18.2.2 菱形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

13.5【解析】.：四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,AD∥BC ∠A=∠D=90°，∠AEB=∠EBC.∠ABC的平分线 形AMCN为平行四边形.：0=2AC,MW=AC,平 交AD于点E,.∠ABE=∠EBC,.∠AEB=∠ABE, 行四边形AMCN为矩形.故选A. AE=AB=CD=4.AE=4,BC=7,∴.AD=BC=7,∴.DE= 12.D【解析】连接AD.∠BAC=90°，且BA=6,AC=8. AD-AE=7-4=3.在Rt△CDE中，CD=4,DE=3,由勾股 .BC=√AB+AC=10.:DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形 定理得CE=√3+4=5. AMDN为矩形，AD=MN,当AD最小时，MN最小 14.18 1 15.(1)证明：四边形ABCD是矩形，OC=2AC,0D 2×10x 当AD1BC时，AD最小，此时SAc=,X6x8= AD,∴.AD=4.8.故选D 2BD,AC=BD,0C=0D∠ACD=∠BDC.∠CDr 13.①④ 【技巧点拨】本题考查矩形判定方法的灵活应用，牢记3 =∠BDC,∠DCF=∠ACD,.∠CDF=∠DCF,.DF= 种方法是解题的关键， CF: 14.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，：DC∥AB (2)解：由(1)可知，DF=CF.∠CDF=60°，.△CDF DC=AB..FC=AE...DC-FC=AB-AE,DF=BE... 是等边三角形，∴.CD=DF=6.∠CDF=∠BDC=60° 四边形DEBF是平行四边形.又：DE⊥AB,,∠DEB= 0C=0D,△OCD是等边三角形，.0C=0D=6,.BD 90°，.平行四边形DEBF是矩形： =20D=12.四边形ABCD是矩形.∴.∠BCD=90°， (2)解：AF平分∠DAB,÷,∠DAF=∠BAF.,·DC∥AB BC=VBD-CD=63,六.S=BC·CD=365. ∴.∠DFA=∠BAF.∴，∠DFA=∠DAF,∴，AD=DF=10.在 16.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，，CD∥AB,.∠OCF Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=8,由 =∠OAE.·∠COF=∠AOE,OA=OC,∴.△COF≌ (1)得四边形DEBF是矩形，.BF=DE=8. △AOE(ASA),.AE=CF. 15.解：(1)平行四边形 对角线相等的平 (2)证明：连接OB,:EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角 行四边形是矩形 形..OG=AG=GE,.∠BAC=∠AOG=30°，.∠AB0= (2)已知：AB=CD,AD=BC,AC=BD ∠B4C=30°，∠A0B=180°-30°-30°=120°.∴.∠B0E 求证：四边形ABCD是矩形 =∠A0B-90°=30°，△0EB是等腰三角形，∴OE= 证明：AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边 EB..OG=AG=GE=EB=OE,.0G=1 形.∴AO=CO,B0=D0.又AC=BD,.AO=C0=BO= D0,..∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB.:∠OMB+ DC=30G. ∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，∴.∠OBA+∠OBC=90° 第2课时矩形的判定 即∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. 1.∠B=90°（答案不唯一） 18.2.2菱形 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.合理 第1课时菱形的性质 4,证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD∥ 1.B BC.,E是AB的中点，，.AE=BE.在△ADE和△CE 2.A【解析】小：菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6， (AD=BC 中，DE=CE,,△ADE≌△BCE(SSS),∴，∠A=∠B. 8A0=34C=3.0=BD=4,AC1Bm在△MB0 AE=BE 中，AO=3,B0=4,由勾胶定理得AB=5.故选A AD/BC,.∠A+∠B=180°，.∠A=∠B=90°.又：四边 【变式】12 形ABCD为平行四边形.，.四边形ABCD为矩形. 3.B【解析】：四边形ABCD为菱形，一边长为3，.菱形 5.D ABCD的周长为3×4=12.故选B. 6,解：四边形MEWF是矩形.理由如下：，四边形ABCD是 4B【解析】，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 平行四边形，AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.AF BE是∠BAD.∠ABC的平分线，.∠BAM+∠ABM=9O°」 ∠ADC=IB0PAB/CD,∠BA0=∠BAD,∠ADC+ 六∠AMB=∠EMF=90°.同理可得∠F=∠E=90°，∴四 边形MENF是矩形. ∠B4D=180∠BMD=509,LBM0=×50P=25 7.B【解析】，四边形ABCD是平行四边形，∴，AC=2OA= 0E1AB,.∠AE0=90°，∠A0E=90°-∠BA0=65 6cm,OB=OD,要使平行四边形ABCD是矩形，则BD=AC 故选B. =6cm0B=BD=3m,故选B 5.C【解析】E、F分别是AB、AD的中点，EF=2.BD 2EF=4,·四边形ABCD是菱形，AB=AD=BC=DC, 8.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠A=60°，.△ABD是等边三角形，.AB=BD=4,.菱 9.证明：∠1=∠2，.OA=OB.四边形ABCD为平行四 形的周长为4×4=16.故选C. 边形.01=0C=号AC,0B=00= 2 BD.:.AC=BD. 【变式】6m【解析】如图所示，菱形周 长为24em,菱形ABCD的对角线AC,BD 口ABCD为矩形 相交于O点.∠ABC:∠BAD=2:I,AB= 10.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ CD,AB=BE,∴.BE=DC,BE∥CD,四边形BECD 6cm,AC⊥BD,B0=D0=2BD.∠ABC: 为平行四边形，.OD=OE,OC=OB.:四边形ABCD为 ∠BAD=2:I,.∴.∠ABC=2∠BAD.,∠BAD+∠ABC= 平行四边形，.∠A=∠BCD,又∠BOD=2∠A 180°，∴.∠BAD=60°，.∠BA0=30°.在Rt△AB0中， ∠B0D=∠OCD+∠ODC,∴.∠OCD=∠ODC,..OC= OD,∴.BC=ED.∴平行四边形BECD为矩形 ZB40=30,AB=6cm,.BO=2AB=3cm,.BD=6em 11.A【解析】：四边形ABCD为平行国边形，∴.A0O=CO, 6.(1)证明：四边形ABCD为菱形，∴.AB∥DC,AB=DC, B0=DO.BM=DN,∴，OM=ON又，AO=CO.∴.四边 AC⊥BD.BE=AB,DC=BE.DC∥BE.∴四边形 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第11页 BDCE为平行四边形..BD=EC. 形 (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形..BD∥ 6.C【解析】由作图可知，AC=BC=AD=BD,四边形 EC,,∠ABD=∠E=50°，AC⊥BD,∴∠AOB=90°， ADBC是菱形.故进C. ∠BA0=90°-50°=40°. 7.证明：：四边形ABCD是菱形..AB=BC=CD=AD. 7.B ∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB, 8.12【解析】，菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∠DHC=∠BAC=∠DAB,∠nC=∠ACB= 2∠DCB. 菱形的面积= 2×6x8=24.?0是菱形两条对角线的交 .∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB.AE=CF,.△DAE 点，∴阴影部分的而积= 2*24=12 ≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS),.DE=BE=BF=DF, .四边形DEBF是菱形 【归纳总结】过对角线交点的直线将菱形分割成面积相等 8.C9.B 的两部分 10.A【解析】甲的作法如图1所示.：四边形ABCD是平 9.C【解析】，菱形的周长为40cm, 行四边形，，AD∥BC,.AE∥CF,∠EAO=∠FCO.又 边长为10cm.如图所示：AB=10cm, EF垂直平分AC,AO=CO,AE=CE,又：∠AOE= AC=16cm,根据菱形的性顶，AC⊥BD ∠COF,.△AOE≌△COF(ASA),.AE=CF,∴.四边形 AFCE为平行四边形，又AE=CE,四边形AFCE为 40 8cm,.'.BO 6cm,BD 12em,.'. 菱形，故甲的作法正确.乙的作法如图2所示：AD∥ S送=2×16x12=96(cm).故选C 1 BC,∴∠FAE=∠BEA.AE平分∠BAD,.∠FAE= ∠BAE,∴，∠BEA=∠BAE,:BA=BE,同理可得AB= 10.C AF,∴，AF=BE,又，AF∥BE,.四边形ABEF为平行四 11.D【解析】：C(3,4),.菱形边长为√4+3=5，.点 边形.AB=AF,,四边形ABEF为菱形.故乙的作法正 A(5,0),B(8,4).故选D. 确，故选A 12.C【解析】作，点M关于AC的对称点M,连接M'N交 AC于P,此时MP+P有最小值，为MN.M是AB边 上的中点，∴PM=PM,M是AD的中点又：N是BC边 上的中，点，可得AMBN,A=BN,即四边形AM'NB是 平行四边形，.MN=AB,..PM+PN=PM'+PN=V=AB =1.故选C 图2 334 【解析】小：四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD,BD=2BO 1L.证明：方法一：AE∥BF,.∠ADB=∠DBC,∠DAC= ∠BCA..AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，，. =8,4C=200∠B00=90.Sm=2474G.BD ∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,.∠BAC=∠ACB ∠ABD=∠ADB,AB=BC,AB=AD,+.AD=BC.·AD∥ =24..AC=6.C0=3在B△B0C中，C0=3,B0=4,由勾 BC,.四边形ABCD是平行四边形.AD=AB四边形 股定理祥BC=5.SEm=BC·AHAH=。 ABCD是菱形. 方法二：同方法一可证四边形ABCD是平行四边形. 【变式)曾 AD∥BC,∠DAB+∠CBA=18O°，AC平分∠BAD.BD平 分∠MC.∠BMC=子∠BD,∠ABD=号 ∠ABC,. 【技巧点拔】对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘 积的一半，再根据等面积法可先求出OA,再求出OC,即 可解决问题. ∠BAC+LABD=号∠BHD+ 2∠ABC= 2（∠B4D+ 14.