精品解析：湖南省长沙市雅礼系部分学校2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷

2025年上学期初三年级数学《寒假作业错题再练》试题卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，时量120分钟 一、单选题 1. 下列图形不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列判断正确的是（　　） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件 3. 福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　） A. 15cm2 B. 12cm2 C. 15πcm2 D. 12πcm2 7. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ） A. 35° B. 55° C. 65° D. 70° 10. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题 11. 函数的自变量的取值范围是______． 12. 在一个不透明的盒子中装有个小球，它们只有颜色上的区别，其中有个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于，那么可以推算出大约是______． 13. 如图，在中，，点是和角平分线的交点，则______． 14. 如图，正比例函数与反比例函数图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______． 15. 已知中，，，则______． 16. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值： ，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入． 19. 如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的周长． 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 21. 如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，，平分交边于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若求的长． 22. 卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同． （1）求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？ （2）若学校还需购买、两种器材共件，且种器材数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？ 23. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，，求直径的长． 24. 定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数． （1）已知为函数0系特征数，则该函数的解析式为________； （2）若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图像截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式； （3）已知为函数的0系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图像交于，两点，令，试确定的取值范围． 25. 如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值； （3）设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期初三年级数学《寒假作业错题再练》试题卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，时量120分钟 一、单选题 1. 下列图形不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的知识点，解题的关键是理解轴对称图形的定义，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义，逐一分析选项中的图形能否找到使图形对折后两部分完全重合的直线． 【详解】A、五角星沿着过其中心和每个角顶点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有5条对称轴，是轴对称图形． B、该图形找不到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形． C、长方形沿着其对边中点的连线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有2条对称轴，是轴对称图形． D、等边三角形沿着过其顶点和对边中点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有3条对称轴，是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列判断正确的是（　　） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意； B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意； D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 3. 福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据80000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，二次根式的加法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、与不能合并，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5. 若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可得到解答． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数的两个分支分别在第一、三象限， ∴反比例函数随的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的在各自象限内的增减性是解题的关键． 6. 一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（　　） A. 15cm2 B. 12cm2 C. 15πcm2 D. 12πcm2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出圆锥母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的母线长， 所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）． 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即或，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 8. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 9. 如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ） A. 35° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】∵为的直径， ∴， ∵，∴， ∴. 故选B. 【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角的性质. 10. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 二、填空题 11. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】，且． 【解析】 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：二次根式、分式要有意义， ， 解得：，且， 故答案为：，且． 【点睛】本题考查了二次根式、分式有意义的条件；掌握好相关的定义是本题的关键． 12. 在一个不透明的盒子中装有个小球，它们只有颜色上的区别，其中有个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于，那么可以推算出大约是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，， 解得，． 故估计大约有个． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，解题的关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 13. 如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据角平分线的定义、三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和平分和， ∴． 故答案为：． 14. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据正比例函数和反比例函数的性质求出点的横坐标，再利用函数图象法即可得． 【详解】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为， 不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方， 则的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键． 15. 已知中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，设，则．根据勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂和绝对值，先计算负整数指数幂和零指数幂，去绝对值，再算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值： ，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入． 【答案】，4． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解： =， ∵当x+2≠0且x﹣2≠0，即x≠﹣2且x≠2时分式有意义， ∴取x=3， 当x=3时，原式==4． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19. 如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，， 由作图知，，， 在与中，， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：，， ， 平分； ， ， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）见解析 （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示， 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，，平分交边于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查矩形，全等三角形，勾股定理，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，进行解答，即可． （1）根据矩形判定进行解答，即可； （2）过点作于，根据角平分线的性质，可得；根据，得到，；根据勾股定理，求出，根据全等三角形的判定和性质，得到，，根据，设，，则，根据勾股定理，解出，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵平分， ∴， 中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， ∴． 22. 卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同． （1）求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？ （2）若学校还需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？ 【答案】（1）购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，利用数量总价单价，结合学校用元购买了、两种体育器材共件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购买一件种器材所需费用，再将其代入中，即可求出购买一件种器材所需费用； （2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据再次购买的种器材的数量不多于种器村数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元； 【小问2详解】 解：设学校还需购买件种器材，则还需购买件， 根据题意得：， 解得：． 设学校再次购买两种器材共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：至少要花元钱． 23. 已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，证，得出，根据切线的判定推出即可； （2）求出，根据相似三角形的判定推出，根据相似三角形的性质得出比例式，求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是切线， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和判定定理是解题的关键． 24. 定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数． （1）已知为函数的0系特征数，则该函数的解析式为________； （2）若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图像截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式； （3）已知为函数的0系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图像交于，两点，令，试确定的取值范围． 【答案】（1） （2）直线的解析式为 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合． （1）根据定义求出a的值，然后代入求出顶点式即可得到答案； （2）先将代入，得到，根据题意，得，计算即可求出答案； （3）联立一次函数与反比例函数得，进而有，由得代入，得，再根据，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵为函数的0系特征数， ∴，，， ∴， ∴函数解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵为函数的特征数， ∴， 令， ∴， ∴， ∵二次函数图像截直线所得的线段长度恒为， ∴利用两点间的距离公式可得， ∴即对于任意的，恒成立，即， 解得：， 将代入上式可得， 解得：． ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵为函数的0系特征数， ∴， ∵一次函数和反比例函数的图像交于，两点， 联立得：，即， 则， 代入可得， ∵， ∴， 将代入上式得：， 又∵， ∴，， 解得：， ∴当时，， 当时，． ∴． 25. 如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值； （3）设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）． 【答案】（1） （2）1 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据切线性质及垂线段最短可得：，，利用勾股定理可得，再运用三角函数定义即可得出； （2）连接，如图2，可证得，，再结合三角形内角和定理可得：，运用切线长定理推论可得出，即可求得答案； （3）证明，得出，再运用勾股定理及切线长定理可得：，，，即可求得答案． 【小问1详解】 ∵， ∴，， ∵是的切线，如图1， ∴， ∴， ∴， ∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 连接，如图2， ∵、分别与相切于P、Q， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别与相切于P、F、Q， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，连接，由（2）知：， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了一元二次方程及根与系数关系，切线的性质，切线长定理，三角函数定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，综合性较强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $