4.4.1对数函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1 对数函数的概念 人教A版2019必修第一册 第四章《指数函数与对数函数》 一 二 三 学习目标 理解对数函数的概念 会求与对数函数有关的定义域问题(重点) 了解对数函数在生产实际中的简单应用(难点) 学习目标 情景 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式是： 探究新知 , x∈[０，＋∞） 思考：反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 如图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0) (0< y0 ≤1)作x轴的平行线，与函数 的图象有且只有一个交点(x0 ， y0) 刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律. 1.对数函数概念 y=ax(a>0且a≠1) x=loga y(a>0且a≠1)， x也是y的函数. y=loga x (a>0且a≠1). 通常，我们用x表示自变量， y表示函数. 定义：一般地,形如 的函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ①底数a为大于0且不等于1的常数． ②自变量x在真数的位置上，且x的系数是1. ③logax系数是1. 教材例1. 对数函数的定义域 例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x， (1)该地的物价经过几年后会翻一番？ (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 解: (1)由题意可知，经过y年后物价x为 x= (1+5%)y, 即 x= 1.05y (y∈[0，+∞)) . 由指数与对数的关系，可得 y= log1.05x (x∈[1，+∞)) . 当 x= 2时, y ≈ 14 . 所以，该地区的物价经过14年后会翻一番 . 教材例2. 对数函数的实际应用 (2)根据函数 y= log1.05x (x∈[1，+∞)) ，利用计算工具，可以得下表： 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 例2 (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长, 但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 人教A版2019必修第一册 第四章《指数函数与对数函数》 4.4.2 对数函数的图象和性质（1） 一 二 三 学习目标 初步掌握对数函数的图象和性质.(重点) 会类比指数函数研究对数函数的性质.(重点) 掌握对数函数的图象和性质的简单应用.(难点) 学习目标 情境导入 历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 【想一想】 我们能用研究指数函数的方法研究对数函数的图象和性质吗？ 与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其性质．请完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像． x y = log2x 0.5 1 2 4 6 8 16 -1 0 1 2 2.6 3 4 12 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ x y o 1 13 完成下列表格，对比两个函数的取值列表，并用描图法画出y = log0.5x的图像，能否看出两个函数的图象有什么关系？ x y = log2x y = log0.5x 0.5 -1 1 0 2 1 4 2 6 2.6 8 3 16 4 1 0 -1 -2 -2.6 -3 -4 两个图象关于x轴对称 14 我们发现，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称. 利用换底公式，可以得到： 因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然. 选取底数a (a>0，且a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=logax ，(a>0，且a≠1) 的值域和性质吗？ 选取底数a (a>0,且a≠1) 的若干个不同的值，发现对数函数y = logax ,(a>0,且a≠1) 的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型，因此，对数函数的性质可以分为0<a<1和a>1两种情况进行研究． 16 图象特征 代数表述 　 　 　 　 　 　 定义域 : 值 域 : R 增函数 在(0,+∞)上是 认真观察函数y=log2x 的图象填写下表 图象位于 图象向上、向下 自左向右看图象 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y轴右方 ( 0,+∞) 无限延伸 逐渐上升 图象特征 函数性质 　 　 　 　 　 　 定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 减函数 在(0,+∞)上是： 图象位于 图象向上、向下 自左向右看图象 认真观察函数 的图象填写下表 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y轴右方 无限延伸 逐渐下降 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 定点 单调性 函数值特点 y a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 定点 单调性 函数值特点 y a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 定点 单调性 函数值特点 y a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 定点 单调性 函数值特点 y a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 定点 单调性 函数值特点 y a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 定点 单调性 函数值特点 y （6）底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称. （7）在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”； 时，越大，图象越低，简称“底大图低”. 0<a<1 a>1 图像 定义域 值域 性质 定点 单调性 对数函数的图像和性质 （6）底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称. （7）在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”；时，越大，图象越低，简称“底大图低”. 2. 反函数的概念 函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。 你能发现函数y=2x 与 y=log2x的图象间有什么关系？ 从图象中你能发现函数y=2x 与 y=log2x的图象间有什么关系？ 两个函数的图象 关于直线y=x对称. 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=x y=log2x y=2x A A1 B B1 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 y=x 28 名 称 指 数 函 数 对 数 函 数 一般形式 定义域 值 域 指数函数与对数函数的图像与性质的比较 图 象 Y Y X X 0 0 单调性 的图象与 的图象关于直线 y=x 对称 29 反函数：x与y对调后的一组函数。 反函数的性质： （1）反函数的定义域是原函数的值域， 反函数的值域是原函数的定义域. （2）互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称； （3）若函数y=f(x)图像上有一点(a,b), 则点(b,a)必在其反函数的图像上. 函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。 3. 反函数的性质 教材例1.比较对数值的大小 (4) log56，log65 解：∵ 补充.比较对数值的大小 (5)log50.4，log60.4. 解：作出y＝log5x，y＝log6x的图象，观察图象可得log50.4<log60.4. 比较对数值大小时常用方法： 1.底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性. 2.底数不同，真数相同：利用对数函数图像（当a>1时，在（1，+∞）底大图低；换底. 3.底数不同，真数不同：换底或借助中间量（0或1）. 教材例2.对数函数图像和性质应用 ～ 教材例2.对数函数图像和性质应用 1.对数函数的概念图象和性质 课堂小结 2.对数函数的图像和性质 3.反函数概念及性质 课后作业 1.教材P131页4.4.1练习1-3 P135 4.4.2练习 1-3写在教材上 2.活页 P63-P64 4.4.1《对数的图像及性质1》 $$