证明：四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD, ∠ABC)= 2×180°=90，即AC1BD,四边形ABCD ∠COD=90°.·DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平 行四边形.又·∠COD=90°，..四边形OCED是矩形 是菱形. .CD=OE.CD=BC...OE=BC. 12.证明：由题意得，AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的平分 15.(1)证明：连接AC.:BD,AC是菱形ABCD的对角线. 线.，∴.∠ACB=∠DCB.又，AB∥CD,∴.∠ABC=∠DCB. BD垂直平分AC.点E在BD上，AE=EC .∠ACB=∠ABC,.AC=AB.又AC=CD.AB=DB. (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，·四边形 AC=CD=DB=BA,.四边形ACDB是菱形.∠ACD与 ABCD是菱形，.AB=CB.又∠ABC=60,.△ABC是 △FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD的顶点在EF 等边三角形，，∠BAC=60°，AE=EC,∠CEF=60°， 上，.四边形ACDB为△FEC的亲密菱形 18.2.3正方形 ∠EAC= F2∠CEF=30°又：∠BAF=∠BAC-∠EAG= 1.D 30°=∠EAC,∴AF是等边三角形ABC的角平分线. 2.A【解析】，：四边形ABCD为正方形..AB=AD,∠BAD BF=CF..点F是线段BC的中点 =90°.△ABE是等边三角形，.AB=AE,∠BAE= 第2课时菱形的判定 ∠AEB=60°..AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=I50° 1.D ∴.∠ADE=∠AED=15°.故选A 2.证明：四边形ABCD是平行四边形..∠B=∠D.: 【变式】135 ∠BAF=∠DAE.,∴.∠BAF-∠EMF=∠DAE-∠EAF,即 3.C【解析】连接AC.四边形OABC是正方形，∴.AC⊥ ∠BAE=∠DAF.BE=DF,.△ABE≌△ADF(AAS), 0B,AC=B0=2,且AC与OB互相平分，.C(1,-1).故 AB=AD.:.口ABCD是菱形 选C. 4.22.5 3.AD=BC4.216 5.证明：AB=AC,AH⊥CB,∴.BH=HC.FH=EH.四边形 【技巧点拔】根据正方形的对角线互相垂直平分，可求得 EBFC是平行四边形，又：AH⊥CB,∴四边形EBFC是菱 ∠ACD的度数，再根据角平分线的性质，可解决何题. 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第12页第十八章 平行四边形 河南专版 18.2.2菱形 第1课时 菱形的性质 追梦甚础全练夯实基础熟练掌握 变式(3分)已知菱形的周长为24cm,两邻角 知识点①菱形的性质 之比为2：1.则较短的对角线的长为 1.(3分)（河南中考）关于菱形的性质，以下说 6.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于 法不正确的是() 点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE. A.四条边相等 (1)求证：BD=EC; B.对角线相等 (2)若∠E=50°，求∠BA0的大小 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 2.-图多变(3分)如下图，菱形ABCD的对角 线AC,BD的长分别为6和8，则这个菱形的 边长是() A.5 B.10 C.6 D.8 第十八章 第2题图 第4题图 第5题图 变式(3分)如上图，在菱形ABCD中，AB= 知识点②菱形的面积 13,AC=10,则0B的长为 7.(3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 3.(3分)菱形ABCD的边长为3，则菱形ABCD O.若AC=2,BD=2,则菱形ABCD的面 的周长为() 积为() A.3 B.12 A.1 B.2 C.4 D.6 C.6 D.9 8.(3分)如图，四边形ABCD是菱 4.(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 形.点0是两条对角线的交点，过 BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC O点的三条直线将菱形分成阴影 =130°，则∠A0E的大小为() 部分和空白部分，当菱形的两条对角线的长分 A.75 B.65° 别为6和8时，阴影部分的面积为 C.55° D.50° 易错点错误地运用菱形的面积公式导致错解 5.(3分)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F 9.(3分)已知菱形的周长为40cm,一条对角线 分别是AB、AD的中点，若EF=2,则菱形的周 长为16cm.那么这个菱形的面积为( 长为( A.40 cm2 B.48 cm2 A.4 B.8 C.16 D.32 C.96 cm2 D.192cm2 43 河南专版 ZBR·八年级数学下册 遍梦提升练冲刺高分拓展中考 对角线的交点，DE∥AC,CE∥BD,连接OE. 10.(3分)下列性质中，菱形具有而矩形不一定 求证：OE=BC 具有的是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 11.学科内部融合(3分)如图，在平面直角坐 标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3， 4),则顶点A,B的坐标分别是() A.(4,0),(7,4) B.(4,0),(8,4) C.(5,0),(7,4) D.