18.2.1 矩形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级下册数学同步训练方案(人教版)

专题平行四边形的性质与判定的综合应用 1.证明：四边形ABCD是平行四边形.，AB∥CD, 1.CE=2-2.5-=2-2,解得=3B0=BC-CQ= ∠FAE=∠CDE.·E是AD的中点，∴.AE=DE.又 16 ∠FEM=∠CED.∴.△FAE≌△CDE(ASA).∴.CD=FA.又 :CD∥AF,.四边形ACDF是平行四边形 18.2特殊的平行四边形 2.解：四边形AQRP是平行四边形.证明如下：：等边 18.2.1矩形 △ABP,等边△ACQ,等边△BCR.∴.AB=PB,BC=BR= 第】课时矩形的性质 CR,AC=CQ,∠PBA=∠RBC=∠BCR=∠ACQ=60°，. 1.B2.90°3.B ∠PBR=∠ABC.∠ACB=∠OCR,∴△BRP≌△BCA 4.D【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°，AC= (SAS),÷,PR=AC,∴.PR=AQ.BC=RC,∠BCA= BD..BC=3,AB=4,..AC=AB'+BC2=5,..DB=5. ∠RCQ,AC=CQ..△CAB≌△CQR(SAS).∴AB=RQ.∴ 选D. AP=RQ.∴.四边形AQRP是平行四边形 【变式】D 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB= 5.证明：方法一：四边形ABCD是矩形，.OA=OB.AE OD,又AF=CE,BH=DG,∴.AF-OA=CE-OC,BH-OB= ⊥BD于点E,BF⊥AC于点F.∴.∠AEO=∠BFO=90 DG-OD.∴.OF=OE,0G=OH,..四边形EGFH是平行四 ,∠AOE=∠BOF,∴.△AEO≌△BFO(AAS).∴.AE=BF. 边形，∴.GFHE. 4.证明：(1四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD. 方法二：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,SAm三 AE=CF,.四边形AECF是平行四边形 Sac2AE·BD=2AC·BF.AE=BF (2)由(1)得：四边形AECF是平行四边形，.AF∥CE. AE=CF,AB∥CD,AB=CD,∴BE∥DF,BE=DF,,四边形 6.D BFDE是平行四边形，.BF∥DE,.四边形EGFH是平行 7.30 四边形，，EF与GH互相平分 【技巧点拔】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD CD=AB=BD,再根据等腰三角形性质可解决问意. =BC,∠A=∠DCF,AB=CD.,·∠ABE=∠CDF,,△ABE ≌△CDF(ASA),AE=CF.DE=BF.DE∥BF.∴.四 8.解：.D.E,F分别是BC,AB,AC的中点，∴.DE是△ABC 边形BFDE是平行四边形： (2)解：四边形BFDE是平行四边形..BE=DF,BE∥ 的中位线DE=之4C:DE=5cmAC=2DE=10 DF.四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,.∠DEC cm.AH是△ABC的高，∴.∠AIC=90.又：F是AC的 =∠ECB.,CE平分∠DCB.∴.∠DCE=∠ECB.,∠DEC 1 =∠DCE,∴.DE=DC,在△DFC中，CF=3,DF=4,DE= 中点F=子4C=子×10=5(m.即那的长为 DC=5,∴.DC2=CF+DF2,.△DFC是直角三角形， 5 em. ∠DFG=90°，.∠EBC=90°，在Rt△EBC中，CE= 9.4cm或12cm2【解析】如图所示，矩形 √BC+BE=/(5+3)+4=45 ABCD中BE平分∠ABC交AD于E点. 6.(1)证明：：△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACD=60°， AB=CD,AD=BC,AD∥BC,÷.∠AEB= (AC=BC ∠CBE.:BE平分∠ABC,∴∠ABE= AC=BC.在△ACD和△CBF中. ∠ACD=∠B,∴.△ACD ∠CBE,.∠AEB=∠ABE,.AB=AE.①当AE=1em时， CD=BF AB=CD=1 cm,AD=4 cm=BC,S=1x4=4(cm ) ≌△CBF(SAS): ②当AE=3em时，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,此时 (2)解：D在线段BC上任意位置(D,C不重合).四边形 Sm=3x4=12(cm2).故矩形ABCD的面积为4cm CDEF是平行四边形.，△ACD≌△CBF,∴.