18.2.3 正方形&专题 正方形有关的常考模型-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

第十八草 平行四边形 河南专版 18.2.3 正方形 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 ∠ACE= 知识点①正方形的性质 5.(8分)如图，正方形ABCD的边长为4.E,F 1.(3分)下列结论中，正确的有( 分别为DC,BC的中点. ①正方形具有平行四边形的一切性质 (I)求证：△ADE≌△ABF: ②正方形具有矩形的一切性质 (2)求△AEF的面积. ③正方形具有菱形的一切性质 ④正方形有两条对称轴 ⑤正方形有4条对称轴 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 2.(3分)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 △ABE,则∠AED的大小为() A.15 B.35o C.45 D.55 知识点②正方形的判定 6.(3分)下列叙述错误的是( A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 第2题图 C.有一个角是直角的菱形是正方形 变式题图 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 变式(3分)如图，以正方形ABCD的边AB 7.(3分)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°， 为一边向内作等边△ABE,则∠BED的度数为 BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于 点E,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明 3.生活情境·地理位置(3分)某天放学，四名同 四边形BECF为正方形的是() 学准备从学校回家.如图，点O为学校所在的 A.BC=AC B.CF⊥BF 位置，四名同学的家在平面直角坐标系中的 C.BD=DF D.AC=BF 位置如图所示，正方形OABC的顶点O,B的 坐标分别是(0,0)，(2,0)，则顶点C的坐 标是( 添加条件 A.(1,1) B.(-1,-1) 四边形 正方形 C.(1,-1) D.(-1,1) 第7题图 第8题图 8.新考法(3分)如图，数学课上老师给出了以 下四个条件：a两组对边分别相等：b一组对 边平行且相等：c一组邻边相等：d一个角是直 第3题图 第4题图 角.有三位同学给出了不同的组合方式：①a, 4.(3分)已知正方形ABCD的边长为1，连接 c,d;②b,c,d:③a,b,c.你认为能得到正方形 AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则 的是 ,（填写你认为正确的序号) 47 河南专版 ZBR·八年级数学下册 9.(8分)（邵阳中考）如图，在菱形ABCD中，对 A.1.5B.2 C.2.5 D.3 角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD 上，且BE=DF,OE=OA.求证：四边形AECF 是正方形 第12题图 第13题图 13.(3分)（河北三模）如图，四边形ABCD、 AEFG是正方形，点E、G分别在AB、AD上， 连接FC,过点E作EH∥FC,交BC于点H, 若AB=4,AE=1,则BH= 14.学科素养·逆向思维(3分) 如图，在矩形ABCD中，M,N 分别是边AD,BC的中点，E F分别是边BM,CM的中点，当AB:AD 易错点混淆特殊平行四边形的判定导致出错 ,四边形MENF是正方形 10.新考法(3分)四边形ABCD的对角线AC, 15.新趋势·开放性试题(10分)如图，在△ABC BD相交于点O,假设有下列条件：①AB= 中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.AN是△ABC AD:2∠DAB=90°：③A0=C0,B0=D0:④ 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E. 四边形ABCD为矩形：⑤四边形ABCD为菱 (1)求证：四边形ADCE为矩形 形：⑥四边形ABCD为正方形.则下列推理不 (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE 成立的是( 是一个正方形？并给出证明 A.①④→⑥ B.①③→⑤ C.①②→⑥ D.②③→④ 追梦提升练冲刺高分拓展中考 11.学科内部融合(3分)如图，正方形OABC 的两边OA,OC分别在x轴，y轴上.点D(5, 3)在边AB上，以C为中心，把△CDB顺时针 旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐 标是() A.(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或(-2,0) D.(10,2)或(2,0) 12.(3分)如图，正方形ABCD中，点P在AC上， PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别E,F,EF=3,则 PD的长为( 48 和 第十八季平行四边形 了河南专版 专题 正方形有关的常考模型 德型①正方形中相交垂线段问题 德型②正方形中三垂直全等模型 2.(9分)(1)数学课上，张老师给出了一个问 模型展示 正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到 题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边 的两条线段若垂直，则相等 BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角 ∠DCG的平分线CF于点F.