专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，    作于H，交于G．则四边形是矩形， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴， ∴的最小值．故选：D． 例2．（2024·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____． 【答案】6 【详解】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD， ∵∠ABC＝150°∴∠BAD＝30°，∵∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′＝BC＝6， ∴BD′＝，∠ABP＝45°， 又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE＝AE， 又∵AD＝AD′，∠PAD＝∠EAD′，∴△APD≌△AED′，∴PD＝ED′， 根据两点之间线段最短可得AP＋BP＋PD的最小值＝PB＋PE＋ED′＝，故答案为：． 例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到△，连接、，      根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形，同理为等边三角形， ，，， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小， 即的值最小，如图，过点作于点，交于点， 即最小值为：，在矩形中，于点， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)为与的交点．证明见解析(2)的最小值为：． 【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，， ∴，，∴为等边三角形，∴， ∵为等边三角形．∴，，∴， ∴，∴，∴， 当，，，四点共线时，如图， 此时最小，∴为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于， ∵正方形，等边三角形，，∴，，， ∴，∴，， ∴，∴的最小值为：． 例5．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 【答案】15+10 【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'， 由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG， 同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M， ∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2， ∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD， ∵AB=10，∴△ABH的高为5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10， 则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）． 例6．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．①求证：；②求的最小值；（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②12；（3）存在， 【详解】（1）解：∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴，，∴，故答案为：； （2）①证明：∵是等边三角形，∴，， 由旋转得，，∴， 在和中，，∴； ②连接，∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， 由两点之间线段最短得，∴， ∴当点A、P、Q、D在同一条直线上时，取最小值，为的值， 延长，作，交的延长线于点E，∵是边长为的等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，即取最小值为12． （3）存在一点P和一点Q，使得有最小值，理由如下： 过点P作交于点E，交于点F，将绕点A逆时针旋转得，连接，设交于点G，如图所示： 由（2）知，当在同一直线上时，有最小值，最小值为， 在矩形中，，∴，，， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵点P在上，∴当时，有最小值， ∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∵， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∴的最小值为． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°， ∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点， ∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM=，∴BM=4+， ∴根据勾股定理得，BD´= == . ∴的最小值为.故答案为： 3．（2023·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，，作于H，交于G，     ∵，，∴是等边三角形，同理，是等边三角形， ∴ ∵，，，∴， 又∵，，， 故的最小值为．故答案为：． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将以为中心，顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，， 是等边三角形，，， 当，，，共线时，的值最小，即等于的值，， 过点作的垂线，交延长线于点，设， ，四边形是矩形，，， ，， ，，，， ，，解得， ，，，故答案为：． 5.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【答案】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3， ∴MA+MD+ME的最小值为4+3． 6．（2024·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°， ∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC， 当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝， ∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形， ∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝ 所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2． 7．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 【答案】 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴， ∴当共线时，值最小，即的值最小， 连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴， ，∴ ， ∴的最小值为，故答案为：． 8．（2023春·浙江·八年级期中）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【详解】∵为正三角形，∴，∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴． 在和中，∴（SAS）∴ 在中，又∵，∴为等边三角形，∴． ∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在，∵，∴解得（负值舍去）． ∴正方形的边长为．故答案为：． 9．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 10．（2024·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____． 【答案】6 【详解】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD， ∵∠ABC＝150°∴∠BAD＝30°，∵∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′＝BC＝6， ∴BD′＝，∠ABP＝45°， 又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE＝AE， 又∵AD＝AD′，∠PAD＝∠EAD′，∴△APD≌△AED′，∴PD＝ED′， 根据两点之间线段最短可得AP＋BP＋PD的最小值＝PB＋PE＋ED′＝，故答案为：． 11．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，已知，，，，． (1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：证明：过点交于点E， ，四边形是平行四边形， ，，，，， 在中，，， 是直角三角形，即，； （2）解：如图，以为边构造等边和等边，连接，过点F作于点，设交于点Q， 和都是等边三角形，，， 即，， ，， 又M为上一动点，当时，取得最小值，等于的长， ，，， 如（1）图 ，，， ，的最小值为． 12．（2024·重庆綦江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． (1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG； (3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴，∴ ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴ ∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5 在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5 ∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5 法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴， ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在中 ， ∵是的中点∴∵∴是等边三角形 ∵EF＝5，EF＝BE＝AB∴∴AF＝5 在中， DF＝＝5∴的值为． （2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH， ∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG， ∵G为DE的中点，∴EG＝DG，在△AEG和△HDG中，， ∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF为等边三角形 ∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD 在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF 同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH ∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形∵AG＝HG∴AG⊥FG． 法二：如图4 延长AG交CD于H，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120° ∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG， 在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH， ∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等边三角形∴∠BEF＝60°，EF＝BE ∴∠AEF=120°∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH 在△AEF和△FCH中，∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF∵AG＝HG∴FG⊥AG （3）解：如图a在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP． 以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD∴BD＝BP， ∴△DBP 为一个等边三角形∴PB＝PD∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC ∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小． 如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC， ∴CP＝CG，∠PCG＝60°，∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°． ∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG∴BP＝PG＝GD． 连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7， ∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝，∴BP＝BD＝ 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 13．