专题08 反比例函数的性质与图像综合问题（9个高频考点 共36题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题08 反比例函数的性质与图像综合问题 （9个高频考点 共36题） 高频考点01：已知比例系数求特殊图形的面积 1 高频考点02：根据图形面积求比例系数（解析式) 5 高频考点03：求反比例函数解析式 14 高频考点04：一次函数与反比例函数图象综合判断 21 高频考点05：一次函数与反比例函数的交点问题 30 高频考点06：一次函数与反比例函数的实际应用 39 高频考点07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 45 高频考点08：实际问题与反比例函数 57 高频考点09：反比例函数与几何综合 61 高频考点01：已知比例系数求特殊图形的面积 1．（12-13九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【思路点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是，保持不变．先设，由直线轴，则两点的纵坐标都为而分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：设， ∵直线轴， ∴两点的纵坐标都为而点A在反比例函数的图象上， ∴当 即点Ａ的坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当 ∴B点坐标为， ∴， ∴ 故答案为：3． 2．（2024·江苏盐城·二模）如图，点P是反比例函数图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图像与性质，理解面积与k的关系是解题的关键； 设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可． 【规范解答】解：设， 则， 作轴，交反比例函数的图像于C， ， ， 作轴，交反比例函数的图像于D， ， 的面积是， ， ， ， ， ，或 ， ． 3．（2024·江苏泰州·三模）如图，点A，B，在反比例函数的图象上，连接，，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为、；若，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【思路点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为是解答此题的关键．利用的几何意义求出、的面积，然后求出的面积，利用相似三角形的性质得到即可求解． 【规范解答】解：设交于点C， ∵分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【思路点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，作轴，轴，证明，可得，利用的几何意义求出的面积，再求出的面积，从而求出矩形及平行四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】 解：作轴，轴，则，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 高频考点02：根据图形面积求比例系数（解析式) 5．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ．    【答案】4 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，证明，得出点E的坐标，再根据点C和点E都在反比例函数的图象上，根据正方形面积结合勾股定理即可求解． 【规范解答】解：设点C的坐标为，过点C作轴，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则点A的坐标为， ∵点E为正方形对角线的交点， ∴点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵点C和点E都在反比例函数的图象上， ， ∴， ∴， ∵正方形的面积为10， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴． 故答案为：4． 6．（2024·江苏泰州·一模）已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点． (1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值； (2)连结，若，求的面积； (3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)1 (3)不变， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【思路点拨】（1）设点的坐标为，先证明四边形是平行四边形，则， 因此可得的坐标为，再代入即可求解； （2）过点作轴于点，如图1，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）过点作轴于点，与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：设点的坐标为， ∵四边形是平行四边形 ， ， ∴四边形是平行四边形 的坐标为 ； （2）解：过点作轴于点，如图1， 轴， ， ， ， 当时，由反比例函数k的几何意义知，， ∴， 即， 而与共高， ； （3）解：不改变． 理由如下：过点作轴于点，与轴交于点，则， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ， ∴ ， 解得 异号，， ， ， ∴与同底等高 对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化． 【考点评析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】(1)①4；②； (2)k的值为． 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【思路点拨】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【规范解答】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； （2）解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【考点评析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【思路点拨】本题主要考查了两点之间距离公式、三角形的面积公式、解一元一次方程，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式是解题的关键． 设点的坐标为，即可表示出和的长，再由可得出的长，最后由三角形的面积公式列方程即可得出结果． 【规范解答】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：6． 高频考点03：求反比例函数解析式 9．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【思路点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键． 设反比例函数解析式为，则；根据已知条件可得、；然后根据可得①以及的面积为4可得②；①、②联立解得：，即；然后求出关于y轴对称的解析式即可． 【规范解答】解：设反比例函数解析式为，则 ∴，, ∴， ∵， ∴①， 如图：过A作轴，过B作轴， ∵的面积为4， ∴②， ①、②联立解得：， 经检验符合题意， 所以此函数图像的解析为， 所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为． 故答案为． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，若反比例函数在第一象限的图像经过正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求反比例函数解析式，作轴于，由正方形的性质可得，，由等角的余角相等可得，根据“”可证明 ，可得到，，从而可得出点的坐标，即可得到的值，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：作轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 11．（2024·江苏·模拟预测）如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过作，过作于，过作于，设，，则有，，，，由四边形是正方形得，，又，故有，证明，根据性质得，，则，，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作，过作于，过作于， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故选：． 12．