第19讲 统计和概率的简单应用（8大考点）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第19讲 统计和概率的简单应用 课程标准 学习目标 1 掌握数据收集、整理、描述的基本方法，理解统计量（平均数、方差等）的实际意义。 2 能通过统计图表（条形图、折线图、扇形图）直观分析数据特征。 3 运用统计知识解决实际问题（如抽样调查、数据推断）。 4 理解概率的数学含义，区分确定事件、随机事件。 5 会用列举法（列表、树状图）计算简单随机事件的概率。 6 结合生活实例（如游戏公平性、风险评估）解释概率结果。 1. 能独立完成数据收集→整理→分析的完整流程。 2. 熟练绘制并解读常见统计图表，提炼有效信息。 3. 通过实例理解统计结论的局限性（如抽样误差）。 4. 掌握概率计算的基本公式（古典概型），解决简单问题。 5. 能通过实验或模拟验证概率理论的合理性。 6. 应用概率模型解释生活中的随机现象（如天气预报）。 知识点一、抽样收集数据及样本的要求 在统计里，日在统计里，我们通常是从总体中抽取样本，并根据样本的某种特性估计总体的相应特性为了使估计、推断更加准确，抽样时要注意样本的代表性和广泛性 1.在抽样调查中，为了使样本尽可能具有代表性，除了要求抽查的个体的数目要合适外，还应在抽取样本时，不能偏向某些个体，应使总体中的每个个体被抽取的可能性相同. 2.抽样调查是实际生活中经常采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况.否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况. 知识点二、简单随机抽样 一般地，从个体总数为N的总体中抽取容量为n的样本(n<N)，且每次抽取样本时，总体中的每个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样. 用简单随机抽样的方法抽取的样本，每个个体被抽到的机会是均等的，即抽样的过程具有随机性. 知识点三、统计图表给人的误导 1.折线统计图给人的误导 折线统计图能够清楚地表示出事物的变化情况，但是不能直观地表示两个统计量的变化速度，因此有些商家为了突出自己产品的优势，在横、纵轴的单位长度的设计上，通过直观图形给人产生误导;或在与对手竞争时，在横纵轴的单位长度的设计上不一致，根据需要突出自己的变化速度快(慢)，通过直观图形给人误导人. （1）在两个单位长度不一致的折线统计图中，我们往往通过计算才能做出正确判断. （2）只有在两个折线统计图横、纵坐标轴上单位长度统一时，才能通过图形得出正确结论. 2.条形统计图给人的误导 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数目，但是有些条形统计图的纵轴上的数值不是从0开始的，会误导我们根据条形"柱"的高度比值来判断各个统计量的倍数关系，给我们造成一定的"错觉". 为了使得条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数据应从0开始. 3.扇形统计图给人的误导 扇形统计图能清楚地表示出个体占总体的百分比，但是在扇形统计图的总量不知道时，扇形统计图会误导人们由某两个统计量的百分比去判断这两个统计量的大小. 在知道两个统计量的总量是多少时，才能根据扇形统计图判断两个统计量的大小. 知识点四、正确分析媒体数据再做决策 媒体提供的数据很多，我们从中能获得很多有用的信息，但有些信息不一定客观、全面，因此，我们要在全面综合考虑各种因素，"货比三家"后，再做出决策 在做决策时，最好能根据自己的需要，把从媒体中得到的信息加以处理，使它们能融合到一个统计图中. 知识点五、统计分析帮你做预测 根据统计表中的数据在平面直角坐标系中描出对应的点，如果这些点大致分布在一条直线上，我们就可以找出两点，使其他的点都靠近这条直线，我们可以根据一次函数的性质做估计. 知识点、用概率验证抽签是公平的 抽签虽然有先有后，但是先抽的人与后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必争着先抽签，这可以用概率知识来验证. 1.用计算器产生随机数或摸球游戏也是抽签方式的数学模型，这种选取个体的方式，对全体中的每个个体也是公平的； 2.用概率知识判断游戏公平性的方法有两种情况: （1）对于不计分的游戏，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）对于计分的游戏，除算出概率外，还需要根据游戏规则中规定的方法，分别计算各自的得分，若得分相同，则公平;若不相同，则不公平. 知识点六、频率与概率的关系 从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 1.频率与概率之间的关系可用下表表示： 关系 名称 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋近于概率 2.当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多或各种结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率 3.用频率的稳定值可估计事件发生的概率，但频率不等同于概率，是一个近似值，频率是对概率的估计，用某一事件发生的概率可预测试验时该事件发生的频率. 知识点七、用概率进行估计 在科学研究工作中，生态学家经常要确定生物种群的数量，由于生物种群可能数量很多，或者分布很广，很难找到所有的生物个体，这时，他们往往利用"生物取样"的方法来估计种群的数量. 生物取样，就是在一个小区域内统计生物种群的数量(一个样本)，假设这个样本与较大区域有相同的生物种群密度，统计这个小区域内的生物种群的数量然后再乘以相应的倍数，即可确定一个较大区域的生物种群的数量. 知识点八、计算事件发生次数的平均值 一般地，如果随机事件A发生的概率是P(A)，那么在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m=n×P(A). 1.解释概率值的含义时，一定要强调大量重复试验； 2.随机事件A发生的概率P(A)，在相同条件下重复n次试验，不是一定发生n×P(A)次.例如，掷一枚均匀的骰子，掷得"6"的概率等于的含义:如果掷很多次的话，那么平均6次中就有1次掷得"6". 1．下列事件中， ①太阳从西边升起； ②任意摸一张体育彩票会中奖； ③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2．