求证：AE=EF 小明经过思考展示了一种正确的解题思路： 取AB的中点H,连接HE,则可以证明AE= EF.请你写出证明过程 1.(8分)(1)如图1，在正方形ABCD中，AE、DF (2)在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点 相交于点O,且AE⊥DF,则AE和DF的数量 E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除 关系为 B、C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结 (2)如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是 论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正 边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF,垂足为H.求 确吗？如果正确，请写出证明过程：如果不正 证：EF=BG 确，请说明理由 轩 第十 图 图2 图1 图2 49 河南专版 ZBR·八年级数学下册 模型③正方形中对角线交点处的直角 模型④正方形中的半角模型 模型展示 模型展示 正方形ABCD中，O为两条对角线的交，点，点E, (1)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则 F分别在AB,BC上若∠EOF为直角，OE,OF ①EF=BE+DF:②△CEF的周长为正方形ABCD 分别与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AOE 边长的2倍：③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF ≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OCH是等腰直角 1 三角形，且S。边每oer= 正形ABCD 4网 (2)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则 FA平分∠DFE,EF=DF-BE. 3.(9分)如图，正方形ABCD的对角线相交于点 O,点O又是正方形EFG0的一个顶点，且这 4.(9分)如图1.已知正方形ABCD,把一个直角 两个正方形边长相等，OE与BC相交于点M, 与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个 OG与CD相交于点N 顶点重合，当直角的一边与BC相交于点E, (1)求证：△OBM≌△OCN: 另一边与CD的延长线相交于点F时. (2)嘉琪说：当正方形EFG0绕点O转动，且 (I)证明：BE=DF: OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小， (2)如图2，作∠EAF的平分线交CD于点G, 你同意嘉琪的说法吗？请说明理由， 连接EG,证明：BE+DG=EG 图1 图2 50BDCE为平行四边形..BD=EC. 形 (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形..BD∥ 6.C【解析】由作图可知，AC=BC=AD=BD,四边形 EC,,∠ABD=∠E=50°，AC⊥BD,∴∠AOB=90°， ADBC是菱形.故进C. ∠BA0=90°-50°=40°. 7.证明：：四边形ABCD是菱形..AB=BC=CD=AD. 7.B ∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB, 8.12【解析】，菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∠DHC=∠BAC=∠DAB,∠nC=∠ACB= 2∠DCB. 菱形的面积= 2×6x8=24.?0是菱形两条对角线的交 .∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB.AE=CF,.△DAE 点，∴阴影部分的而积= 2*24=12 ≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS),.DE=BE=BF=DF, .四边形DEBF是菱形 【归纳总结】过对角线交点的直线将菱形分割成面积相等 8.C9.B 的两部分 10.A【解析】甲的作法如图1所示.：四边形ABCD是平 9.C【解析】，菱形的周长为40cm, 行四边形，，AD∥BC,.AE∥CF,∠EAO=∠FCO.又 边长为10cm.如图所示：AB=10cm, EF垂直平分AC,AO=CO,AE=CE,又：∠AOE= AC=16cm,根据菱形的性顶，AC⊥BD ∠COF,.△AOE≌△COF(ASA),.AE=CF,∴.四边形 AFCE为平行四边形，又AE=CE,四边形AFCE为 40 8cm,.'.BO 6cm,BD 12em,.'. 菱形，故甲的作法正确.乙的作法如图2所示：AD∥ S送=2×16x12=96(cm).故选C 1 BC,∴∠FAE=∠BEA.AE平分∠BAD,.∠FAE= ∠BAE,∴，∠BEA=∠BAE,:BA=BE,同理可得AB= 10.C AF,∴，AF=BE,又，AF∥BE,.四边形ABEF为平行四 11.D【解析】：C(3,4),.菱形边长为√4+3=5，.点 边形.AB=AF,,四边形ABEF为菱形.故乙的作法正 A(5,0),B(8,4).故选D. 确，故选A 12.C【解析】作，点M关于AC的对称点M,连接M'N交 AC于P,此时MP+P有最小值，为MN.M是AB边 上的中点，∴PM=PM,M是AD的中点又：N是BC边 上的中，点，可得AMBN,A=BN,即四边形AM'NB是 平行四边形，.MN=AB,..PM+PN=PM'+PN=V=AB =1.