，，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请你求出所有符合上述条件的的值，并判定拼接后的三角形分别是什么特殊三角形． 13．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．(1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．    14．（2024·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C． (1)求直线l1的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S△AOP＝S△AOC，求出点P的坐标；(3)点M为直线l1上的动点，且点M不在坐标轴上，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标． 15．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，（如图所示）其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值；(2)在直角坐标系内是否存在点P使形成以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标和此时的面积；若不存在，请说明理由．    16．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B．(1)求直线的解析式；(2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积；(3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标．    1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$