（2023·江苏宿迁·三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当时，求点的坐标； (3)如图，在（）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知正切值求边长、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【思路点拨】（）利用待定系数法解答即可求解； （）设，则有，过作于点，则，，根据可得，解方程即可求解； （）如图，连接，由平移可得，根据平移可得直线的解析式为，联立函数式，解方程组即可求解； 此题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，三角函数等，掌握一次函数及反比例函数的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得，      ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设，则有， 如图，过作于点，则，， ∵， ∴，即， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，由平移可得， ∴直线的解析式为， 联立函数式得，， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴． 高频考点04：一次函数与反比例函数图象综合判断 13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【规范解答】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 14．（15-16九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式 【思路点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【规范解答】（1）解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； （2）解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 15．（2018·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内． (1)点的坐标_________； (2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)． 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式 【思路点拨】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点，， ∴，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． （2）设反比例函数为， 由题意得：点坐标为，点坐标为， ∵点和在该比例函数图象上， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为． （3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）． 以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况： ①B′D′为对角线时， ∵四边形B′PD′Q为平行四边形， ∴， 解得：， ∴P（，0），Q（，4）； ②当B′D′为边时． ∵四边形PQB′D′为平行四边形， ∴， 解得：， ∴P（7，0），Q（3，2）； ∵四边形B′QPD′为平行四边形， ∴， 解得：． ∴P（-7，0）、Q（-3，-2）. 综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形， 符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）． 【考点评析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． 16．（2022·江苏连云港·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作轴，垂足为C，其中的面积等于3． (1)求出一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是一次函数图象上的动点，若CP把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)y＝x−1 (2)−2＜x＜0或x＞3 (3)P（1，0）或（0，−1）． 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数图象综合判断 【思路点拨】（1）利用反比例函数系数k的几何意义求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）由于CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，据此即可求得P点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵Rt△AOC的面积等于3， ∴•k＝3， ∴k＝6， ∴反比例函数为y＝， ∵反比例函数y＝的图象经过点A（3，m）、B（n，−3）， ∴3×m＝6，−3n＝6， 解得m＝2，n＝−2， ∴A（3，2），B（−2，−3）， 把A、B的坐标代入y＝ax＋b 得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x−1． （2）观察图象，不等式ax＋b＞的解集为：−2＜x＜0或x＞3． （3）作BM⊥x于M，BN⊥y轴于N，AF⊥y轴于F，则AC∥BM，设AB与y轴交于点E， ∴， ∵A（3，2），B（−2，−3）， ∴AC＝2，BM＝3， ∴， ∴CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分， 同理， ∴CE把△ABC分成面积比等于2：3的两部分， ∵直线y＝x−1交坐标轴于D、E， ∴D（1，0），E（0，−1）， ∵CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分， ∴P（1，0）或（0，−1）． 【考点评析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想的应用． 高频考点05：一次函数与反比例函数的交点问题 17．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2) (3)8 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【思路点拨】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）数形结合求解即可； （3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 将代入得，，即， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围， ∴由图象得：的解集为； （3）解：当时，，即， ∴， ∴的面积为． 【考点评析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键． 18．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不发生变化，18 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【思路点拨】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，设，，由．且，可得以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点为双曲线上一点， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：当时，由 解得（舍去）或， ∴， 设，， ∵．且， ∴以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形， 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 由得：， 解得（舍去）或， 经检验，是分式方程的解， ∴； 当，为对角线时，，的中点重合， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是方程组的解， ∴； 综上所述，M的坐标为或； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H， 如图：在中，令得，令得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴的值不发生变化． 【考点评析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，等腰直角三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 19．（2022·河北唐山·中考模拟）已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先推出，则，由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此求出，则，再由，即可得到． 【规范解答】（1）解：把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值 ； （3）解：，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵点A和点M都在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为 ．    【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知余弦求边长、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【思路点拨】根据题意，得，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，根据等腰三角形三线合一性质，得；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案． 