有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、7cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．“a是实数，|a|≥0”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D．不可能事件发生的概率为0 4．在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的1个白球2个红球，随机摸出1个球，恰好是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 6．如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（　　） A．1月平均气温在0℃以下，降水量多 B．从4月到10月，气温逐渐升高 C．7月份以后，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，7、8月份的降水较多 7．如图，转盘中3个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针所落扇形中的数为偶数的概率为 　 　． 8．如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为210°，黄色部分扇形的圆心角度数为90°．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是 　 　． 9．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 合格的产品数m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836 合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959 估计这批产品合格的产品的概率为 　 　． 10．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 　 　． 11．如图，Rt△ABC是一块草坪，其中∠C＝90°，BC＝12m，AB＝15m，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 　 　． 12．从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中70～80分数段的条形还未画出．如果60分以上为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为 　 　． 13．某初中学校举办了“中国古诗词大赛”，三个年级进入决赛的学生占比如图所示，则表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为 　 　°． 14．（1）不透明的袋子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出2个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有9个编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出8个球，它们编号之和是偶数的概率为 　 　． 15．如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． （1）现任意转动转盘A1次（若指针落在扇形的边界线上，则重转1次），当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为　 　； （2）现任意转动转盘A，B各1次（若指针落在扇形的边界线上，则重转1次），当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 16．某射击队进行了射击训练测试，甲、乙两队员10次测试成绩如下： 甲队员射击成绩条形统计图 乙队员射击成绩： 10分，8分，7分， 9分，10分，8分， 10分，9分，10分，9分 （1）下列统计表中，a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； 平均数 中位数 众数 方差 甲队员 a b 10 1.4 乙队员 9 9 c 1 （2）请你从甲乙两位队员中选一位参加比赛，并利用以上统计量说明理由． 17．某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了不完整的统计图如下． （1）求出参加捐书的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求这些学生捐书数量的中位数； （3）若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是　 　本． 18．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为　 　，扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为　 　度，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　 　分． （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共300人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 19．为了解八年级学生每天完成课外作业时间的情况、从全区八年级学生中随机抽取了部分学生每天完成课外作业的时间进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： 时间x（小时） 频数y（人数） 频率 0≤x≤0.5 8 0.2 0.5＜x≤1 c 0.3 1＜x≤1.5 12 0.3 1.5＜x≤2 6 b 2＜x≤2.5 2 0.05 合计 a 1 （1）表中a，b所表示的数分别为a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）请在图中补全频数分布直方图； （3）根据规定，学生每天完成课外作业的时间不超过1.5小时，那么全区4800名八年级学生中每天完成课外作业时间超过规定的学生约有多少人？ 20．小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？ （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率． （3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 统计和概率的简单应用 课程标准 学习目标 1 掌握数据收集、整理、描述的基本方法，理解统计量（平均数、方差等）的实际意义。 2 能通过统计图表（条形图、折线图、扇形图）直观分析数据特征。 3 运用统计知识解决实际问题（如抽样调查、数据推断）。 4 理解概率的数学含义，区分确定事件、随机事件。 5 会用列举法（列表、树状图）计算简单随机事件的概率。 6 结合生活实例（如游戏公平性、风险评估）解释概率结果。 1. 能独立完成数据收集→整理→分析的完整流程。 2. 熟练绘制并解读常见统计图表，提炼有效信息。 3. 通过实例理解统计结论的局限性（如抽样误差）。 4. 掌握概率计算的基本公式（古典概型），解决简单问题。 5. 能通过实验或模拟验证概率理论的合理性。 6. 应用概率模型解释生活中的随机现象（如天气预报）。 知识点一、抽样收集数据及样本的要求 在统计里，日在统计里，我们通常是从总体中抽取样本，并根据样本的某种特性估计总体的相应特性为了使估计、推断更加准确，抽样时要注意样本的代表性和广泛性 1.在抽样调查中，为了使样本尽可能具有代表性，除了要求抽查的个体的数目要合适外，还应在抽取样本时，不能偏向某些个体，应使总体中的每个个体被抽取的可能性相同. 2.抽样调查是实际生活中经常采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况.否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况. 知识点二、简单随机抽样 一般地，从个体总数为N的总体中抽取容量为n的样本(n<N)，且每次抽取样本时，总体中的每个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样. 用简单随机抽样的方法抽取的样本，每个个体被抽到的机会是均等的，即抽样的过程具有随机性. 知识点三、统计图表给人的误导 1.折线统计图给人的误导 折线统计图能够清楚地表示出事物的变化情况，但是不能直观地表示两个统计量的变化速度，因此有些商家为了突出自己产品的优势，在横、纵轴的单位长度的设计上，通过直观图形给人产生误导;或在与对手竞争时，在横纵轴的单位长度的设计上不一致，根据需要突出自己的变化速度快(慢)，通过直观图形给人误导人. （1）在两个单位长度不一致的折线统计图中，我们往往通过计算才能做出正确判断. （2）只有在两个折线统计图横、纵坐标轴上单位长度统一时，才能通过图形得出正确结论. 2.条形统计图给人的误导 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数目，但是有些条形统计图的纵轴上的数值不是从0开始的，会误导我们根据条形"柱"的高度比值来判断各个统计量的倍数关系，给我们造成一定的"错觉". 为了使得条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数据应从0开始. 3.扇形统计图给人的误导 扇形统计图能清楚地表示出个体占总体的百分比，但是在扇形统计图的总量不知道时，扇形统计图会误导人们由某两个统计量的百分比去判断这两个统计量的大小. 在知道两个统计量的总量是多少时，才能根据扇形统计图判断两个统计量的大小. 知识点四、正确分析媒体数据再做决策 媒体提供的数据很多，我们从中能获得很多有用的信息，但有些信息不一定客观、全面，因此，我们要在全面综合考虑各种因素，"货比三家"后，再做出决策 在做决策时，最好能根据自己的需要，把从媒体中得到的信息加以处理，使它们能融合到一个统计图中. 知识点五、统计分析帮你做预测 根据统计表中的数据在平面直角坐标系中描出对应的点，如果这些点大致分布在一条直线上，我们就可以找出两点，使其他的点都靠近这条直线，我们可以根据一次函数的性质做估计. 知识点、用概率验证抽签是公平的 抽签虽然有先有后，但是先抽的人与后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必争着先抽签，这可以用概率知识来验证. 1.用计算器产生随机数或摸球游戏也是抽签方式的数学模型，这种选取个体的方式，对全体中的每个个体也是公平的； 2.用概率知识判断游戏公平性的方法有两种情况: （1）对于不计分的游戏，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）对于计分的游戏，除算出概率外，还需要根据游戏规则中规定的方法，分别计算各自的得分，若得分相同，则公平;若不相同，则不公平. 知识点六、频率与概率的关系 从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 1.频率与概率之间的关系可用下表表示： 关系 名称 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋近于概率 2.当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多或各种结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率 3.用频率的稳定值可估计事件发生的概率，但频率不等同于概率，是一个近似值，频率是对概率的估计，用某一事件发生的概率可预测试验时该事件发生的频率. 知识点七、用概率进行估计 在科学研究工作中，生态学家经常要确定生物种群的数量，由于生物种群可能数量很多，或者分布很广，很难找到所有的生物个体，这时，他们往往利用"生物取样"的方法来估计种群的数量. 生物取样，就是在一个小区域内统计生物种群的数量(一个样本)，假设这个样本与较大区域有相同的生物种群密度，统计这个小区域内的生物种群的数量然后再乘以相应的倍数，即可确定一个较大区域的生物种群的数量. 知识点八、计算事件发生次数的平均值 一般地，如果随机事件A发生的概率是P(A)，那么在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m=n×P(A). 1.解释概率值的含义时，一定要强调大量重复试验； 2.随机事件A发生的概率P(A)，在相同条件下重复n次试验，不是一定发生n×P(A)次.例如，掷一枚均匀的骰子，掷得"6"的概率等于的含义:如果掷很多次的话，那么平均6次中就有1次掷得"6". 1．下列事件中， ①太阳从西边升起； ②任意摸一张体育彩票会中奖； ③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员．