2025届三湘名校教育联盟高三2月入学大联考数学试题

三湘名校教育联盟 .2025届高三2月入学大联考·数学 五市十校教研教改共同体 参考答案,提示及评分细则 1.【答案】D 【解析】由A0B=1可知1-5+=0→=4,当 =4时,x-5x+4=0,解得x=1或x=4,即B=1,4 故AUB-(0,1,4,故选D 2.【答案】A -2i一 (4-i)(1十i) 3.【答案】B _ 。) 【解析】易得函数/(x)一 选B. 4.【答案】B 【解析】由l2a-b =a+b 两边平方得4a^{}-4a·b+b^{}=a{}+2a·b+b^{},整理得a^{}=2a·b,所以a|= 2 2blcos<a,b- bl,所以2# 3 5.【答案】A a。: 6.【答案】C tana-tan{ 7.【答案】D 【解析】考虑圆台的轴截面(如图),记球的半径为7,两底面圆圆心分别为O.,O。,线段 ## O.O:的中点为O,易知OO.一r.作OM1AB,由过圆外一点作圆的切线,切线长相等 得O A=AM,OB-BM,于是OA+OB=AB=6,而OB-2OA,故可知OA= 2.O。B-4,故(2r)②}-AB*-(O。B-OA)*-36-4-32,即r*-8,故球的表面积S=B 202 4r-32n,故选D 【高三数学试题参考答案 第1页(共7页)】 8.【答案】D 【解析】由题意可知AF =DF。=4,设圆的半长轴长为a,则AF,-2a-4,BF,=9-(2a-4)=13-2a AB+AF-BF9+4-BF97-(4a-13){} -16a②+104a-72-2a{+13a-9 cosA一 2AB·AF: 2X9X4 72 72 -2+13-9 所以2 -2 。 7 时,AF.-3,BF -6,AF.<BF,不满足题意,故舍去;当$a -5时,AF。-6,BF。-3,AF BF,满足$ 题意,故C的长轴长为10,故选D 9.【答案】BC D错误,故选BC 10.【答案】BCD 【解析】由题意可得e+2y>e+2x,易知函数/(x)=e+2x单调递增,故x<y,对于A,x<yx<y 2 2 确,故选BCD. 11.【答案】BCD 5q(q-1)-}4q-5q(4q-5) -取得最小值,易得g()- (-1)2 (-1)2 (一1)2 ,因为q>1,所以 【高三数学试题参考答案 第2页(共7页)】 a。(m>3)均不为整数,所以a。)中有且仅有一项为奇数,(a。)中的所有整数之和S一16十20十25 100,故 CD正确,故选BCD 12.【答案】10,10(第一个空3分,第二个空2分) 28 【解析】)一 20 .所以解答时间的中位数为10.故答案为10,10 13.【答案】2/31+2 【解析】易得C选形MAN=MA+MB+NA+NB,其中MA=MB=1,NA=NB=MN-I.设点M(. y),则MN-(r-6){*}+y{}-(x-2)*+32>32,故NA31,于是四边形MANB周长的最小值是231 +2.故答案为2/③1+2 14.【答案】-7 【解析】等式两边求导可得7(2x+1)(c*}+x-1)*-ia(2+x)-,代入x--1,有ia--7,故ia 1_ ia--7,故答案为-7. 15.【解析】(1)由已知得bcosC十ccosB-2acosA,由正弦定理得sinA=sin(B十C)=2sinAcosA. .....2分 因为sinA≠o,所以2cosA-1,即cosA-- ..............................................分 又因为A(0,n),所以A-”. 3: .........................................................................................6分 (2)外接圆半径, 2sinA >2bc-bc-bc-4. 23 当且仅当6-c一2时取等号,此时a-2,则rm。- 3: 故△ABC外接圆面积的最小值为 4r 3 【高三数学试题参考答案 第3页(共7页)】 平行四边形,则AD一BE-1, ......................... 又 DE=EC=1,所以 DE=EC=BE,则 CBD=90*,所以$$ 因为CPI平面PBD,BD二平面PBD,所以CP1BD.... 5分A B 因为CPBBC=C CPC平面 PBC,BBCC平面 PBC,所以 BD 平面 PBC.................6分 (2)因为AB1AD,所以BD一2,易知四边形ABED为矩 形,所以BC=②,又PC=1,PCPB,所以PB=1,所以 ....8分. 以B为坐标原点,BC,BD所在直线分别为x轴、y轴,过B作垂直于平面ABCD的直线为;轴,建立如图 ##),###))# 所示的空间直角坐标系,则B(0.0.0),D(0.v2,0),C(2,0,0),P 2 2-0. 设平面PAD的法向量为n一(x,y,c),则 ...................... .... ....................................................................................... 