专题06 几何最值模型之逆等线模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题06 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 3 模型1.最值模型-逆等线模型 3 19 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则，，，， ，当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，，，，， ，即最小时，的度数为．故选：C． 例3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 例4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ． 【答案】． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ，，，，，， ，的最小值为的长， ∵∴ ∴在中，，， ，，∴ 在中，．故答案为：． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级上·山东·期末）如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ． 【答案】 【详解】解：作，使，连接 交于点F，连接， ∵是等边三角形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴， 当点N与点F重合时，，取最小值，则取最小值， 此时，，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．    【答案】 【详解】解：在下方作，使，连接．则，．    ∴，即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，，，，，， ，，，， ，，，， 当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，． 的最小值是的长，，，， ，，，的最小值是．故答案为：． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度，再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，菱形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴，∴， ∴，在中，， ∴的最小值是，故答案为：． 例3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，，∴， ∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵点A，点H关于BC对称，∴AH⊥BC，AN＝NH，∴FH＝AF， 又∵△ABC是等边三角形，∴BN＝NC＝，， ∴AH＝2AN＝， ∵AE＝CF，AB=BC，∴BE＝BF，∵在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE，∴DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH， ∴当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长， ∵AH⊥BC，∴，∵，∴， ∴，即的最小值为4．故答案为：4． 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，      四边形是矩形，，，，， ，，， ，，又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，， 移项得，解得，或 ，则不符合题意，，，故选B． 2．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别在上，且，则的最小值为（    ）   A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作，使，连接，，作的延长线于，则四边形是矩形，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，∴当三点共线时，最小，最小值为， 由勾股定理得，，故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形边长为1，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°． 又BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE=BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE=HE，所以AE+DE=DH． 在Rt△ADH中，AD=1，AH=2，∴DH=，∴BF+DE最小值为，故选：C． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，BC的下方作∠CBT=30°，截取BT，使得BT=AD，连接ET，AT． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，∠ADF=∠ADC=30°， ∵AD=BT，∠ADF=∠TBE=30°，DF=BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF=ET， ∵∠ABT=∠ABC+∠CBT=60°+30°=90°，AB=AD=BT=2，∴∴AE+AF=AE+ET， ∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为，故选D． 5．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，           又∵，∴，∴，∴的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点，根据对称性可知，，∴， 在中，，，由勾股定理得， ∴的最小值为． 6．（23-24八年级下·福建莆田·开学考试）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图1，作，且，连接，连接， 是等边三角形，，，，， ，，，， ，，，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，，，故选：B． 7．（2023·安徽·模拟预测）在矩形中，，，点，分别从，，两点同时出发，以相同的速度在，边上匀速运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．分别连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作的垂线段，并使得，连接， ∵四边形是矩形，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 当点，，共线时（如图），取得最小值，即取得最小值，为的长， 此时，故选：． 8．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：如图1，过点C作，且在上取点，使得，连接．    是等边三角形，，， ，，， ，，，， ∴．连接，则， 共线时，m的值最小，为，如图2，． ∵在等边三角形中，，，∴， ∵，即，∴， ∴，∴在中，，即m的最小值为．故选：B． 9．（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形，∴，，，．． ，，．，， 当点、、共线时，最小，最小值为．最小值为． ，． 在中，，，． 最小值为4．故选：C． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、，又∵等边的边长为，为高，∴，，，平分， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，即的最小值， 故选：B． 11．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为 ．    【答案】 【详解】解：连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，    ∵，点P是的中点，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，，∴，∴是等边三角形，∴， 过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小． ∴在中，，∴的最小值为， ∴的最小值为．故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 【答案】 【分析】过点A作，且，连接，如图所示，证明，得到，则，当为最小时，即为最小，则当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M，证明 ，得到，，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A作，且，连接，如图所示，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴当为最小时，即为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接，交于点M， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∴∴CD+BE的最小值为；故答案为∶ ． 13．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过B作，在上截取，连接， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， 当A、D、F在同一直线上时，的最小值为的长， 延长到G，使，连接，∴，，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴四边形为正方形，且边长为2， ∴，，∴，即的最小值为，故答案为：． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即． ∴的最小值为．故答案为：． 15．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴，故答案为：，． 16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、两点， 令，则；令，则，解得：， ，，，，， ，，，， ，，如图，取点，连接、、， ，，，，， 在和中，，，， ，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，，解得：， 直线的解析式为，令，则，点的坐标为，故答案为： 17．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，为等腰的高，其中，， （用含α的代数式表示）；E，F分别为线段，上的动点，且，当且取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接， 是等腰三角形，， ，， ，当且取最小值时， ，，， ，在与中，，，∵， ∴当B、F、H三点共线时，即当F为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，，故答案为：，． 18．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，E是线段上一动点，连接．(1)如图1，若，的面积为 ； (2)如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；(3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．    【答案】(1)32(2)见解析(3) 【详解】（1）解：过点C作于M， ∵，∴，∴由勾股定理得：， ∵，，∴，∴， ∴；故答案为：32； （2）证明：延长到Q，使，连接，取的中点R，连接，如图， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，，∴； ∵，∴，∴，∴； ∵，∴，即点G是的中点，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴； （3）解：在的上方作，且使，连接，如图， ∵，∴，∴， ∵，∴当点D在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；过点F作于点N，连接，∴， ∴是等腰直角三角形，由勾股定理得， 而由（1）知，即，∴垂直平分线段， ∴，∴，， ∴， ∴，∴， ∵，∴； 在（1）中，由勾股定理得：， ∴，∴，即取得最小值时的长度为． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 3 模型1.最值模型-逆等线模型 3 19 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 例3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 例4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）锐角△ABC中，，，∠B＝60°，点D、E分别是边AB、AC上的动点，并且满足，则CD＋BE的最小值为 ． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级上·山东·期末）如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．    例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度，再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，菱形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，且，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 2．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别在上，且，则的最小值为（    ）   A． B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形边长为1，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·福建莆田·开学考试）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽·模拟预测）在矩形中，，，点，分别从，，两点同时出发，以相同的速度在，边上匀速运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．分别连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽宿州·二模）如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（    ）    A． B． C．2 D．3 9．（23-24九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，等边的边长为，为高，点、分别为、上两个动点，且满足，求的最小值（   ） A．1 B． C． D． 11．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为 ．    12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰的直角边长为4，D、E分别为边上两个动点，且，则的最小值 13．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ． 14．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 15．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为 . 17．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，为等腰的高，其中，， （用含α的代数式表示）；E，F分别为线段，上的动点，且，当且取最小值时，的度数为 ． 18．（23-24八年级下·北京·期中）在中，，E是线段上一动点，连接．(1)如图1，若，的面积为 ； (2)如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；(3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．    12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$