属于不确定事件的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【解答】解：①太阳从西边升起，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； ②任意摸一张体育彩票会中奖，③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下，④小明长大后成为一名宇航员，可能发生，也可能不发生，属于随机事件，符合题意． 故选：C． 【点评】该题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决这类基础题的主要方法． 2．有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、7cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 【分析】利用列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7，3、5、9，3、7、9，5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3种， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：C． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了三角形的三边关系． 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．“a是实数，|a|≥0”是必然事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 C．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 D．不可能事件发生的概率为0 【分析】根据随机事件，概率的意义，利用频率估计概率逐一判断即可解答． 【解答】解：A、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故A不符合题意； B、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，故B符合题意； C、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故C不符合题意； D、不可能事件发生的概率为0，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，利用频率估计概率，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 4．在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的1个白球2个红球，随机摸出1个球，恰好是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【解答】解：随机不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的1个白球2个红球，随机摸出1个球，共有3种等可能结果，其中摸到红球的有2种可能结果， 所以恰好是红球的概率是． 故选：D． 【点评】本题考查了概率公式的应用，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是关键． 5．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的有4种结果， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（　　） A．1月平均气温在0℃以下，降水量多 B．从4月到10月，气温逐渐升高 C．7月份以后，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，7、8月份的降水较多 【分析】根据统计图信息对四个选项逐个判断即可． 【解答】解：1月平均气温在0℃以下，但降水量并不多，故选项A错误，不符合题意； 4月到7月，气温逐渐升高，7月后下降，故选项B错误，不符合题意； 从8月份以后，降水量才逐渐减少，故选项C错误，不符合题意； 冬冷夏热，7、8月份的降水较多，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查折线统计图，条形统计图，能从统计图中获取数据是解题的关键． 7．如图，转盘中3个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针所落扇形中的数为偶数的概率为 　　． 【分析】直接利用概率公式求解． 【解答】解：∵指针指向的可能情况有3种，而其中是偶数的有1种， ∴指针所落扇形中的数为偶数的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 8．如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为210°，黄色部分扇形的圆心角度数为90°．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是 　　． 【分析】求出蓝色部分所占整体的几分之几即可． 【解答】解：蓝色部分所在的圆心角的度数为360°﹣210°﹣90°＝60°， 因此蓝色部分所占整体的，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 9．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 合格的产品数m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836 合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959 估计这批产品合格的产品的概率为 　0.96　． 【分析】根据在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即可估计这批产品合格的产品的概率． 【解答】解：由图表可知合格的产品频率都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96， 故答案为：0.96． 【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 10．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是 　2400　． 