取x-1,可得n=(1,-1,-3). 13分 1PC|n1×/11 11: 22 故直线PC与平面PAD所成角的正弦值为 1 ............................................. ...分 17.【解析......,......4...................................... 1分. /4十 5 由 .,得...............................................................................................3分 。 故C的标准方程为 一一1. ...................................................................分 (2)设.............................................5分 lx。-y1 1.。十y。1 点M到直线y一x的距离d ,同理点M到直线y一一x的距离d。一 2 ,..........7分 2 【高三数学试题参考答案 第4页(共7页)】 lx。-yo1.x。+y。I 因为直线y=x与y三一x互相垂直,所以四边形OAMB为矩形,其面积为dd /2 2 1.x^-{} 2 1r-(4x+4)|13c+4l 3r+4 -c-1,所以y-4r+4,所以d。= _8. 2 2 , 2 因为M在第一象限,所以x。一2, ............................................................. 1分. 代入C的.方.y....,所.......5)......)..........................12分 5 所以直线MF的方程为y一 -x-1联立消y整理得11x-20x-4-0,由xxx-2x= 11 ..........分. IMF Ix1 -11. 由平面几何知识可得 INF-xyI ............................................. .分 1 8(1)-a十6-- g'(r)-2ar+b,g'(1)-2a+b-f'(1)-1, ......................................................................分 解得-2,_- 1 1 (2)由题意可得(x)-f(x)一g(x)-lnx十 3 ................................................... 2. 6分 *-2x十1(x-1)* o(...........................................分 。 故人(x)在(0,十o)单调递增,所以/(x)的单调递增区间为(0,十o),无单调递减区间. ........10分. (3)法一:由题意可转化为h(x)一f(x)一g(x)-lnx-ax*}-bx-c两次与x轴相切. ..................11分 -2ax:-bx+1 r'()一 (x>0),可转化为h'(x)存在两个变号零点, ................1分 2 设-2ar-bx十1=-2a(x-x)(x-x),其中0<x.<x,x:+x:= 1 2d -.r,-- 2 则'()在区..o,.)和....)为正,在区间(x.,.)..为负.............................16分 若 (x)=0,则h(x。)<h(x)=0;若h(x)=0,则h(x)h(x)=0,h(x)不可能与x轴相切两次,故不 存在. ........................................................................................................................7分 【高三数学试题参考答案 第5页(共7页)】 法二:假设存在满足题意的实数..,b,.c,设切点分别为为x..x。,不妨x。x.0。,..............11分 fax+bx.十c-Inx ff(x)-g(x) ar+bx十c-lnx f(x。)一g(x。) 2ar+bx-1-0 ,即 ,则 则 ....................................... 2a.x:十11 13分 /(:)-g(x) 2a:{}+bx-1-0 , f'(r。)-g'(x) 2a2-1 r 则关于x的二次方程2ax}+bx-1=0有两相异实根,故△=b^*}+8a>0,同时x十x。=- _ 22= a+bxi+c-Inx 一,显然a<0<b,而 相减得lnx.-lnr-a(cx-x)+b(x.-xo)..... 14分 2a lax${+bx+c-In. .lnx.-lnx: :-r二 -a(x十x)十b- 整理得 2 :一X。 lnx.-ln.x1 ) 21 先证 lnx。-ln.x: x:x: (2 ,-1 2/r --1+2、/-1--1)* -<0.故G() ) 2 t t V 2if ......................................................... 