专题09 与三角形有关的几何模型（18个高频考点 共57题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题09 与三角形有关的几何模型 （19个高频考点 共57题） 第一部分：三角形几何模型 1 高频考点01：重心定理 1 高频考点02：“8”字模型 4 高频考点03：“A”字模型 10 高频考点04：角平分线模型 16 高频考点05：三角形的外心与外接圆有关问题 18 高频考点06：三角形的内心与内切圆有关问题 24 高频考点07：解直角三角形 28 第二部分：全等三角形几何模型 33 高频考点08：一线三等角构造全等模型 33 高频考点09：手拉手模型-旋转型全等 40 高频考点10：倍长中线模型 50 高频考点11：正方形中的半角模型 54 高频考点12：“边边角”模型 60 第三部分：相似三角形几何模型 63 高频考点13：“8”字模型相似三角形 63 高频考点14：“A”字模型相似三角形射影定理 66 高频考点15：射影定理 70 高频考点16：一线三等角构造相似模型 75 高频考点17：手拉手模型-旋转型相似 85 高频考点18：三角形中位线定理 92 高频考点19：正弦定理与余弦定理 96 第一部分：三角形几何模型 高频考点01：重心定理 1．（2022•镇江模拟）已知在正方形网格中的位置如图所示，则点叫做的　　 A．中心 B．重心 C．外心 D．内心 【思路点拨】观察图发现，点是三角形的三条中线的交点．结合选项，得出正确答案． 【规范解答】解：、等边三角形才有中心，故此选项不合题意； 、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故此选项符合题意； 、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故此选项不合题意； 、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故此选项不合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查三角形的重心、外心、内心的概念，牢记并能熟练运用． 2．（2021•高邮市二模）如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点，交于点，作，交于点，若的面积为9，则四边形的面积为 　4　． 【思路点拨】连接延长交于点，由，是的重心，可得，再由，能判断四边形是平行四边形，同时得到，分别求出， ，即可求解． 【规范解答】解：连接延长交于点， ， ， ， 是的重心， 点是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查三角形的重心定理，熟练掌握平行线的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键． 3．（2024•盐都区校级一模）在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为　　 A．2 B．3 C．6 D．12 【思路点拨】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【规范解答】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：． 【考点评析】掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是其道对边中点的距离的2倍．运用三角形的中位线定理即可证明此结论． 高频考点02：“8”字模型 4．（2024•沭阳县校级二模）如图，在四边形中，，为上一点，，的延长线交于点，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 【思路点拨】（1）利用平行线的判定与性质解答即可； （2）利用（1）的结论和平行四边形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，利用比例的性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ． ， ． ． ； （2）解：由（1）知：，， 四边形为平行四边形， ． ， ， ， ， ． ， ， 和的周长之比． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2023•新吴区二模）如图，正方形的边长为1，点在边上，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若延长与恰好相交于中点，求的长． 【思路点拨】（1）依据正方形的性质，即可得到，，再根据，即可得到； （2）连接，依据全等三角形的性质，即可得出；再根据是中点，即可得到是的垂直平分线，即可得到；最后依据进行计算即可． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）如图，连接，则， ， ， 又， ， ， 又是的中点， 垂直平分， ， ． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是连接，依据线段垂直平分线的性质进行推算求解． 6．（2023•邗江区校级二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． 【思路点拨】（1）过点作，证，即可得点是的中点； （2）过点作，可证，得，由，，得，再证，可得，由平行线分线段成比例得，由，可得，即可得； 灵活应用：由题意可得，过点作，则，可得，进而可得，易证，可知，过点作，则，，易知点在以为直径的半圆上运动，可求得运动的路径长度，过点作，则，，易知点在以为直径的半圆上运动，可知扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：，， ， 过点作，则，， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 又， ， ， 点是的中点； （2）过点作，则， ， ，，则， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ，则 ， ， ； 灵活应用： 是半圆的直径，点是半圆上一点， ， 过点作，则， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作，则，， ， ，， ，则， ， 点在以为直径的半圆上运动， 运动的路径长为：， 过点作，则，， ， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， 则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差， 即：扫过的面积为， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 高频考点03：“A”字模型 7．（2024•武进区校级二模）如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为 　18　． 【思路点拨】由题意易得，，于是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【规范解答】解：， ，即， ， ， ，即， ． 故答案为：18． 【考点评析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 8．（2024•淮安模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【思路点拨】根据题意可得：，，，，从而可得，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可求出的长，再证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 烛的像的长度为2，像与透镜之间的距离为12． 【考点评析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形，8字模型相似三角形是解题的关键． 9．（2023•丹徒区模拟）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”． （1）如图2，． ①求证：点是点的“和谐点”； ②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”． ①若，求出点的坐标； ②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 　　． 【思路点拨】（1）①由考虑平角，只要证明即可； ②分别做线段、的中垂线，两条中垂线交于点，则为的外心，以为圆心，为半径作圆交于点，点即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明； （2）①通过求出的长度，然后求出直线的表达式为：，设点的坐标为，利用、两点间的距离公式解方程求出点； ②求出两个临界状态时的：一是当点与点重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时． 【规范解答】（1）①证明：，， ， ， ， 点是点的“和谐点”； ②解：以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求，如图： 连接， ，， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 也是点的“和谐点”； （2）解：①，， ， ，， ， ， 直线的表达式为：， 设点的坐标为， 点， ， ， ，， ，或，； ②当点与点重合时，的外接圆与线段恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图： 点，， ， 由①知， ，即， ， ； 当的外接圆与线段恰有一个交点时，如图： 此时的外接圆与线段相切，则，且为直径， ， 点的坐标为， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ； 综上，若满足条件的点恰有2个，长的取值范围是， 故答案为：． 