【分析】因为摸到黑球的频率在0.6附近波动，所以摸出黑球的概率为0.6，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程解答即可． 【解答】解：设黑球的个数为x， ∵黑球的频率在0.6附近波动， ∴摸出黑球的概率为0.6，即0.6， 解得x＝2400． 所以可以估计黑球的个数为2400． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 11．如图，Rt△ABC是一块草坪，其中∠C＝90°，BC＝12m，AB＝15m，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上，则小鸟落在阴影部分的概率为 　　． 【分析】根据勾股定理得到AC＝9，于是得到△ABC的内切圆半径，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝12m，AB＝15m， ∴AC9（m）， ∴△ABC的内切圆半径3（m）， ∴S△ABCAC•BC9×12＝54（m2），S阴影＝9π（m2）， ∴小鸟落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时也考查了勾股定理． 12．从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中70～80分数段的条形还未画出．如果60分以上为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为 　75%　． 【分析】先求出及格人数，再除以总人数后乘以100%即可得出答案． 【解答】解：由题意知，及格的人数为60﹣（6+9）＝45（人）， 所以估计全校成绩及格的百分率为100%＝75%， 故答案为：75%． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 13．某初中学校举办了“中国古诗词大赛”，三个年级进入决赛的学生占比如图所示，则表示七年级学生占比的扇形圆心角度数为 　36　°． 【分析】首先求得七年级学生所占的百分比，然后乘以周角即可求得圆心角的度数． 【解答】解：（1﹣60%﹣30%）×360°＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查的是扇形统计图，熟练掌握各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°是解题的关键． 14．（1）不透明的袋子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出2个球，求它们编号之和是偶数的概率． （2）不透明的袋子中装有9个编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的小球，这些球除编号外无其他区别．从袋子中随机摸出8个球，它们编号之和是偶数的概率为 　　． 【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数以及它们编号之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由题意可列出所有等可能的结果数以及它们编号之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）列表如下： 1 2 3 1 （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，3） 3 （3，1） （3，2） 共有6种等可能的结果，其中它们编号之和是偶数的结果有：（1，3），（3，1），共2种， ∴它们编号之和是偶数的概率为． （2）从袋子中随机摸出8个球，所有等可能的结果有：（1，2，3，4，5，6，7，8），（1，2，3，4，5，6，7，9），（1，2，3，4，5，6，8，9），（1，2，3，4，5，7，8，9），（1，2，3，4，6，7，8，9），（1，2，3，5，6，7，8，9），（1，2，4，5，6，7，8，9），（1，3，4，5，6，7，8，9），（2，3，4，5，6，7，8，9），共9种， 其中它们编号之和是偶数的结果有：（1，2，3，4，5，6，7，8），（1，2，3，4，5，6，8，9），（1，2，3，4，6，7，8，9），（1，2，4，5，6，7，8，9），（2，3，4，5，6，7，8，9），共5种， ∴从袋子中随机摸出8个球，它们编号之和是偶数的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 15．如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． （1）现任意转动转盘A1次（若指针落在扇形的边界线上，则重转1次），当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为　　； （2）现任意转动转盘A，B各1次（若指针落在扇形的边界线上，则重转1次），当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【分析】（1）直接用求概率的方法求概率即可． （2）列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可． 【解答】解：（1）当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为， 故答案为：； （2）根据题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 由表可知，共有9种等可能的结果，其中转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有5种结果， 所以转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数得概率为． 【点评】本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率．掌握概率公式是关键． 16．某射击队进行了射击训练测试，甲、乙两队员10次测试成绩如下： 甲队员射击成绩条形统计图 乙队员射击成绩： 10分，8分，7分， 9分，10分，8分， 10分，9分，10分，9分 （1）下列统计表中，a＝ 　9　，b＝ 　9.5　，c＝ 　10　； 平均数 中位数 众数 方差 甲队员 a b 10 1.4 乙队员 9 9 c 1 （2）请你从甲乙两位队员中选一位参加比赛，并利用以上统计量说明理由． 