(5,0),(8,4) 追梦素养练全国视野新题探究 15.学科素养·几何直观(10分)（广州期中）如 图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连 接AF,交对角线BD于点E,连接EC. 第11题图 第12题图 (1)求证：AE=EC; 12.学习情境·动点探究(3分)（天津二模）如图 (2)当∠ABC=60°，∠CEF=60时，点F在线 所示，点P是边长为1的菱形ABCD对角线 段BC上的什么位置？并说明理由。 AC上的一个动点.点M,N分别是AB,BC边 上的中点，则MP+PWN的最小值是() B.2 C.1 D.2 13.[教材习题11变式](3分)如图，在菱形AB CD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作 AH⊥BC于点H,已知B0=4,S菱形BcD=24,则 AH= 第13题图 变式题图 变式(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC, BD互相垂直，垂足为O,∠BAD=90°，AB=8,AD =6,若S四边彩cD=60,则0C= 14.(7分)（商丘月考）如图，点0是菱形ABCD 44 第十八草 平行四边形 河南专版 第2课时 菱形的判定 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 知识点①有一组邻边相等的平行四边形是 菱形 1.(3分)（江阴模拟）添加下列一个条件，能使 口ABCD成为菱形的是( A.AB=CD B.AC=BD C.∠BAD=90° 知识点③四条边相等的四边形是菱形 D.AB=BC 6.学习情境·过程性学习(3分)如图，小聪在作 2.(7分)如图，点E,F分别在口ABCD的边BC, 线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的： CD上，BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证：□AB 分别以点A和点B为圆心，大于，AB的长为 CD是菱形 半径画弧，两弧相交于点C,D,则直线CD即 为所求。 根据他的作图方法，可知四边形ADBC一定是菱 形，判定四边形ADBC是菱形的依据是( A.对角线互相平分的四边形是 菱形 B.对角线互相垂直的四边形是 菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 知识点②对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 3.新趋势·开放性试题(3分)》 7.生活情境·吊灯(7分)（郴州中考）小美周末 和妈妈逛家具市场，买回来一盏简单而精致 如图，在四边形ABCD中， 的吊灯，吊灯的外框ABCD为菱形，E,F是对 AC⊥BD,垂足为O,AB= 角线AC上的两点，且AE=CF,连接BF,FD, CD,要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件 DE,EB.求证：四边形DEBF是菱形. 是 (只需写出一个条件即可) 4.[教材练习2变式](3分)若一个平行四边形 的一条边的长为15，两条对角线的长分别为 18和24，则它的面积为 5.(7分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, AH⊥BC,点E是AH上一点，延长AH至点F, 使FH=EH.求证：四边形EBFC是菱形 45 河南专版 ZBR·八年级数学下册 易错点臆造菱形的判定方法导致出错 是菱形 8.生活情境·零件检测(3分)张师傅应客户要 求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师 傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测 结果，图中有可能不合格的零件是( 2em 2cm 2cm 120 2cm A.<60 B.60 2cm 2cm 2cm 2cm 2cm 110 120 C.<70 D.460 60 2cm 2cm 2em 追梦素养练全国视野新题探究 追梦提升练冲刺高分拓展中考 12.新定义(9分)（深圳中考）已知菱形的一个 9.(3分)如图，将△ABC沿BC方向平移得到 角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶 △DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形 点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这 ACED为菱形的是( 个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF A.AB=BC B.AC=BC =6,CE=12,∠FCE=45°，以点C为圆心，以 C.∠B=60° D.∠ACB=60° 任意长为半径作弧交CF、CE于点A、D,再分 别以点A和点D为圆心，大于2AD长为半径 第9题图 第10题图 作弧，交EF于点B,AB∥CD.求证：四边形 ACDB为△FEC的亲密菱形 10.学习情境·课堂讨论(3分)（河北模拟）如 图，已知平行四边形ABCD,要求利用所学知 识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙 两位同学的作法分别如下，下列判断正确的 是() 甲：连接AC,作AC的中垂线交AD、BC于 E、F,则四边形AFCE是菱形 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF,分 别交BC于点E,交AD于点F,则四边 形ABEF是菱形 A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 11.一题多解(9分)（湖北中考）如图，AE∥BF, AC平分∠EAB交FB于点C,BD平分∠ABC 交AE于点D,连接CD.求证：四边形ABCD 46