【考点评析】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，渗透了方程和数形结合的思想，关键是理解定义，紧靠．对于（2）②，关键是找出两个临界状态时的：一是当点与点重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时． 高频考点04：角平分线模型 10．（2023•滨海县模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 　　． 【思路点拨】连接，过点作于，根据垂径定理求出，根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点作于， 则， 为等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 11．（2023•鼓楼区校级自主招生）如图，的外心为，垂心为，为的中点．求证：． 【思路点拨】过点作圆的直径，连接，，根据垂心的定义以及圆周角定理可得，，从而得到四边形是平行四边形，进而得到，再根据三角形中位线定理可得，即可求证． 【规范解答】证明：过点作圆的直径，连接，，．如图， 为的垂心， ， 为圆的直径， ， ， 同理， 四边形是平行四边形， ． 又为的中点，为的中点， ． ． 【考点评析】本题主要考查了三角形的五心，垂心的定义以及圆周角定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解答本题的关键． 12．（2022•海陵区二模）如图，点是的外心，连接，若，则的度数为 　73　． 【思路点拨】根据三角形外心的概念，结合圆周角定理分析求解． 【规范解答】解：连接，作的外接圆， 点是的外心， ， ， ， ， 故答案为：73． 【考点评析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 高频考点05：三角形的外心与外接圆有关问题 13．（2023•海安市模拟）如图，△中，，，，为△的内心，若、分别是斜边和直角边上的动点，连接、，则的最小值为 　5.2　． 【思路点拨】分别作，，，垂足分别为点、、，延长到，使，作于点，交于点，延长，交于点，连接，由轴对称的性质可知，根据两点之间线段最短，和垂线段最短，可推出，根据内心的性质，可推出，进而可推出四边形是正方形，设，根据三角形全等可得，，列方程可求，则可求，的长，再根据相似三角形的性质求，进而可求，即可求解． 【规范解答】解：分别作，，，垂足分别为点、、，延长到，使，作于点，交于点，延长，交于点，连接， ，， ， ， 当、、三点共线，且时，最短，即的值最小． 为△的内心，，，， ， 设， 又，，， 四边形是正方形， ， △中，，，， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， 同理， ， ，解得， ， ， ，，， ， 又，， ， ， ， 四边形为矩形，△△， ，，即， ， ， 的最小值为5.2． 故答案为：5.2． 【考点评析】本题主要考查了最短路径问题，三角形内切圆与内心，相似三角形的性质和判定，准确找到点与点的位置是解题的关键． 14．（2022•南京自主招生）如图，在中，，，，，为内心，则　　． 【思路点拨】作于，于，于，于，连接，由条件求出，的长，得到，的长，由勾股定理即可求出的长． 【规范解答】解：作于，于，于，于，连接， 为内心， ， ，， ， ， 同理，， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查三角形的内心，勾股定理，关键是掌握三角形内心的性质，通过作辅助线构造直角三角形． 15．（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和点，与轴交于点、（点在点的左边），且点与点关于坐标原点对称． （1）求该二次函数解析式，并判断点是否在此函数的图象上，并说明理由； （2）若点为此抛物线上一点，它关于轴，轴的对称点分别为，，问是否存在这样的点使得，恰好都在直线上？如存在，求出点的坐标，如不存在，请说明理由； （3）若第四象限有一动点，满足，过作轴于点，设坐标为，，的内心为，连接，直接写出的最小值． 【思路点拨】（1）用待定系数法直接求解即可，将点代入解析式验证即可； （2）先将的解析式求出来，然后将表示出来的点，坐标代入解析式求解； （3）先找出的外接圆，利用是角平分线证得全等，求出外接圆的半径，利用三角形三边关系求解即可． 【规范解答】解：（1）二次函数的图象过点和点， ， 解得， ， 点与点关于坐标原点对称， ， 把代入，得： ， 在此抛物线上； （2）设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 假设此抛物线上存在这样的点， 使得它关于轴，轴的对称点，恰好都在直线上， ，， ， 解得， 故所求点的坐标为或； （3）如图1，连接．，，作的外接圆，连接，，，，过点作轴于点， 轴， ， ， 的内心为， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外接圆， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值， 的最小值为． 【考点评析】本题考查了二次函数综合，待定系数法，几何变换对折，三角形内心，外接圆，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，充分利用三角形内心、合理作出辅助线是解题的关键． 高频考点06：三角形的内心与内切圆有关问题 16．（2024•海州区校级三模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形，其顶角，过点作，垂足为，设，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图：圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形，其顶角，过点作，垂足为， 设， ，， ，， 在中，， ， 由“割圆术”可得圆周率的近似值， 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．（2024•溧阳市一模）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高1.8米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是　　． A． B． C． D． 【思路点拨】过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， 在中，， （米， 米， 这枚小火箭此时的高度是米， 故选：． 【考点评析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024•海安市一模）如图，是菱形的边上的点，连接．将菱形沿翻折，点恰好落在的中点处，则的值是　　 A．4 B．5 C． D． 【思路点拨】利用折叠性质和菱形的性质得出为等腰三角形，过点作，由等腰三角形的性质可得点为中点，由点为中点可得，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作， 四边形为菱形，菱形沿翻折， ，，， ， 三角形为等腰三角形， ， 点为中点， 点为中点， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查折叠的性质，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是证明为等腰三角形． 高频考点07：解直角三角形 19．（2023•宝应县一模）如图，在的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，、分别是、上的格点．若点是这个网格图形中的格点，连结、，则所有满足的点有　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于，构造出一个点，再画出的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意． 【规范解答】解：如图，在边上取点，使，连接，， ，， ， ， ， ，， ， ， △是等腰直角三角形， ， 作△的外接圆交网格于、、、， 根据圆周角定理，得， 故选：． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识． 20．（2022•泰州）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒． （1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度； （2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值． 【思路点拨】（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解； （2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解． 【规范解答】解：（1）设与交于点， 当时，， ， ， ， ， 在矩形中，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 即半圆在矩形内的弧的长度为； （2）连接，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：，， 即的值为8或9． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键． 21．（2021•秦淮区校级自主招生）作图（尺规），作，、分别在直线、上，作等腰直角三角形并作简要说明（不全等）． （1）平行： ① ② （2）不平行： ① ② 【思路点拨】利用一线三垂直画图即可． 【规范解答】解：（1）①如图： 过作直线、的垂线，垂足为，， 在、同侧取，， 连接、、， 则即为所求． ②如图： 过作直线、的垂线，垂足、， 如图取，， 连接、、， 则即为所求． （2）①如图： 过作直线，垂足为， 过向右作，且， 过作交直线于， 连接， 过作交直线于， 连接，即为所求． ②如图： 过作直线，垂足为， 过向左作，且， 过作交直线于， 连接， 过作交直线于， 连接，即为所求． 【考点评析】本题考查了作图知识，利用一线三垂直画图，是解题关键． 第二部分：全等三角形几何模型 高频考点08：一线三等角构造全等模型 22．（2024•天宁区校级一模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设到轴距离为，由旋转可知，求出，，再用面积法求出． 【规范解答】解：设到轴距离为， 由旋转可知， ，， ，，， ， ； 故选：． 【考点评析】本题考查坐标和图形，旋转的性质，全等三角形的性质，面积法等知识． 23．（2024•灌云县校级一模）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”． （1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”； （2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形” ，，，，，求的长． 小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求．请你按照小军的思路求的长． （3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积． 【思路点拨】（1）由四边形内角和定理求出，由，即可得出结论； （2）以为边作等边，连接，过点作于，证，得，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再由勾股定理即可得出答案； （3）过点作，交延长线于，设，求出，由直角三角形的性质得出，，构建方程求出，进而得出的长，分三种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）证明：在四边形中，， ，， ， ， 四边形是“准筝形”；． （2）解：以为边作等边，连接，过点作于，如图2所示： 则，， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． （3）解：过点作，交延长线于，如图3所示： 设， ，是的高线， ， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， ， 当，时， 连接，过点作，交延长线于点，过点作，如图4所示： 则，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ． ②当，时， 连接，作于点，于，如图5所示： 则，，， ，， ；． ③当，时， 作于，如图6所示： 则， ， ， ， 综上所述，四边形的面积为或或． 【考点评析】本题是四边形综合题目，考查了“准筝形”的判定与性质、四边形内角和定理、全等三角形的判定与性质含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握准筝形的判定与性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，、位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【思路点拨】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数； ②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【规范解答】（1）解：①，， ， ． ②连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ． （2）延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． （3）过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 必有一个点的位置始终不变，点即为所求． ． 【考点评析】本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键． 高频考点09：手拉手模型-旋转型全等 25．（2022•淮安二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路2：延长到，使得，连接，根据可证得 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 　　． 【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含和的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】【问题情境】延长到，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可； 【类比探究】延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质解答即可； 【应用1】过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质，垂径定理和勾股定理解答即可； 【应用2】取的中点，连接，延长至点，使，连接，，利用全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【规范解答】解：【问题情境】延长到，使得，连接，如图①， 在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：； 【类比探究】与的数量关系为：．理由： 延长至点，使，连接，如图， 则． 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【应用1】过点作于点，于点，如图， 则，． ，， ， ，， ． ， ． ． 在和中， ， ， ， ． ； 【应用2】存在最小值，其最小值为，理由： 取的中点，连接，延长至点，使，连接，，如图， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， 点，，四点共圆， ， ， 为的中点， ． ，， 四边形为平行四边形， ，， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 若的度数发生改变，当点，，三点在一条直线上时，的值最小为：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，勾股定理，垂径定理，平行四边形的判定与性质，本题是阅读型，探究型题目，利用题干中的方法和解题思想解答是解题的关键． 26．（2021•扬州模拟）我们定义：如图1，在中，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．我们称△是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为 “旋补交差角”， 点到中点间的距离成为“旋转中距”．如图1，即为 “旋补交差角”， 即为 “旋补中距”． （1）若已知图1中的长度等于4，当，则 “旋补交差角” 　　，“旋补中距” 长度　　； （2）若图1中的度数发生改变，则 “旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断 “旋补中距”是否也发生改变； （3）已知图2中△是 “旋补交差三角形”， 的长度等于4，长度等于6，问是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）先证点，点，点共线，点，点，点共线，由“旋补交差角”的定义可求解，由“”可证△，可得，由直角三角形的性质可求的长； （2）由“”可证△，可得，可求，由“”可证△，可得，可求； （3）由（2）的结论可求，，由三边关系可求解． 【规范解答】解：（1）如图1， 把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ，，， 点，点，点共线，点，点，点共线， 、的交点与点重合， “旋补交差角” ， ，，， △， ， 点是的中点，， ， 故答案为：，2； （2） “旋补交差角”度数不变， “旋补中距”长度不变，理由如下： 把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到， ，，， ， 在和△中， ， △， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 如图2，延长至，使，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又，， △， ， ； （3）存在最小值，最小值为1，理由如下： 如图3，取中点，连接，，， △是 “旋补交差三角形”， ，， 点是中点，， ， 在中，， 当点在线段上时，有最小值为． 【考点评析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27．