∠BCF= 或12cm2, ∠DAC,AD=CF,,AD=DE,,∴，DE=CF,,∠ACD= 10.C【解析】过P作PM⊥AD于点M,交BC于点N,则有 ∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC, 四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形 ,60+∠DAC=60°+∠BDE,.∠DAC=∠BDE..∠BCF BEPN都是矩形.六Sar=Sam,Saw三Sar,Sanw= =∠DAC,.∠BDE=∠BCF,DECF,DE=CF,∴.四 SAPEV,Sam=Samw,Sar=Saa由面积关系可得SAT 边形CDEF是平行四边形. 7.解：(1)存在，1=4秒或12秒时，以A.B.E.P为顶点的四 =S△s=2×2x8=8,Sm围=8+8=16故选C 边形是平行四边形：理由如下：①当点Q、E在线段BC上 I1.B【解析】连接AE,设AC与EF的交点为O.,EF是AC 时，若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，则AP 的垂直平分线，.OA=OC,AE=CE四边形ABCD是矩 =BE,∴1=10-21+2，解得1=4：②当点Q、E在线段CB的 形，.∠B=0,AD∥BC,∴.∠OAF=∠OCE.在△AOF和 延长线上时，若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边 ∠AOF=∠COE 形，则AP=BE,.1=21-2-10,解得1=12.存在1的值. △C0E中，{OA=OC ,∴.△AOF≌△COE(ASA), 使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，1=4秒或 ∠OAF=∠OCE 12秒： AF=CE=5,..AE=CE =5..BE =3,..BC=8,..AB= (2)过A作AM⊥BC于M,设AC交PE于N..·∠BAC V√AE-BE=4.AC=√4+8=45.故选B. 90°.∠B=45°，∴.∠C=45°=∠B.,∴.AB=AC,∴.BM=CM 12.A【解析】四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB=OC AM⊥BC,∠AMB=∠AMC=90°，∴∠BAM=∠GAM= ∠B=LC=45,AM=7BC=5.AD/BC,÷LPAN3 0D=2BD=6.:LB0C=120°=LA0D,∠0AD= ∠ODA=30°，当OP⊥AD时，0P有最小值，.OP= ∠C=45°.，PE⊥BC,.PE=AM=5,PE⊥AD.∴.△APN 和△CEN是等腰直角三角形，.PN=AP=t,CE=NE=5- 20D=3,故选A 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第10页 13.5【解析】.：四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,AD∥BC ∠A=∠D=90°，∠AEB=∠EBC.∠ABC的平分线 形AMCN为平行四边形.：0=2AC,MW=AC,平 交AD于点E,.∠ABE=∠EBC,.∠AEB=∠ABE, 行四边形AMCN为矩形.故选A. AE=AB=CD=4.AE=4,BC=7,∴.AD=BC=7,∴.DE= 12.D【解析】连接AD.∠BAC=90°，且BA=6,AC=8. AD-AE=7-4=3.在Rt△CDE中，CD=4,DE=3,由勾股 .BC=√AB+AC=10.:DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形 定理得CE=√3+4=5. AMDN为矩形，AD=MN,当AD最小时，MN最小 14.18 1 15.(1)证明：四边形ABCD是矩形，OC=2AC,0D 2×10x 当AD1BC时，AD最小，此时SAc=,X6x8= AD,∴.AD=4.8.故选D 2BD,AC=BD,0C=0D∠ACD=∠BDC.∠CDr 13.①④ 【技巧点拨】本题考查矩形判定方法的灵活应用，牢记3 =∠BDC,∠DCF=∠ACD,.∠CDF=∠DCF,.DF= 种方法是解题的关键， CF: 14.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，：DC∥AB (2)解：由(1)可知，DF=CF.∠CDF=60°，.△CDF DC=AB..FC=AE...DC-FC=AB-AE,DF=BE... 是等边三角形，∴.CD=DF=6.∠CDF=∠BDC=60° 四边形DEBF是平行四边形.又：DE⊥AB,,∠DEB= 0C=0D,△OCD是等边三角形，.0C=0D=6,.BD 90°，.平行四边形DEBF是矩形： =20D=12.四边形ABCD是矩形.∴.∠BCD=90°， (2)解：AF平分∠DAB,÷,∠DAF=∠BAF.,·DC∥AB BC=VBD-CD=63,六.S=BC·CD=365. ∴.∠DFA=∠BAF.∴，∠DFA=∠DAF,∴，AD=DF=10.在 16.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，，CD∥AB,.