在定义域内单调递减:G(/)乏G(1)三0:原不等式成立; 16分 ,由于a<0,故-8a→b{,得6{}+8a<0与b{+8a→0,矛盾 2 故不存在. 19.【解析.).(i)..意可得P...)...2...m)............................................2分 1 故当n一 2 ...................................................................4分 (ii由题得nN,且n二3. 1 n! P(X-3)-C m(n-1)(n-2) m23!.(m-3)!·2” 6.2“ ......................................................6分 (n十1)n(m-1) m(n-1)(n-2) 6.21 令_ 十1 6·2“ n(n-1)(m-2)2n-4' 6·2“ 其中m 3,2m-4>0.当m<5时,m+1>2m-4,则a>a; ..............................................分 当m-5时,有a=a。;当m 6时,a<a,故a在n=5或m=6有最大值,则n在x=3下的极大似 然信计........................................................................ 1分 【高三数学试题参考答案 第6页(共7页)】 (2)显然有m>.设次点击后获得的积分为随机变量X,由题可知X服从二项分布B(n,),则 P(x 一.................................................. ..分.. (n十1)! C*(1一)“1一 !(n十1-)! (1一)) 同(1)(ii)设a。一C*(1一p)*-*,则 __ C*(1一)“一☆ ! !(n一)! (n十1)(1-) .............................................................................. ..分 n-十1 _一1时 / / a1一a. ............................................................... .分. 若 2_ ②:若 。 _ n二N十1> 一,综上可知:等号能成立的条件为 【高三数学试题参考答案 第7页(共7页)】机密★启用前 三湘名校教育联盟.2025届高三2月入学大联考 五市十校教研教改共同体 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.设集合A={0,1},B={xx2-5.x十t=0},若A∩B={1},则AUB= A.{0,-4,1} B.{0,1} C.0.1,2} D.{0,1,4} 2x-已2i的虚部为 4-1 A- B号 D- 3.已知两数fx)=千元则fm)+f偏) 1 A. B.1 C.+ D+1 m 记知丰零向量a6满足2a-=a+b且@ab>-号则日 1 .3 C.1 D. 5记数列a,的前n项和为S,者数列}是公差为1的等差数列，则- A.1 B.2 C.2025 D.2022 6.已知tana-tag=2-2ana·tang,tan(a一B)=了，则taa-tang= A.1 B号 c D.2 7.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2 倍，则球的表面积为 A.8π B.16π C.24π D.32π 【高三数学试题第1页（共4页）】 感在直角坐标系Oy中，E,E,分别为椭圆C:二+1@>b>0)的左、右焦点，过点下作x且 的垂线交C于A,D两点，连接AF1并延长交C于另一点B,且AD=8,AB=9,则C的长轴长为 A.7或10 B.6 C.7或9 D.10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9.已知函数f(x)=sinx一√3cosx,则 A.f(x)的最小值为一3 B.f(x)的最小正周期为2π Cy=f(x)的图象关于直线x=一T对称 6 D,将fx)的图象向右平移个单位长度，得到y=2sir的图象 10.设xy∈R,则使得e二e >x一y”成立的一个充分不必要条件是 A.I<y3 B.logs (y-x)>0 c.1>1>0 D.<y xy 1.已知等比数列口.}的公比g>1,(g一1)2=】，当a1取得最小值时，下列说法正确的是 3 A.q=2 B.a11不为整数 C.{am}中有且仅有一项为奇数 D.{a.}中的所有整数之和S<100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了20名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时 间记录如下表： 解答时间/分钟 [0,5) [5,10) [10.15) [15,20) 频数 2 8 8 2 根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为 ,中位数为 13.