故选C 图2 334 【解析】小：四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD,BD=2BO 1L.证明：方法一：AE∥BF,.∠ADB=∠DBC,∠DAC= ∠BCA..AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，，. =8,4C=200∠B00=90.Sm=2474G.BD ∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,.∠BAC=∠ACB ∠ABD=∠ADB,AB=BC,AB=AD,+.AD=BC.·AD∥ =24..AC=6.C0=3在B△B0C中，C0=3,B0=4,由勾 BC,.四边形ABCD是平行四边形.AD=AB四边形 股定理祥BC=5.SEm=BC·AHAH=。 ABCD是菱形. 方法二：同方法一可证四边形ABCD是平行四边形. 【变式)曾 AD∥BC,∠DAB+∠CBA=18O°，AC平分∠BAD.BD平 分∠MC.∠BMC=子∠BD,∠ABD=号 ∠ABC,. 【技巧点拔】对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘 积的一半，再根据等面积法可先求出OA,再求出OC,即 可解决问题. ∠BAC+LABD=号∠BHD+ 2∠ABC= 2（∠B4D+ 14.证明：四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD, ∠ABC)= 2×180°=90，即AC1BD,四边形ABCD ∠COD=90°.·DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平 行四边形.又·∠COD=90°，..四边形OCED是矩形 是菱形. .CD=OE.CD=BC...OE=BC. 12.证明：由题意得，AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的平分 15.(1)证明：连接AC.:BD,AC是菱形ABCD的对角线. 线.，∴.∠ACB=∠DCB.又，AB∥CD,∴.∠ABC=∠DCB. BD垂直平分AC.点E在BD上，AE=EC .∠ACB=∠ABC,.AC=AB.又AC=CD.AB=DB. (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，·四边形 AC=CD=DB=BA,.四边形ACDB是菱形.∠ACD与 ABCD是菱形，.AB=CB.又∠ABC=60,.△ABC是 △FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点在EF 等边三角形，，∠BAC=60°，AE=EC,∠CEF=60°， 上，.四边形ACDB为△FEC的亲密菱形 18.2.3正方形 ∠EAC= F2∠CEF=30°又：∠BAF=∠BAC-∠EAG= 1.D 30°=∠EAC,∴AF是等边三角形ABC的角平分线. 2.A【解析】，：四边形ABCD为正方形..AB=AD,∠BAD BF=CF..点F是线段BC的中点 =90°.△ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE= 第2课时菱形的判定 ∠AEB=60°..AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=I50° 1.D ∴.∠ADE=∠AED=15°.故选A 2.证明：四边形ABCD是平行四边形..∠B=∠D.: 【变式】135 ∠BAF=∠DAE.,∴.∠BAF-∠EMF=∠DAE-∠EAF,即 3.C【解析】连接AC.四边形OABC是正方形，∴.AC⊥ ∠BAE=∠DAF.BE=DF,.△ABE≌△ADF(AAS), 0B,AC=B0=2,且AC与OB互相平分，.C(1,-1).故 AB=AD.:.口ABCD是菱形 选C. 4.22.5 3.AD=BC4.216 5.证明：AB=AC,AH⊥CB,∴.BH=HC.FH=EH.四边形 【技巧点拔】根据正方形的对角线互相垂直平分，可求得 EBFC是平行四边形，又：AH⊥CB,∴四边形EBFC是菱 ∠ACD的度数，再根据角平分线的性质，可解决何题. 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第12页 5.(1)证明：·四边形ABCD是正方形.∠D=∠B=90° 135°..·CF是正方形外角∠DCG的平分线.∴.∠DCF= AD=AB=BC=CD.又E,F分别为DC,BC的中点， 45°，.∠ECF=135°，∴.∠AHE=∠ECF.∠AEF=90 AD=AB ∴，∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°.，∠BME DE=BF,在△ADE和△ABF中 ∠D=∠B,∴.△ADE≌ ∠CEF,∴，△AHE≌△ECF(ASA),∴.AE=EF: DE=BF (2)解：正确，在AB上取一点M,使AM=CE,连接ME. △ABF(SAS). AB=BC,∴.BM=BE,∴.∠BME=45,∠AME=135.CF (2)解：：四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为 是正方形外角∠DCG的平分线.：，∠DCF=45°，∠ECF= DC,BC的中点，∴.∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC= 135°，同(1)可证明△AME≌△ECF.,AE=EF CD=4,DE=CE=BF=CF=2..SAe=SE方w-Sa4球- 3.(1)证明：四边形ABCD与EFC0均为正方形， Sanr-SAEr=4x4- 2*4x2 2×4x2 2×2×2=6即 ∠OBM=∠0CN=45°.0B=0C.0B⊥OC.∠E0G=90° .∠BOC=∠E0G=90°，∴.