【规范解答】根据题意，得，即 ∵直线过原点O和线段的中点C ∴直线： ∵在直线上 ∴ ∴ 连接 ∴，线段的中点为点C ∴ 过点C作x轴的垂线，垂足为点D ∴ ∴， ， ∴ ∴ ∴点A、B、D、P共圆，直线和交于点F，点F为圆心 ∴ ∵ ∴ ∵，且 ∴ ∴ ∴ ∴或 当时，和位于直线两侧，即 ∴不符合题意 ∴，且 ∴， ∴ ∴，此时， ∴； 根据对称性可知，点P关于点C的对称点， ∴．    故答案为：或． 【考点评析】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解． 高频考点06：一次函数与反比例函数的实际应用 21．（22-23八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)过点作轴于点，连接，求四边形的面积； (3)根据图像直接写出使成立的的取值范围． 【答案】(1)， (2)5 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【思路点拨】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点的坐标代入反比例函数解析式，求出值，再将点代入反比例函数解析式求出n值，然后将点坐标代入一次函数解析数即可． （2）四边形的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积． （3）结合图像确定的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：将点代入中， 得，解得， 故； 将点代入，可得， 将，代入， 得，解得， 故； （2）如图所示，    对于一次函数， 令，则，即 令，则，即， ∴，， ∵，轴， ∴，， 设的高为，由可知， ； （3）结合图像可知，当时， 的取值范围为或． 【考点评析】本题主要考查反比例函数和一次函数的图像性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形放在大三角形中求解面积． 22．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点在正比例函数图像上，过点作轴于点，四边形是正方形，点在反比例函数图像上．    (1)若点的横坐标为，求的值； (2)若设正方形的边长为，试用含的代数式表示值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、根据图形面积求比例系数（解析式） 【思路点拨】（1）根据正比例函数的上得到点的坐标为，再根据正方形的性质及反比例函数的解析式即可解答； （2）根据正比例函数的解析式及正方形的性质得到的坐标为，再根据反比例函数的解析式得到 ． 【规范解答】（1）解：∵点在正比例函数图象上， ∴当时，，点的坐标为， ∴，，的坐标为， ∴点在反比例函数图像上， ∴， ∴． （2）解：∵正方形的边长为， ∴， ∴和的纵坐标为， ∴的坐标为，， ∴点的坐标为， ∴代入反比例函数得，． 【考点评析】本题考查了反比例函数与正比例函数的上点的特征，正方形的性质，利用正方形的性质求各个点的坐标是解题的关键． 23．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、解直角三角形的相关计算、一次函数图象平移问题 【思路点拨】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【规范解答】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，    ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， , 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 24．（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【思路点拨】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【规范解答】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 高频考点07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 25．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【答案】(1) (2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为144万元 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、其他问题(二次函数综合)、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【思路点拨】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． （1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解． 【规范解答】（1）解：当时，设， 将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设， 将，代入得， 解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，； （2）解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80； 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，， ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元． 26．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据题意可得，，结合，可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴， 将点，代入一次函数， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）设，则， ∵轴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， 整理可得 解得或， ∴点的坐标为或． 27．（2019·山东济南·一模）如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．    (1)求反比例函数的表达式和m的值； (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点E的坐标为或 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、因式分解法解一元二次方程 【思路点拨】（1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，进而可得点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【规范解答】（1）∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得； （2）设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积;    （3）设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或．    【考点评析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 28．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． (1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．    【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①，；②点的坐标为 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、坐标与图形变化——轴对称、根据正方形的性质证明 【思路点拨】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：点在这个反比例函数的图像上． 理由如下： 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， 设点的坐标为， 点关于直线的对称点为点， ，平分， 连接交于，如图所示：     ， 轴于， 轴，， ， ， ， 在Rt中，， ， 为边上的中线，即， ， ， ， 点在这个反比例函数的图像上； （2）解：①四边形为正方形， ，垂直平分， ， 设点的坐标为， ，， ， （负值舍去）， ，， 把，代入得， ； ②延长交轴于，如图所示：     ，， 点与点关于轴对称， ，则点即为符合条件的点， 由①知，，， ，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，即，故当最大时，点的坐标为． 【考点评析】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键． 29．