专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 1 11 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　． 例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 例4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 4．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 5.（2024·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，线段为一个通信公司，该公司与两个通信点恰好围成一个正方形的公司长度为米，公司准备在正方形内要建设一个通信中转站点，在通信公司的边上架设一个通讯中心点，在通信中转站点到两个通信点和通讯中心点之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为 米． 7．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 8.（2023·山东八年级课时练习）阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）; ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长． 9．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 10．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    11．（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，菱形中，，.点E为对角线（不含A，C点）上任意一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接； (1)证明：；(2)设，请直接写出y的最小值. 12．（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 13．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，． 由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．(3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 14．（2023春·广东·八年级专题练习）如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM． (1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长； (2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：； (3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 15．（2023·河南周口·三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题： 如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）         【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．         （2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 1 11 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·山东东营·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　． 【答案】cm 【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′， 则DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm， ∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC•DE＝AB•DF， ∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm， 由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°， ∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC， 根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短， 连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点， 则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C． ∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°， ∴A′C＝＝＝（cm）， 因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是cm，故答案为：cm． 例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，由，得出，当共线时，得到值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得的最小值． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴， ∴当共线时，值最小，即的值最小， 连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴， ，∴ ， ∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析(2)正方形的边长为 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，，据此利用即可证明； （2）证明是等边三角形，得到，则根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于，求出，设正方形的边长为，则，．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，．由旋转的性质可得， ．即，． （2）解：连接，由（1）知，，， ，，是等边三角形．．． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于， ．设正方形的边长为，则，． 在中，，． 解得，（舍去负值）．正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形，∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【分析】（1）由直线解析式可求出的长，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求出答案；（2）过点作交延长线于点，过点作，垂足为，先证明，，再证明，即可得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，通过旋转构造的最小值为的长，即可解答． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关性质并作出辅助线是解题关键． 1．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴， ∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故选：D． 2．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°， ∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D． 3．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：A． 4．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE． ∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 5.（2024·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如解图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴当A､P､F､E四点共线时，的值最小，最小值为AE的长， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴在中，．故答案是：． 6．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，线段为一个通信公司，该公司与两个通信点恰好围成一个正方形的公司长度为米，公司准备在正方形内要建设一个通信中转站点，在通信公司的边上架设一个通讯中心点，在通信中转站点到两个通信点和通讯中心点之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到 则，和都是等边三角形， ，当三点共线时，最小为 是上的点，当时值最小，过作交于点， 为等边三角形，四边形是正方形， ，(米)， 则铺设光缆的最短长度为米，故答案为：． 7．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴为等边三角形，∴， ∴，当四点共线时，的值最小，为的长， ∵，∴，过点作轴，则：， ∴，∴，∴，即点在轴上； 过点作轴于点，∵，∴，，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 8.（2023·山东八年级课时练习）阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求． （1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ; （2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）; ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长． 