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴，E为的中点，，∴， ∵，∴，在中，，∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，延长交于N， ∴，过E作于P，则， 在与中，  ，∴，∴， 过E作于Q，∴，∴四边形为矩形， ∵，∴，∴， ∴矩形为正方形，∴，∴， 在与中，，  ∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴，∴， 在与中，，∴， ∴，∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵， ∴，在中， ， ∴，∴，∴， ∴的最小值为 ． 14．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 15．（2024·陕西咸阳·二模）问题提出(1)如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′.则BB′＝____； 问题探究(2)如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q.①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA＋PB＋PC的最小值； 问题解决(3)如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上(含B，C两点)开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留整数) 【答案】发现问题：3；问题探究：（1）证明参见解析；（2）12；实际应用：M建在BC中点（BM=400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）万元． 解析：发现问题：由旋转角度可知∠BOB′=90°，OB=OB'=3，根据勾股定理得，BB′=3；问题探究：（1）∵△BDC是等边三角形，∴CD=CB，∠DCB=60°，由旋转得，∠PCQ=60°，PC=QC，∴∠DCQ=∠BCP，在△DCQ和△BCP中，∴△DCQ≌△BCP；（2）如图1，连接PQ， ∵PC=CQ，∠PCQ=60°∴△CPQ是等边三角形，∴PQ=PC，由（1）有，DQ=PB，∴PA+PB+PC=AP+PQ+QD，由两点之间线段最短得，AP+PQ+QD≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，∴当点A，P，Q，D在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值为AD的长，作DE⊥AB，∵△ABC为边长是4的等边三角形，∴CB=AC=4，∠BCA=60°，∴CD=CB=4，∠DCE=60°，∴DE=6，∠DAE=∠ADC=30°，∴AD=12，即：PA+PB+PC的最小值为12；实际应用：如图2，连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′M，∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E，∵△ADD′是等边三角形，∴EM=AB=500，∴BM=400，PM=EM﹣PE=500﹣，∴D′E=AD=400，∴D′M=400+500，∴最少费用为10000×（400+500）=1000000（4+5）万元；∴M建在BC中点（BM=400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）万元． 16．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在， 【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM， 如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°； ∵∠MBN＝60°，∴∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE； 在△AMB与△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）； （2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M， ∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF ∴为等边三角形， 即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=BF， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°∴∠BAF=∠AFB＝15°，∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30° ∴，∴， ∴，∴． 17．（2023.江苏中考一模）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度． （2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　． （3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值． 【答案】（1）65；（2）①；②2；（3）PA+PB+PC的最小值为． 【详解】（1）【操作发现】解：如图1中， ∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝50°， ∴＝65°，故答案为：65． （2）【解决问题】①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′， ∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC， ∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2， ∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝． ②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′， 图4 ∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，∴△P′CP为等腰直角三角形，∴∠CP'P＝45°， ∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，∴∠AP′P＝90°，∵PA＝3，PB＝1，∴AP′＝1， ∴PP′＝＝＝2，∴PC＝＝＝2．故答案为：2． （3）【拓展应用】解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE． ∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB， ∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，△BPD为等边三角形，AP=DE ∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，PB=PD ∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，根据两点之间线段最短可得PA+PB+PC=DE＋PD＋PC≤CE，即PA+PB+PC的最小值为CE的长∴∠CBE＝135°，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F， ∴∠EBF＝45°，∴，在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2， ∴＝即PA+PB+PC的最小值为． 18．（2023春·浙江·八年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值． 【答案】（1）①补图见解析；②；（2） 【详解】（1）①如图△DCF即为所求； ②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°， ∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF， ∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°， 设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8， ∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16． （2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H． 由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG， ∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长． 在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝， 在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值为． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 例2．（2024·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____． 例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．    例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 例5．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为　　 公里． 例6．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在中，若将绕点O逆时针旋转得到，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，P为内一点，将线段绕点C逆时针旋转，点P的对应点为点Q．①求证：；②求的最小值；（3）【实际应用】如图③，在矩形中，，是矩形内一动点为内任意一点，是否存在点P和点Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 3．（2023·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 5.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 6．（2024·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 7．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__． 8．（2023春·浙江·八年级期中）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 9．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 10．（2024·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____． 11．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，已知，，，，． (1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______． 12．（2024·重庆綦江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． (1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG； (3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 13．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 14．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 15．（2024·陕西咸阳·二模）问题提出(1)如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′.则BB′＝____； 问题探究(2)如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q.①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA＋PB＋PC的最小值； 问题解决(3)如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上(含B，C两点)开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留整数) 16．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由． 17．（2023.江苏中考一模）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度． （2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　． （3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值． 18．（2023春·浙江·八年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$