∠OCF Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=8,由 =∠OAE.·∠COF=∠AOE,OA=OC,∴.△COF≌ (1)得四边形DEBF是矩形，.BF=DE=8. △AOE(ASA),.AE=CF. 15.解：(1)平行四边形 对角线相等的平 (2)证明：连接OB,:EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角 行四边形是矩形 形..OG=AG=GE,.∠BAC=∠AOG=30°，.∠AB0= (2)已知：AB=CD,AD=BC,AC=BD ∠B4C=30°，∠A0B=180°-30°-30°=120°.∴.∠B0E 求证：四边形ABCD是矩形 =∠A0B-90°=30°，△0EB是等腰三角形，∴OE= 证明：AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边 EB..OG=AG=GE=EB=OE,.0G=1 形.∴AO=CO,B0=D0.又AC=BD,.AO=C0=BO= D0,..∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB.:∠OMB+ DC=30G. ∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，∴.∠OBA+∠OBC=90° 第2课时矩形的判定 即∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. 1.∠B=90°（答案不唯一） 18.2.2菱形 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.合理 第1课时菱形的性质 4,证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD∥ 1.B BC.,E是AB的中点，，.AE=BE.在△ADE和△CE 2.A【解析】小：菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6， (AD=BC 中，DE=CE,,△ADE≌△BCE(SSS),∴，∠A=∠B. 8A0=34C=3.0=BD=4,AC1Bm在△MB0 AE=BE 中，AO=3,B0=4,由勾胶定理得AB=5.故选A AD/BC,.∠A+∠B=180°，.∠A=∠B=90°.又：四边 【变式】12 形ABCD为平行四边形.，.四边形ABCD为矩形. 3.B【解析】：四边形ABCD为菱形，一边长为3，.菱形 5.D ABCD的周长为3×4=12.故选B. 6,解：四边形MEWF是矩形.理由如下：，四边形ABCD是 4B【解析】，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 平行四边形，AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.AF BE是∠BAD.∠ABC的平分线，.∠BAM+∠ABM=9O°」 ∠ADC=IB0PAB/CD,∠BA0=∠BAD,∠ADC+ 六∠AMB=∠EMF=90°.同理可得∠F=∠E=90°，∴四 边形MENF是矩形. ∠B4D=180∠BMD=509,LBM0=×50P=25 7.B【解析】，四边形ABCD是平行四边形，∴，AC=2OA= 0E1AB,.∠AE0=90°，∠A0E=90°-∠BA0=65 6cm,OB=OD,要使平行四边形ABCD是矩形，则BD=AC 故选B. =6cm0B=BD=3m,故选B 5.C【解析】E、F分别是AB、AD的中点，EF=2.BD 2EF=4,·四边形ABCD是菱形，AB=AD=BC=DC, 8.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠A=60°，.△ABD是等边三角形，.AB=BD=4,.菱 9.证明：∠1=∠2，.OA=OB.四边形ABCD为平行四 形的周长为4×4=16.故选C. 边形.01=0C=号AC,0B=00= 2 BD.:.AC=BD. 【变式】6m【解析】如图所示，菱形周 长为24em,菱形ABCD的对角线AC,BD 口ABCD为矩形 相交于O点.∠ABC:∠BAD=2:I,AB= 10.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥ CD,AB=BE,∴.BE=DC,BE∥CD,四边形BECD 6cm,AC⊥BD,B0=D0=2BD.∠ABC: 为平行四边形，.OD=OE,OC=OB.:四边形ABCD为 ∠BAD=2:I,.∴.∠ABC=2∠BAD.,∠BAD+∠ABC= 平行四边形，.∠A=∠BCD,又∠BOD=2∠A 180°，∴.∠BAD=60°，.∠BA0=30°.在Rt△AB0中， ∠B0D=∠OCD+∠ODC,∴.∠OCD=∠ODC,..OC= OD,∴.BC=ED.