【分析】（1）分别根据加权平均数、中位数以及众数的定义解答即可； （2）根据中位数、众数、平均数和方差进行分析即可． 【解答】解：（1）由题意可知，a9； b9.5， 乙队员射击成绩中10出现的次数最多，故众数c＝10， 故答案为：9，9.5，10； （2）选乙参加比赛，理由如下： 因为两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，即乙更稳定，所以选乙参加比赛．（答案不唯一）． 【点评】此题考查了条形统计图，方差、平均数、中位数、众数，熟练掌握各个量的求法及意义是解题的关键． 17．某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了不完整的统计图如下． （1）求出参加捐书的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求这些学生捐书数量的中位数； （3）若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是　7　本． 【分析】（1）由捐5本书的人数及其所占百分比相除即可求出参加捐书的学生总人数；用总人数减去其余捐书的人数即可求出捐8本书的人数，从而补全图形； （2）这100人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，求第50和第51个数据的平均数即可； （3）先求出平均数，漏掉的那个学生捐书数量比平均数大即可． 【解答】解：（1）参加捐书的学生总人数40÷40%＝100（人），捐8本书的有100﹣40﹣20﹣25﹣5＝10（人）， 条形统计图如下： （2）这100人捐书的本数，第50和第51个数据都是6， ∴这些学生捐书数量的中位数为：； （3）这100名学生捐书数量的平均数为：， ∵平均数增大了， ∴漏掉的那个学生捐书数量最少是7本， 故答案为：7． 【点评】本题考查的是条形统计图与扇形统计图，中位数，加权平均数，掌握条形统计图与扇形统计图之间的联系是解题的关键． 18．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）随机抽取的八年级学生人数为　60　，扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为　90　度，抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　77　分． （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共300人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【分析】（1）A组人数除以所占的比例求出随机抽取的八年级学生人数，360°乘以B组所占的比例，可求出B组对应扇形的圆心角，根据中位数的确定方法求出中位数； （2）求出D组人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【解答】解：（1）随机抽取的八年级学生人数为3÷5%＝60（人）， 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为， 将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78， ∴抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是（分）， 故答案为：60，90，77； （2）D组的人数为：60﹣3﹣15﹣16﹣6＝20（人）， （3）（人）， 答：80分及以上的学生人数为130人． 【点评】本题考查统计图的综合应用，求中位数，利用样本估计总体，解题的关键是数形结合． 19．为了解八年级学生每天完成课外作业时间的情况、从全区八年级学生中随机抽取了部分学生每天完成课外作业的时间进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： 时间x（小时） 频数y（人数） 频率 0≤x≤0.5 8 0.2 0.5＜x≤1 c 0.3 1＜x≤1.5 12 0.3 1.5＜x≤2 6 b 2＜x≤2.5 2 0.05 合计 a 1 （1）表中a，b所表示的数分别为a＝ 　40　，b＝ 　0.15　； （2）请在图中补全频数分布直方图； （3）根据规定，学生每天完成课外作业的时间不超过1.5小时，那么全区4800名八年级学生中每天完成课外作业时间超过规定的学生约有多少人？ 【分析】（1）根据样本容量＝频数÷频率求解即可； （2）求出c的值即可补全图形； （3）总人数乘以样本中每天完成课外作业的时间超过1.5小时频率之和即可． 【解答】解：（1）a＝8÷0.2＝40，b＝6÷40＝0.15， 故答案为：40、0.15； （2）c＝0.3×40＝12，补全图形如下： （3）4800×（0.15+0.05）＝960（人）， 答：全区4800名八年级学生中每天完成课外作业时间超过规定的学生约有960人． 【点评】本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的知识和分析问题以及解决问题的能力，解题的关键是能够读懂统计图，并从中读出有关信息． 20．小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？ （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率． （3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大． 【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案； （3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案． 【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项， ∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：； 故答案为：； （2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：； （3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：； ∴建议小明在第一题使用“求助”． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$