（2020•徐州模拟）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）将绕着点逆时针旋转得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，证出，证明，得出，，证出，再证明，得出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图①，将绕着点逆时针旋转得到，则， ，， 在中，，即， 故答案为：； （2）证明：如图②，延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决问题的关键． 高频考点10：倍长中线模型 28．（2024•昆山市一模）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为　　． 【思路点拨】如图，延长交的延长线于，连接，设，首先证明，得出，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【规范解答】解：如图，延长交的延长线于，连接，设， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得：， 解得或（舍弃）， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 29．（2023•崇川区校级三模）如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先证明，可证得点在射线上运动（证明，点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接，，则，可得是等边三角形，从而得到点，，三点共线，进而得到，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 是的中线， ， ， ，， 点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接，，则， 由对称可得，， 是等边三角形， ，， ， 点，，三点共线， ， 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点在射线上运动． 30．（2020•灌云县模拟）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为　　． 【思路点拨】延长交的延长线于点．首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． 【规范解答】解：延长交的延长线于点． 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ，设， ， ， ， ， 或（舍弃）， ， 故答案为． 【考点评析】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 高频考点11：正方形中的半角模型 31．（2024•徐州）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接、．（1）求证：△△； （2）若，求证：． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质证明，，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【规范解答】证明：（1）四边形为正方形， ，， 在△和△中， ， △△； （2）四边形为正方形， ， △△，， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△和△的全等条件． 32．（2024•无锡模拟）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是 　　； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【思路点拨】（1）先由正方形的性质得出，，再结合已知条件，根据“”证明，从而得出． （2）分“点在边上”和“点在边上”两种情况讨论：①当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，先证明，从而得出，以此可得，则为等腰直角三角形，从而得到；②当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，同理可得，，则，，． （3）①当点在边上时，分和两种情况，而当时，此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾，则，，则，由得到相关线段之间的比例关系即可求解；②同①方法即可求解． 【规范解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． （2）①当点在边上时，如图1，过点作，垂足为，延长交于点， 则， 四边形是矩形， ， ，， ， 为等腰直角三 角形，， ， 在和， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ． ②当点在边上时，如图2，过点作，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， 同理可得， ， 为等腰直角三角形，， ． 综上，的度数为或． （3）①当点在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ， 易知，， ， ， ，， ； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾． ②当点在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又， 此时点与点重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ， ， ， ． 综上，． 【考点评析】本题考查相似型的综合应用，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理，熟记三角形全等的判定定理是解题关键． 33．（2013•江苏模拟）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，于点． （1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：　　； （2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论） 【思路点拨】（1）由三角形全等可以证明， （2）延长至，使，证明，能得到， （3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得． 【规范解答】解：（1）如图①． （2）数量关系成立．如图②，延长至，使． 是正方形， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ． ，， 、是和对应边上的高， ． （3）如图③分别沿、翻折和，得到和， ，，． 分别延长和交于点，得正方形， 由（2）可知，． 设，则，， 在中，由勾股定理，得 解得，．（不符合题意，舍去） ． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等． 高频考点12：“边边角”模型 34．（2023•宜兴市二模）如图，△和△均为等腰三角形，，，，点在线段上（与，不重合），连接． （1）证明：△△． （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）由，得出，由证得△△； （2）由（1）知：△△，得出，则． 【规范解答】（1）证明：， ， 在△和△中，， △△； （2）解：由（1）知：△△， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 35．（2022•镇江二模）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）根据证明． （2）根据全等三角形的对应边相等即可得解． 【规范解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ，， ． 【考点评析】此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明． 36．（2022•灌云县一模）如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，求四边形的面积． 【思路点拨】（1）根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义得，利用证明，可得，，可得，即可得出结论． （2）由得，可得四边形的面积． 【规范解答】（1）证明：在四边形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． （2）解：， ， 是等腰直角三角形．， ， 四边形的面积． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第三部分：相似三角形几何模型 高频考点13：“8”字模型相似三角形 37．（2023•天宁区校级模拟）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么　　． 【思路点拨】证明，得，设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而得结论． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键． 