【答案】(1)PA+PB+PC的最小值为；(2)①图形见解析；②当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 【详解】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC, ∴△APC≌△EDC,∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°, ∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°, ∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5, ∴,即PA+PB+PC的最小值为; （2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段; ②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,∴△APC≌△DEC, ∴CP=CE,∠PCE=60°,∴△PCE是等边三角形,∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°． ∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°,∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°, ∴∠PCB=∠CBP=30°,∴BP=CP,同理,DE=CE,∴BP=PE=ED． 连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD．在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4, ∴BO=BC•cos∠OBC=,∴BD=2BO=,∴BP=BD=． 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 9．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)的最小值为5． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴ （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，∴，∴ ∵，∴， ∴，∴， （3）如图，将绕着点顺时针旋转得到，连接，    由旋转知，∴，，， ∵，，∴是等边三角形， ∴，∴ ∵当、、G、E四点共线时，的值最小，最小为，即的值最小值为， ∵在等边中，，，由翻折可知：，， ∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为5． 10．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    【答案】（1）的最小值是5；（2）三条小路的长度之和的最小值是 【详解】（1）解：由题意可得，∴，∴的最小值是5． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．    由旋转的性质可知，是等边三角形，∴， ∵，∴， 当四点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长． 四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴∴三条小路的长度之和的最小值是． 11．（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，菱形中，，.点E为对角线（不含A，C点）上任意一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接； (1)证明：；(2)设，请直接写出y的最小值. 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：由旋转性质得，，在菱形中，，，   ∵，∴，∴∴； （2）解：连接， 由旋转可知，，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴当F、G、E、B四点共线时，y的值最小，如图所示： ∴，，∵，∴， ∵在菱形中，，∴，∴，∴y的最小值是． 12．（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵为等边三角形，边长为4，AE=2，∴E为AC中点，∴EB⊥AC，即∠BEA=90°， 由勾股定理得：． （2）证明：延长BF交AC延长线于H， ∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD， 由三角形外角性质知，∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAD+∠BAG=60°， ∵∠GBF=60°，∴△BGF为等边三角形，∴BF=GF=BG，∴BF+GE=BG+GE=BE， ∴∠ABG=60°－∠DBG，∠CBF=60°－∠DBG，∴∠ABG=∠CBF， ∴△ABG≌△CBF，∴∠BFC=∠AGB=120°，∴∠CFH=60°=∠GBF，∠GFC=60°， ∴CF∥BE，∴∠FCH=∠CEG，∠EGC=∠GCF， ∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE，∴∠GCF=∠FCH， ∴△GCF≌△HCF，∴CG=CH=CE，GF=FH=BF， 即C是EH中点，F是BH中点，∴BE=2CF，故． （3）解：原式变形为，将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接PF，GF，如图所示， 由旋转性质知，△BPD为等边三角形，∴∠PDB=60°， ∵BD=DF=PD，∴∠PFB=30°，∴∠FBP=90°，∴PF=， 由辅助线知：DE为三角形BFG的中位线，∴FG=2DE=2PC， ∴=，故当A、P、F、G共线时，取最小值，最小值为， 过G作GH⊥AH于H，在直角三角形BGH中，BG=2BC=8，∠GBH=60°， ∴BH=4，GH=，∴AG=，∴=， 即的最小值为． 13．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，． 由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值． (3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）. 【详解】解：（1）如图3中，将绕点逆时针旋转得到， ∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等边三角形， ∵∠BAC=30°，∴，在中，， ，，的最小值为5．故答案为5． （2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴AF=AP，∠FAP=90°， ∴是等腰直角三角形，∴FP=，∵∠BAC=45°，∴，， 作交的延长线于．在中，，， ，在中， ，，的最小值为． （3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形， 作于，交于．， 易知，， ，，的最小值为． 14．（2023春·广东·八年级专题练习）如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM． (1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长； (2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：； (3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)存在， 【详解】（1）解：∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°；∵点M为BF的中点， ∴，∴BF=6，∴∵，∴ ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°∴ （2）解：连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q， 分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P． ∵，AM平分∠BAC，∴△ABM≌△ACM（SAS）；∴，∠AMB＝∠AMC， ∵∠CBE＝30°，BM＝MC，∴∠BCM＝∠CBE＝30°，∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°， ∴∠AMB＝∠AMC＝120°，∴∠AMG＝∠CMG＝60°． ∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°，∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°． ∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．∴．∴． ∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG．∴∠MPG＝∠MHG＝90°，． ∴，∵点G在AC的垂直平分线上，∴． 在Rt△AGP与Rt△CGH中，，∴△AGP≌OCGH（HL） ∴∠AGP＝∠CGH，∴∠AGC＝∠PGH＝60°，∴△AGC为等边三角形，∴，∠ACM＝∠GCQ． 在△ACM与△GCQ中，，∴△ACM≌△GCQ（SAS），∴． ∵，∴． （3）解：存在，的最小值为． 取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接B C1，C C1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值，连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ， ∵△BPP1是等边三角形，∴∠PBP1=60°， 由轴对称可得∠EBP=∠C1BP1=30°，∠BC1C=60°，△BCC1是等边三角形， ∴∠C1BQ=90°，∠BQC=30°，∴C1Q=2BC1=2BC=8，∴CQ=BC=4=CE， ∵∠ECQ=60°，∴△ECQ是等边三角形，∴∠EQB=∠CQB=30°， ∵点E、P、P1、C1四点共线，∴C1E垂直平分BC， ∴∠ECP=∠EBP= =30°，∴∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°， ∴PQ=2PC=2PE，∴PQ=PC+PE，∴BQ=PB+PC+PE， ∵，∴的最小值为． 15．（2023·河南周口·三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题： 如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）         【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．         （2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）的最小值为． 【详解】解：（1）点O的位置如图所示，       （2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，如图所示： 则，，，，，， ∴是等边三角形，∴， 由【问题探索】知点的最小值即为点共线时线段的长， ∴，∴， ∵，∴四点共线， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，∴ ， 在中，由勾股定理得：，∴的最小值为； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，    ∴、是等边三角形，∴，， ∴在同一直线上时，， 当时，的最小值为的长，记与交于点H，则， ∴，∴，∴，∴的最小值为． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$