∴平行四边形BECD为矩形 ZB40=30,AB=6cm,.BO=2AB=3cm,.BD=6em 11.A【解析】：四边形ABCD为平行国边形，∴.A0O=CO, 6.(1)证明：四边形ABCD为菱形，∴.AB∥DC,AB=DC, B0=DO.BM=DN,∴，OM=ON又，AO=CO.∴.四边 AC⊥BD.BE=AB,DC=BE.DC∥BE.∴四边形 追梦之旅·ZBR·八年级数学下第11页第十八季平行四边形 河南专版 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1矩形 第1课时 矩形的性质 追梦基础全练夯买基础熟练掌揠 知识点①矩形边、角的性质 1.(3分)在矩形ABCD中，AD=5,CD=12,则AC 的长为( A.9 B.13 C.17 D.20 2.(3分)如图，若将四根木条钉成的平行四边形 木框变形为矩形ABCD的形状，则矩形ABCD 的内角∠ABC的大小为 知识点③直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 6.(3分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于 点D,E是AC的中点，若AD=6,DE= 第2题图 第4题图 第 5,则CD的长等于() 知识点②矩形的对角线相等 八 A.5 B.6 3.(3分)在矩形ABCD中，AB>BC,AC,BD相交 C.7 D.8 于点O,则图中等腰三角形的个数是( 7.(3分)在R△ABC中，CD是斜边AB上的中 A.2个 B.4个 线.∠BCD=30°则∠B= C.6个 D.8个 8.(8分)（新乡模拟）如图，D,E,F分别是 4.(3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交 △ABC各边的中点，AH是高，如果ED=5cm. 于O.若BC=3,AB=4,则DB的长为() 求HF的长 A.3 B.4 C.7 D.5 变式(3分)在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,若A0=3cm,则BD的 长为() A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 5.一题多解(8分)（济南二模）如图，在矩形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥ BD于点E,BF⊥AC于点F.求证：AE=BF 39 河南专版 ZBR·八年级数学下册 易错点没有分类讨论导致漏解 BF,若AB=16,EF=1,∠AFB=90°，则BC的 9.(3分)矩形一个角的平分线分矩形一边为 长为 1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积 15.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 为 BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF 追梦提升练冲刺高分拓展中考 =∠ACD. 10.(3分)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC (1)求证：DF=CF: 上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于 (2)若∠CDF=60°，DF=6,求矩形ABCD的 E,F.连接PB,PD,若AE=2,PF=8,则图中 面积 阴影部分的面积为() A.10 B.12 C.16 D.8 第10题图 第11题图 11.(3分)（内黄期末）如图，在矩形ABCD中， 对角线AC的垂直平分线EF,分别交BC,AD 第 于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长 16.(10分)（重庆期末）如图1，在矩形ABCD 为() 中，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF A.45 B.45 C.10 D.8 ⊥AC分别交AB、DC于点E、F. 12.(3分)如图，矩形ABCD中，∠B0C=120°， (1)求证：AE=CF; BD=12,点P是AD边上一动点，则OP的最 (2)如图2，若G为AE的中点，且∠AOG= 小值为() 30°，求证：DC=30G A.3 B.4 C.5 D.6 13.(3分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分 图1 图2 线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4, 则CE= 第13题图 第14题图 14.(3分)如图，在△ABC中，D,E分别是AB, AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF, 40 不 第十八章 平行四边形 河南专版 第2课时 矩形的判定 追梦基础全练夯实基础熟练掌握 B.