∠BOM=∠CON,,△0BM≌ △AEF的面积为6. △OCN(ASA): 6.D (2)解：不同意，理由：由(1)可知：△OBM≌△0CN, 【易错提醒】只有对角线互相平分的四边形是平行四边 Samv=SavS边8ax=S6mwc+S△0=S6k+S△Ww= 形，先确定平行四边形，然后才能确定是否是正方形. 45方em,即当正方形EFG0绕点O转动时，四 7.D8.①2 9.证明：，·四边形ABCD是菱形.，.AC⊥BD,OA=OC.OB= 边形OMCN的面积总等于正方形ABCD面积的！ OD.BE=DF,∴.OE=OF,∴，四边形AECF是平行四边形. AC⊥BD.,四边形AECF是菱形，，OE=OF,OA=OC, 4.证明：(1)：四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD= OE=OF=OA=OC.即EF=AC,.菱形AECF是正方形 ∠B=∠ADC=90°.，∠EAF=90°，.∠BAE=∠DAF,在 I∠BAE=∠DAF 10.C △ABE和△ADF中，{AB=AD 11.B【解析】点D(5,3)在边AB上，.BC=5,BD=2 ,∴，△ABE≌△ADF 顺时针旋转90°，则点D'在x轴负半轴上，0D=2, ∠ABE=∠ADF (ASA)..'.BE=DF: D'(-2,0).故选B. (2).:△ABE≌△ADF,.AE=AF,由题意，得∠EAG 12.D【解析】连接PB.在正方形ABCD中，∠ABC=90°， (AE=AF AB=AD.∠BAC=∠DAC=45°..AP=AP.∠BAC= ∠DAC=45°，AB=AD,∴，△ABP≌△ADP(SAS),∴.BP= ∠FAG,在△AEG和△AFG中∠EAG=LFAG,.△AEC AG=AG DP.,·PE⊥AB,PF⊥BC,∠ABC=O°，，四边形BFPE ≌△AFG(SAS).GE=GF.GF=DC+DF,BE=DF, 为矩形，.EF=PB,∴，EF=DP=3.故选D. DG+BE=GF..GE=GF...BE+DG=EG. 13.3 14.1:2 专题特殊平行四边形中的折叠问题 1.B【解析】·四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠ABC= 【方法点拨】根据正方形的性质，可得∠BMC=90°，ME= 90°.由折叠性质得，∠NME=∠ABC=90°，ME=BE.. MF.又由中位线定理可得MB=MC,再根据全等的判定及 ∠DMN=36°，∴.∠AME=180-∠NME-∠DMN=54°，.∴. 性质可得∠AMB=45°，进而即可解决问题， ∠AEM=90°-∠AME=36°.ME=BE,.∠EMB= 15.(1)证明：，AB=AC,AD⊥BC,.AD平分∠BAC,∠ADC ∠EBM=18°，∴.∠AMB=∠AME+∠EMB=72°.故选B. =90∠BMD=∠CD=2∠BAC:AN是△ABC的 27 【解析】①若∠AEF=90°.，∠B=∠BCD=90 外角∠CW的平分线.∠CAN=子∠M.ZCAV+ =∠AEF,,四边形BCFE是矩形.：将△BEC沿着CE 翻折，∴.CB=CF,∴.四边形BCFE是正方形，∴BE=BC= 2CMW+号∠BC= ∠DAC=L 2×180°=90.CE1 AD=8,.AE=AB-BE=7;②若∠AFE=90°.将△BEC 沿着CE腳折，∴.CB=CF=8,∠B=∠EFC=90°，BE= AN,.∠AEC=90°.∴.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°. EF.∠AFE+∠EFC=18O°，点A,点F,点C三点共 四边形ADCE为矩形. 线，.AC=√AB+BC=17,.AF=9.AE2=AF+EF, (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是 一个正方形.理由如下：当四边形ADCE是正方形时， 六5=y81+(5=T,解得AE=}:③若ZAF=90 DA=DC.,∠ADC=90°，∴.∠DAC=45.,:∠CAD= CD=15>CF=BC=8,点F不可能落在直线AD上， 2∠BAC,∠B1C=90°，当△ABC满足∠BAC=90 不存在∠EAF=90,踪上所述，AE=7或、 时，四边形ADCE为正方形. 3.(1)证明：四边形ABCD为矩形..AD∥BC,.∠AFE= 专题正方形有关的常考模型 ∠FEC,由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC,.∠AFE= L.解：(1)AE=DF ∠AEF,∴，AE=AF (2)过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形. (2)解：根据折叠的性质可得AE=EC,设BE=x,则AE= AB=EM,在正方形ABCD中，AB=BC,∴.EM=BC.·EM⊥ EC=8-x,在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB+BE= BC,∴.∠MEF+LEFM=9O.BG⊥EF,∴.∠CBG+∠EFM= 9O°，∴.∠CBG=∠MEF,在△BCG和△EMF中， AB,即4+2=(8-)2，解得x=3.BE=3,Sas=2 ∠CBG=∠MEF AB·BE=6. BC=EM ,∴.△BCG≌△EMF(ASA)..BG=EF 4.B【解析】：四边形ABCD为菱形，∴∠ADC=∠B= ∠C=∠EMF=90P 70°，AB=AE=AD,∴.∠AED=∠ADE.AD∥BC, 2.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形.，，AB=BC,∠B= ∠BCD=∠AEF=90°.点H、E分别是边AB、BC的中 LDAE=∠ABB=70°，∴∠ADE=LA5D=,(180°- 点，∴.AH=BH=BE=CE..∠BHE=45°，.∠AHE= ∠DAE)=55°，.∠EDC=70°-55°=15°.故选B. 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第13页