38．（2024•常州一模）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 　　． 【思路点拨】根据矩形的性质可得，，，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 39．（2024•盐城模拟）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 　0.5　． 【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得的值． 【规范解答】解：，， ， ， ． ． 某零件的外径为， 零件的厚度为：， 故答案为：0.5． 【考点评析】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出的值． 高频考点14：“A”字模型相似三角形射影定理 40．（2024•江宁区校级三模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【规范解答】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， 故选：． 【考点评析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 41．（2024•泗阳县三模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 　18　． 【思路点拨】先根据三角形的面积公式可得的面积，然后利用三角形的中位线定理可得，，从而可得，，进而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， 的面积， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， ，， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积的面积， 故答案为：18． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 42．（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时： ①的值为 　　； ②的度数为 　　度； （2）类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 【思路点拨】（1）①如图②中，设交于点．证明，推出； ②依据，推导出，进而得到，可得结论； （2）如图③中，设交于点．证明，可得结论； （3）分两种情形：如图④中，当于时，如图④中，当时，延长交于．分别求出，可得结论． 【规范解答】解：（1）①如图②中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，； ， ； ②， ， ， ， 故答案为：，45； （2），仍然成立，理由如下： 如图③中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，； （3）如图中，当于时， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图④中，当时，延长交于． 同理可得，，， ， 综上所述，的长为或． 【考点评析】本题考查了相似形综合应用，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 高频考点15：射影定理 43．（2023•武进区一模）如图，在中，，，．延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【思路点拨】（1）根据题意可得，，以此推出，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明是的切线； （2）过点作于点，根据题意可证明，以此得到平分，则，，再根据，以此即可求解． 【规范解答】（1）证明：，，， ， ， ， ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， ，，弦， ， ， ， ，即平分， ，即为等腰三角形， ，， ，， ， 在中，， 在中，， ． 【考点评析】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键． 44．（2022•太仓市模拟）如图，中，，以为直径作交于点，取中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如果，求． 【思路点拨】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，再利用等腰三角形的性质可得，最后根据，从而可求出，即可解答； （2）根据点是的中点，可得的面积的面积，然后设的面积为，的面积的面积，再根据已知可得，从而可得，进而可得，再，则，最后证明，利用相似三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【规范解答】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：点是的中点， 的面积的面积， 设的面积为，的面积的面积， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 在中，， 的值为． 【考点评析】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键． 45．（2022•亭湖区校级一模）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点，与交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，弦的长为，求的半径长． 【思路点拨】（1）根据切线的性质可得，然后根据平行四边形的性质可得，从而利用平行线的性质求出，即可解答； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，从而可证，然后利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）证明：与相切于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 在中，， ， 的半径长为10． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 高频考点16：一线三等角构造相似模型 46．（2024•扬州）如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且，分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图1，若，，求点与点之间的距离； （2）如图1，若，当点在点、之间运动时，求的最大值； （3）如图2，若，当点在点、之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接、，则的最小值为 　　． 【思路点拨】（1）易证△△，再代入边长求解即可； （2）由△△得出相似比，设未知数代入，得到关于的二次函数表达式，进而求最值即可； （3）先证，将转化为的最小值，利用“将军饮马“模型做对称点求解即可． 【规范解答】解：（1）由题易得， ， ， △△， ， ，，， ，解得或6， 点与点之间的距离是4或6． （2）由（1）知， 设，， ， ， ， ， ， 当时，， 即最大值为12.5． （3），是中点， ， ， 求的最小值就是求的最小值即可． 如图，连接，则点在的角平分线上，作关于的对称点，连接交为，则即为所求位置，长度即为最小值． 过点作． ， 在的延长线上， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在△中，， 即最小值为， 最小值为． 【考点评析】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握相似的判定和性质、二次函数求最值、轴对称等知识点是解题关键． 47．（2024•滨海县一模）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 　或2　． 【思路点拨】【探究】（1）利用同角的余角相等得，从而证明结论； （2）由（1）知，得，代入计算即可； 【应用】如果，则，，则点与点重合，点与点重合，不符合题意；如果，利用证明，得，可得答案；如果，则，则，则，从而解决问题． 【规范解答】【探究】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：为的中点， ， 由（1）知， ， 即， ； 【应用】解：如果，则，，则点与点重合，点与点重合，不符合题意， ②如果，则， 为的外角， ， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，，， ， ； 如果，则， ， 在中，， ， ， 又， 点为的中点， ， 综上，的长为或2， 故答案为：或2． 【考点评析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类思想是解决【应用】的关键． 48．