已知M为抛物线y=8.x上一点，以M为圆心，1为半径作得圆M.过点N(6,0)作圆M的两 条切线，切点分别为A,B,则四边形MAVB周长的最小值是 14.若(x2+x-1)=a+之a,(2+x)少，则2ia,= 【高三数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 bcosC-2a cosA 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cosB (1)求A: (2)若bc=4,求△ABC外接圆面积的最小值. 16.(15分)如图四棱锥P-ABCD中，CP⊥平面PBD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=PC=1, CD=2. (1)证明：BD⊥平面PBC: (2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. 17.15分)在直角坐标系：0中，已知双曲线C:号若=1a>0,6>0)的离心率为，且C的 实轴长为4. (1)求C的标准方程： (2)设C的上焦点为F,过第一象限C上一点M分别作直线y=x与y=一x的垂线，垂足分 MF 别为点A,B,直线MF交C于另一点N,当四边形OAMB的面积为8时，求NF的值. 【高三数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)已知函数f(x)=ln.x,g(x)=a.x2十bx+c(a≠0). (1)若c=- 且y=了)与y=gx)在切点1.0)处的切线相同，求a6的值： (2)在(1)的条件下，求函数h(x)=f(x)一g(x)的单调区间； (3)若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，探究y=f(x)与y=g(x)在这两个交点处是 否各存在一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的a,b,c的值：若 不存在，给出证明， 19.(17分)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的 取值.设X为其分布列与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S.若对已 知结果X=k,有mo∈S,且Hm1∈S,有P(X=km=mo)≥P(X=k|m=1)成立，则称mo 为m在X=k下的一个极大似然估计. (1)(i)若X服从二项分布B(2,m),求m在X=1下的极大似然估计； ()若X服从二项分布B(m,号)，求m在X=3下的极大似然估计. (2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品.已知每 次点击按钮后，获得1积分的概率为p(0<p<1),不获得积分的概率为1一p.小丽参加这 个抽奖活动后总共获得了k积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的 取值为m,证明：m,≤今，并指出等号成立的条件。 【高三数学试题第4页（共4页）】三湘名校数育联盟 满座香酒肩的溶夏可内作香，烟速规利女想原定区城的断有汽吸 速在备题月的许洲国调内滑活，理世雨达座■无夏域的签理无限 ·2025届高三2月人学大联考 五市十校教研教改共同体 15(本小题再分1挂分) 6本小赠清分5分 数学答题卡 名 贴条形码区 考生蜡箱量考华，有面考显始是行执，年信指性笔的掉料销世考存 1.期面的：1生教必请整值有月过纳时者，准重证号前门者星销位置，格准盖 输课速 型同上自童专证号，靠爷4年人朝门开父业证是专试料目制得用，年海 解的松图车罐的2青 样 事 项玉事1C病在答湖卡方喷目的城其青填内花起，目的销璃成色指有的养 里售：存苹精星，证划位上香延上该 选程置《请用2组船第璃涂】 1[A2[】IG】[o] s{AJIa]IC】[o] [A](0][c3 [o] 21A)183101101 6IA1[1G】ID oA11B于ICJ[D] 3[AJfa】《@1o 7Ia1[B】【O】Io) I41B1[C间[D1 4[A)Ie]icl [DI gIA】[n)C]ID 非露型【清使用05是米的黑色学速苦字笔书写] 123分 (2分 135分) 4(5分) 南存著目的滋量红适内作满，量比塑船金型厘定氢的害幸光道 满存养调目的活整量域内作苦，题生维射心趋度害植域的需素光量 结存务盖目的常制组维片他落，组出壶相信程量量的落率生雪 三数单第1互（共2红） 请否务帽的香题区域内作青，明出规装边国原更区速时香票发珠 速在各视门的备理调内作害，用出延利达相国无营时的答罩无营 速在务而月的等程过墙内作活，量进影制选框回无宽国的签家后 17.本小则请分15分1 1风.（本思满分7分 收木小题清分7分】 害存名有目的常粗温道大作，植出型制成想健家温域的需率光置 速存务端目的常都组域内作活，雄出架触出规量审区过的苦率士量 体三数单第2面〔共2万