（2024·江苏无锡·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 (1)求P与x之间满足的函数关系式； (2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时， (2)在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【知识点】实际问题与反比例函数、销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【思路点拨】（1）设基本价为b，第1场—第20场，且x为正整数，设P与x的函数关系式为，依题意得：，计算求解进而可得一次函数解析式；第21场—第40场，即且x为正整数时，设P与x的函数关系式为，即，依题意得：，计算求解进而可得反比例函数解析式； （2）设每场获得的利润为w万元．当，且x为正整数时，，由二次函数的图象与性质求最值即可；当，且x为正整数时，由反比例函数的图象与性质求最值即可，然后进行比较，作答即可． 【规范解答】（1）解：设基本价为b，第1场一第20场，且x为正整数， 设P与x的函数关系式为， 依题意得：， 解得：， ∴． 第21～第40场，即且x为正整数时， 设P与x的函数关系式为， 即． 依题意得：， 解得， ∴， ∴当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为； 当且x为正整数时，． （2）解：设每场获得的利润为w万元． 当，且x为正整数时， ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）． 当，且x为正整数时，， ∵w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润为（万元）， ∵， ∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元． 【考点评析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 30．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 【答案】（1）；（2）①见解析；②不断减小；（3）． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、实际问题与反比例函数、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象限 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，二次函数的图像，解题的关键是数形结合． （1）根据已知列方程求解； （2）①用描点法画出图像即可；②根据函数图像即可求解； （3）作函数的图像，根据图像即可求解． 【规范解答】（1）根据题意可得， 由表可得，当时，， ， 解得：， 故答案为：； （2）①函数的图像如下： ②由图像可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：不断减小； （3）如图， 由图像可知，不等式的解集为， 故答案为：． 高频考点08：实际问题与反比例函数 31．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 2 4 6 … … 3 2 … (1)___________，___________； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是____________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为____________ ． 【答案】(1)， (2)①见解析；②不断减小 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象、实际问题与反比例函数 【思路点拨】（1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解， 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． 【规范解答】（1）解：根据题意得：，， ∴，， 故答案为：，， （2）解：①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如下： ②由图像可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小， 故答案为：不断减小， （3）解：作函数的图象， 由函数图象可知，当或时，， 即：当时，的解集为：或， 故答案为：或． 32．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、实际问题与反比例函数、用描点法画函数图象 【思路点拨】本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【规范解答】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 高频考点09：反比例函数与几何综合 33．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 34．（2023·江苏无锡·二模）如图，菱形的对角线交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图象经过A，P两点，则k的值是（　　） A．12 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【思路点拨】本题考查了菱形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的性质，由菱形的性质得出，结合反比例函数的性质得出，作轴于，轴于，则，由相似三角形的性质得出点的坐标为，即可得解． 【规范解答】解：四边形为菱形，对角线、交于点， ， 反比例函数的图象经过、两点 ， ， 如图，作轴于，轴于， 则， ， ， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为， ， 故选：C． 35．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②见解析 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【思路点拨】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可； （2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可； （3）①按要求作图即可； ②由题意得：，即，利用勾股定理可得，故的周长，运用（1）的结论即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ； （2）从“形”的角度说明：如图，在中，，于，为的中线，且，，则； 证明：，为中线， ， ， ， 又， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， ，即， ； （3）①作直线，交反比例函数图象于、两点，过点作，使，连接， 如图所示，即为所求； ②中，，， ， ， ， 的周长， 设，则， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 此时，的周长最小值为，即、均在直线上，故①中所作周长最小． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景，尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象上点的坐标特征等，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 36．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、求角的正切值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合 【思路点拨】过P作轴于H，过M作于G，过M作轴于L， 设，由是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，而M在反比例函数位于第二象限的图象上，得到，可得，故，故③正确，①错误；求出，可得的面积为，故④错误，②正确； 【规范解答】解：过P作轴于H，过M作于G，过M作轴于L，如图： 设，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ，， ， ∵M在反比例函数位于第二象限的图象上， ， ，即， 解得， ， ， ，故③正确； 的度数不会随着k的值的变化而变化，故①错误； ， ， ∴的面积为，故④错误； ∴的面积随着k的值的变化而变化，故②正确； ∴正确的有②③， 故选：． 【考点评析】本题考查反比例函数的应用，涉及全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 反比例函数的性质与图像综合问题 （9个高频考点 共36题） 高频考点01：已知比例系数求特殊图形的面积 1 高频考点02：根据图形面积求比例系数（解析式) 2 高频考点03：求反比例函数解析式 5 高频考点04：一次函数与反比例函数图象综合判断 6 高频考点05：一次函数与反比例函数的交点问题 9 高频考点06：一次函数与反比例函数的实际应用 11 高频考点07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 13 高频考点08：实际问题与反比例函数 16 高频考点09：反比例函数与几何综合 20 高频考点01：已知比例系数求特殊图形的面积 1．（12-13九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 2．