（2023•梁溪区校级二模）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转 得到矩形． （1）当点恰好落在轴上时，如图1，求点的坐标； （2）当点恰好落在矩形的对角线上时，求点的坐标； （3）在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】（1）由旋转的性质可得，，，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； （2）分两种情况，①当点恰好落在矩形的对角线上时，设交于点，连接交于点，连接，证，得，，再证点、、三点共线，即可解决问题； ②当点恰好落在矩形的对角线上上时，过点作轴于点，过点作于点，证，求出，，同理，求出，，即可解决问题； （3）分两种情况讨论，由面积法可求，再由勾股定理求出的值，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）四边形是矩形， ，，， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ，，， ， 点的坐标； （2）分两种情况： ①如图2，当点恰好落在矩形的对角线上时， 设交于点，连接交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， ， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ，，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 点、、三点共线， ，， 点、点关于对称， ， 点的坐标为； ②如图3，当点恰好落在矩形的对角线上上时，过点作轴于点，过点作于点， 则， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：，， 同理：， ， 即， 解得：，， ，， 点的坐标为，； 综上所述，点的坐标为或，； （3）分两种情况： ①如图4，当点在点右侧时，连接，过点作于点， ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍去）， ， ， 点的坐标为，； ②如图5，当点在点左侧时，连接，过点作于点， ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 点的坐标为，； 综上所述，点的坐标为，或，． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 高频考点17：手拉手模型-旋转型相似 49．（2023•宿城区二模）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 【思路点拨】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，因此时，最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出、，即可求出结果． 【规范解答】解：如图，过点作于点，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，掌握“瓜豆原理”则可以快速找到解题思路． 50．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为　　； ②的度数为　　． （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题： 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 【思路点拨】（1）①由“”可证，由全等三角形的性质可求； ②由全等三角形的性质可得，即可求解； （2）首先证明，由相似三角形的性质可得，，即可求解； （3）由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，同时点也在以为直径的圆上，即点是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理即可求点到的距离． 【规范解答】解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ， ， ； 故答案为：①，②； （2）和均为等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ， 故，； （3）点满足， 点在以为圆心，为半径的圆上， ， 点在以为直径的圆上， 如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ，， ，四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， 即， 解得：或． 点到直线的距离为或． 【考点评析】本题是四边形形综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 51．（2019•淮安区校级二模）如图①，是边长为2的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，点是射线上的一动点． （1）当不与重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，则　　． （2）如图②，在（1）的条件下，当点在线段上时，周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图③，当点在射线上运动时，以为斜边做等腰直角，连接，求最小值． 【思路点拨】（1）由旋转得，，可得是等边三角形，即可得； （2）当点在线段上时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论； （3）先构造一组手拉手相似三角形，求得点的运动轨迹为一条与夹角为的直线，进而只需求点到直线的距离．通过作垂线结合特殊三角形的性质可求得． 【规范解答】解：（1）由题意可得：，， 为等边三角形， ， 故答案为：． （2）存在， ， ，，， ， 为等边三角形， ， 的周长， 由于的长度是固定的，因此当取得最小值时，的周长取得最小值， 当时，最短， 此时， 的周长最小值为：． （3）如图1，以为斜边作等腰直角三角形，作过点、的直线，交于点， 可得：， ， ， ， ， ， 即在点的运动过程中，点始终在直线上运动，且直线与的夹角为， 的最小值即为点到直线的最小值， 将单独拿出来，如图2，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则到直线的距离等于线段的长度， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为． 【考点评析】本题考查全等三角形、相似三角形综合知识，熟练掌握手拉手旋转型相似是解题关键． 高频考点18：三角形中位线定理 52．（2024•亭湖区一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，，连接．求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 【思路点拨】方法一：延长到点，使得，连接，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，再根据已知，可得是的垂直平分线，从而可得，最后利用等量代换即可解答； 方法二：延长到点，使得，连接，，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，即可解答． 【规范解答】解：方法一：如图，延长到点，使得，连接， ， 是的中位线， ， ， 是的垂直平分线， ， ； 方法二：如图，延长到点，使得，连接，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ． 【考点评析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 53．（2022•姑苏区模拟）如图，在三角形中，，，分别是、的中点，延长至点，使，连结、、．若，则　5　． 【思路点拨】连接，根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可． 【规范解答】解：连接， 在中，，是的中点， ， ，分别是、的中点， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 故答案为：5． 【考点评析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 54．（2024•姑苏区校级二模）如图，是的中位线，，，则梯形的周长为　12　． 【思路点拨】由中位线定理易得应为的2倍，根据线段中点定义可得长，也就求得所求梯形的周长． 【规范解答】解：是的中位线，， ． 是的中位线， ，， 梯形的周长为． 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了三角形中位线的性质及线段中点定义，三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用． 高频考点19：正弦定理与余弦定理 55．（2023•沛县校级模拟）如图，正九边形外接圆的半径是，则这个正九边形的边长为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】过作于点，则，解直角三角形即可得到结论． 【规范解答】解：如图所示， 过作于点，则， 此多边形是正九边形， ， ， 在中，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 56．（2023•鼓楼区校级二模）如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，边在轴上，，，点坐标为，点是平面内一点，． （1）当点在轴正半轴上，点与点关于轴对称，求的坐标； （2）当点在第一象限时，点在线段上，使得．沿折叠，点落在处． ①求证：平分； ②的位置是否发生改变．若不变，请求出的坐标；若改变，请说明理由； （3）点在线段（不与点重合）上时，直接写出的面积变化范围是 　　． 