测量两组对边是否分别相等 知识点①有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.测量一组对角是否都为直角 1.新趋势·开放性试题(3分)如图所示，将 D.测量其中三个角是否都为直角 6.(7分)如图，四边形ABCD是平行四边形， △ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到 BE,CE,DF,AF分别为四个角的平分线，四边 △CDA.在不添加任何辅助线的前提下，添加 形MENF是矩形吗？为什么？ 一个条件 ,使四边形ABCD为矩形 第1题图 第2题图 2.(3分)如图，线段AB⊥BC,以C为圆心，BA 为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径 画弧，两弧交于点D,则四边形ABCD是矩形. 知识点③对角线相等的平行四边形是矩形 其判定定理是 7.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线 3.生活情境·制作木框(3分)木匠师傅在判断 AC、BD相交于点O,OA=3cm,若要使平行四 边形ABCD为矩形，则OB的长度为( 第 一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均 为0.6m,另一组对边的长均为0.8m,一条对 A.4 cm 角线长为1m,于是判断此木框为矩形，此方法 B.3 cm 是否合理 .(填“合理”或“不合理”) C.2 cm D.I cm 4.(7分)如图所示，点E是口ABCD的边AB的 中点，且EC=ED.求证：四边形ABCD是矩形. 8.生产劳动情境：零件测量(3分)用一把刻度 尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两 组对边是否分别相等，然后测量两条对角线 是否相等，这样做的依据是 9.(7分)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,∠1=∠2.求证：口ABCD是矩形 知识点②有三个角是直角的四边形是矩形 5.学习情境·课堂讨论(3分)在判断“一个四边 形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合 作学习小组的4位同学分别拟定了如下方案， 其中正确的是( A.测量对角线是否相等 41 河南专版 ZBR·八年级数学下册 10.(7分)如图，将平行四边形ABCD的边AB延 14.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点 长至点E,使AB=BE,连接DE、EC,DE交BC D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，且FC 于点O.连接BD,若∠BOD=2∠A.求证：四 =AE,连接AF,BF 边形BECD是矩形. (1)求证：四边形DEBF是矩形 (2)若AF平分∠DAB,AE=6,DF=10,求BF 的长 追梦提升练冲刺高分拓展中考 15.学习情境·过程性学习(10分)下面是课本 11.(3分)如图，在□ABCD中，M,N是BD上两 第54页中的部分内容，请认真阅读，并完成 相应的任务。 点，BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个 条件，使四边形AMCN是矩形，这个条 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不 第 件是( 仅要测量两组对边的长度是否分别相等 A. 常常还要测量它们的两条对角线是否相 B.MB=MO 等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理 C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 吗？ 任务： (1)填空：工人师傅测量对边长度相等，是为 D 了确保它的形状是 :再测量它的对 第11题图 第12题图 角线相等，就确保了它是矩形.这里主要依 12.学习情境·动点探究(3分)（天津期中）如 据了矩形的一个判定定理，即 图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6, AC=8,点D是斜边BC上的一个动点，过点 (2)请证明(1)中矩形的判定定理（先画出 D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N, 图形，写出已知，求证，再给出证明) 连接MN,则线段MN的最小值为( ) 已知： A.5B.3.6 C.2.4 D.4.8 求证： 13.(3分)如图，在口ABCD中， 证明： 下列条件：①AC=BD:②AB B =AD:③∠1=∠2：④AB⊥ BC中能说明口ABCD是矩形的有 (填序号) 42