（2024·江苏盐城·二模）如图，点P是反比例函数图像上一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，交反比例函数的图像于C、D两点，的面积是，则k的值是 ． 3．（2024·江苏泰州·三模）如图，点A，B，在反比例函数的图象上，连接，，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为、；若，则 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    高频考点02：根据图形面积求比例系数（解析式) 5．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ．    6．（2024·江苏泰州·一模）已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点． (1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值； (2)连结，若，求的面积； (3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由． 7．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2) 如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是9，则的值是 ． 高频考点03：求反比例函数解析式 9．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 10．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，若反比例函数在第一象限的图像经过正方形的顶点，则的值为 ． 11．（2024·江苏·模拟预测）如图，正方形的顶点在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2023·江苏宿迁·三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当时，求点的坐标； (3)如图，在（）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求出点的坐标． 高频考点04：一次函数与反比例函数图象综合判断 13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 14．（15-16九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 15．（2018·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内． (1)点的坐标_________； (2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2022·江苏连云港·二模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作轴，垂足为C，其中的面积等于3． (1)求出一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是一次函数图象上的动点，若CP把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 高频考点05：一次函数与反比例函数的交点问题 17．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 18．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标； (3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由． 19．（2022·河北唐山·中考模拟）已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ (3)是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 20．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，线段的中点为点C，过点C作轴于点D．直线过原点O和点C．若直线上存在点，满足，则的值为 ．    高频考点06：一次函数与反比例函数的实际应用 21．（22-23八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．    (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)过点作轴于点，连接，求四边形的面积； (3)根据图像直接写出使成立的的取值范围． 22．（21-22八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知点在正比例函数图像上，过点作轴于点，四边形是正方形，点在反比例函数图像上．    (1)若点的横坐标为，求的值； (2)若设正方形的边长为，试用含的代数式表示值． 23．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．    24．（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 高频考点07：一次函数与反比例函数的其他综合应用 25．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 26．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 27．（2019·山东济南·一模）如图1，点A，B在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接．    (1)求反比例函数的表达式和m的值； (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 28．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点． (1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．    高频考点08：实际问题与反比例函数 29．（2024·江苏无锡·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场～第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场～第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 P（万元） 10.6 12 14.2 (1)求P与x之间满足的函数关系式； (2)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 30．（2024·江苏盐城·一模）【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据： … … … 4 … （1）由题意可得________； 【探索研究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质． ①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________； 【拓展提升】 （3） 结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________． 31．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 2 4 6 … … 3 2 … (1)___________，___________； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是____________． (3) 【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为____________ ． 32．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2) 若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 高频考点09：反比例函数与几何综合 33．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 34．（2023·江苏无锡·二模）如图，菱形的对角线交于点P，且过原点O，轴，点C的坐标为，反比例函数的图象经过A，P两点，则k的值是（　　） A．12 B．9 C．8 D．2 35．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：； （2）从“形”的角度说明：当，时，； 【结论应用】 （3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； ②请用探究的结论证明所作的周长最小． 36．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知点M在反比例函数位于第二象限的图象上，点N在x轴的负半轴上，连接交该图象于点P，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：的度数随着k的值的变化而变化；②的面积随着k的值的变化而变化；③；④的面积为．其中正确的有（    ） A．① B．①② C．②③ D．②④ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$