【思路点拨】（1）根据，，点坐标为，得，，根据，求出，在根据勾股定理，求出，根据点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可； （2）过点作于点，根据，则，求出，得，根据全等三角形的性质，得，得；②连接，根据折叠的性质，得，根据△中，，即可； （3）根据点是点关于的对称点，则△，得，根据点在上运动，得，得到的范围，即可． 【规范解答】（1）解：，，点坐标为， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， 点与点关于轴对称， ； （2）①证明：过点作于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； ②解：连接， 点沿折叠，点落在处， ， △中，， ， 点的坐标为． 点的位置是没有发生改变，点的坐标为； （3）解：点是点关于的对称点， △， ， ， 点在上运动， ， ， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，折叠的性质，锐角三角形的特殊值． 57．（2020•玄武区模拟）在△中，，，，如果对于的每一个确定的值，都存在两个不全等的△，那么的取值范围是 　　． 【思路点拨】由已知条件，根据正弦定理用表示出，由的度数及正弦函数的图象可知满足题意的△的范围，然后根据的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的范围，进而求出的取值范围． 【规范解答】解：法一：由正弦定理得：，即， 再， 由题意得：当时，满足条件的△有两个， 所以， 解得； 法二：由题，对于的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△，例如图所示，在为定值时，存在两个不全等的△与△， 两个不全等的△中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形为钝角）， ①当△为锐角三角形时，假设，如图所示， 在图中无法以边为定值，再画出另一个不全等的△， ②当△为锐角三角形时，假设，如图所示，△为等边三角形， 在图中也无法以边为定值，再画出另一个不全等的△， 综上，当△为锐角三角形时，必须满足：， 当时，△为等边三角形，此时， 当时，△为直角三角形，此时， 对于的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△，则需满足：， ； 故答案为：． 【考点评析】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 与三角形有关的几何模型 （19个高频考点 共57题） 第一部分：三角形几何模型 2 高频考点01：重心定理 2 高频考点02：“8”字模型 3 高频考点03：“A”字模型 5 高频考点04：角平分线模型 7 高频考点05：三角形的外心与外接圆有关问题 7 高频考点06：三角形的内心与内切圆有关问题 9 高频考点07：解直角三角形 10 第二部分：全等三角形几何模型 11 高频考点08：一线三等角构造全等模型 11 高频考点09：手拉手模型-旋转型全等 14 高频考点10：倍长中线模型 17 高频考点11：正方形中的半角模型 18 高频考点12：“边边角”模型 19 第三部分：相似三角形几何模型 21 高频考点13：“8”字模型相似三角形 21 高频考点14：“A”字模型相似三角形射影定理 22 考点15：射影定理 23 高频考点16：一线三等角构造相似模型 25 高频考点17：手拉手模型-旋转型相似 28 高频考点18：三角形中位线定理 30 高频考点19：正弦定理与余弦定理 31 第一部分：三角形几何模型 高频考点01：重心定理 1．（2022•镇江模拟）已知在正方形网格中的位置如图所示，则点叫做的　　 A．中心 B．重心 C．外心 D．内心 2．（2021•高邮市二模）如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点，交于点，作，交于点，若的面积为9，则四边形的面积为 　　． 3．（2024•盐都区校级一模）在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为　　 A．2 B．3 C．6 D．12 高频考点02：“8”字模型 4．（2024•沭阳县校级二模）如图，在四边形中，，为上一点，，的延长线交于点，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 5．（2023•新吴区二模）如图，正方形的边长为1，点在边上，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若延长与恰好相交于中点，求的长． 6．（2023•邗江区校级二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． 高频考点03：“A”字模型 7．（2024•武进区校级二模）如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为 　　． 8．（2024•淮安模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 9．（2023•丹徒区模拟）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”． （1）如图2，． ①求证：点是点的“和谐点”； ②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”． ①若，求出点的坐标； ②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 　　． 高频考点04：角平分线模型 10．（2023•滨海县模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 　　． 11．（2023•鼓楼区校级自主招生）如图，的外心为，垂心为，为的中点．求证：． 12．（2022•海陵区二模）如图，点是的外心，连接，若，则的度数为 　　． 高频考点05：三角形的外心与外接圆有关问题 13．（2023•海安市模拟）如图，△中，，，，为△的内心，若、分别是斜边和直角边上的动点，连接、，则的最小值为 　　． 14．（2022•南京自主招生）如图，在中，，，，，为内心，则　　． 15．（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和点，与轴交于点、（点在点的左边），且点与点关于坐标原点对称． （1）求该二次函数解析式，并判断点是否在此函数的图象上，并说明理由； （2）若点为此抛物线上一点，它关于轴，轴的对称点分别为，，问是否存在这样的点使得，恰好都在直线上？如存在，求出点的坐标，如不存在，请说明理由； （3）若第四象限有一动点，满足，过作轴于点，设坐标为，，的内心为，连接，直接写出的最小值． 高频考点06：三角形的内心与内切圆有关问题 16．（2024•海州区校级三模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为　　 A． B． C． D． 17．（2024•溧阳市一模）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高1.8米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是　　． A． B． C． D． 18．（2024•海安市一模）如图，是菱形的边上的点，连接．将菱形沿翻折，点恰好落在的中点处，则的值是　　 A．4 B．5 C． D． 高频考点07：解直角三角形 19．（2023•宝应县一模）如图，在的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，、分别是、上的格点．若点是这个网格图形中的格点，连结、，则所有满足的点有　　 A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2022•泰州）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒． （1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度； （2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值． 21．（2021•秦淮区校级自主招生）作图（尺规），作，、分别在直线、上，作等腰直角三角形并作简要说明（不全等）． （1）平行： ① ② （2）不平行： ① ② 第二部分：全等三角形几何模型 高频考点08：一线三等角构造全等模型 22．（2024•天宁区校级一模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为　　 A． B． C． D． 23．（2024•灌云县校级一模）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”． （1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”； （2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形” ，，，，，求的长． 小军研究后发现，可以为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求．请你按照小军的思路求的长． （3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积． 24．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，、位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心； 拓展应用 （3） 如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 高频考点09：手拉手模型-旋转型全等 25．（2022•淮安二模）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路2：延长到，使得，连接，根据可证得 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 　　． 【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含和的式子表示），如果不存在，请说明理由． 26．（2021•扬州模拟）我们定义：如图1，在中，把点绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．我们称△是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为 “旋补交差角”， 点到中点间的距离成为“旋转中距”．如图1，即为 “旋补交差角”， 即为 “旋补中距”． （1）若已知图1中的长度等于4，当，则 “旋补交差角” 　　，“旋补中距” 长度　　； （2）若图1中的度数发生改变，则 “旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断 “旋补中距”是否也发生改变； （3）已知图2中△是 “旋补交差三角形”， 的长度等于4，长度等于6，问是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由． 27．（2020•徐州模拟）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 高频考点10：倍长中线模型 28．（2024•昆山市一模）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为　　． 29．（2023•崇川区校级三模）如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 30．（2020•灌云县模拟）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为　　． 高频考点11：正方形中的半角模型 31．（2024•徐州）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接、．（1）求证：△△； （2）若，求证：． 32．（2024•无锡模拟）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是 　　； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 33．（2013•江苏模拟）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，于点． （1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：　　； （2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论） 高频考点12：“边边角”模型 34．（2023•宜兴市二模）如图，△和△均为等腰三角形，，，，点在线段上（与，不重合），连接． （1）证明：△△． （2）若，，求的长． 35．（2022•镇江二模）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 36．（2022•灌云县一模）如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若，求四边形的面积． 第三部分：相似三角形几何模型 高频考点13：“8”字模型相似三角形 37．（2023•天宁区校级模拟）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么　　． 38．（2024•常州一模）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 　　． 39．（2024•盐城模拟）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 　　． 高频考点14：“A”字模型相似三角形射影定理 40．（2024•江宁区校级三模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为　　 A． B． C． D． 41．（2024•泗阳县三模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为 　　． 42．（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时： ①的值为 　　； ②的度数为 　　度； （2） 类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 考点15：射影定理 43．（2023•武进区一模）如图，在中，，，．延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 44．（2022•太仓市模拟）如图，中，，以为直径作交于点，取中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如果，求． 45．（2022•亭湖区校级一模）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点，与交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，弦的长为，求的半径长． 高频考点16：一线三等角构造相似模型 46．（2024•扬州）如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且，分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图1，若，，求点与点之间的距离； （2）如图1，若，当点在点、之间运动时，求的最大值； （3）如图2，若，当点在点、之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接、，则的最小值为 　　． 47．（2024•滨海县一模）【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点． （1）求证：． （2）若，，为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 　　． 48．（2023•梁溪区校级二模）如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转 得到矩形． （1）当点恰好落在轴上时，如图1，求点的坐标； （2）当点恰好落在矩形的对角线上时，求点的坐标； （3）在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标． 高频考点17：手拉手模型-旋转型相似 49．（2023•宿城区二模）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 50．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为　　； ②的度数为　　． （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题： 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 51．（2019•淮安区校级二模）如图①，是边长为2的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，点是射线上的一动点． （1）当不与重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，则　　． （2）如图②，在（1）的条件下，当点在线段上时，周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图③，当点在射线上运动时，以为斜边做等腰直角，连接，求最小值． 高频考点18：三角形中位线定理 52．（2024•亭湖区一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，，连接．求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 53．（2022•姑苏区模拟）如图，在三角形中，，，分别是、的中点，延长至点，使，连结、、．若，则　　． 54．（2024•姑苏区校级二模）如图，是的中位线，，，则梯形的周长为　　． 高频考点19：正弦定理与余弦定理 55．（2023•沛县校级模拟）如图，正九边形外接圆的半径是，则这个正九边形的边长为　　 A． B． C． D． 56．（2023•鼓楼区校级二模）如图，平面直角坐标系中，等腰的顶点在轴上，边在轴上，，，点坐标为，点是平面内一点，． （1）当点在轴正半轴上，点与点关于轴对称，求的坐标； （2）当点在第一象限时，点在线段上，使得．沿折叠，点落在处． ①求证：平分； ②的位置是否发生改变．若不变，请求出的坐标；若改变，请说明理由； （3）点在线段（不与点重合）上时，直接写出的面积变化范围是 　　． 57．（2020•玄武区模拟）在△中，，，，如果对于的每一个确定的值，都存在两个不全等的△，那么的取值范围是 　　． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$