10.1 两角和与差的三角函数（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

10．1 两角和与差的三角函数 课程标准 学习目标 （1）了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程. （1）理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式间的关系，熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值． 知识点01 两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【即学即练1】cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为. 故选：C. 知识点02 两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； （3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； （4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则． （5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同． 【即学即练2】求75°，15°角的正弦值． 【解析】． ． 知识点03 两角和与差的正切函数 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【即学即练3】的值为 ． 【答案】/ 【解析】 . 故答案为：. 知识点04 理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【即学即练4】已知满足，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以 . 故答案为：. 题型一：两角和与差的余弦公式 【典例1-1】求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【解析】（1） . （2） （3） . 【典例1-2】求下列各式的值： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 【方法技巧与总结】 已知，的某种三角函数值，求的余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【变式1-1】化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式； （2）原式． 【变式1-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . 【变式1-3】求值 (1) (2) 【解析】（1） . （2） . 题型二：两角和与差的正弦公式 【典例2-1】求下列各式的值： (1)； (2)． 【解析】（1）原式． （2）原式． 【典例2-2】化简： (1)； (2)． 【解析】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得. （2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得 . 【方法技巧与总结】 已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【变式2-1】化简求值： (1)； (2). 【解析】（1） （2） 题型三：两角和与差的正切公式 【典例3-1】已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【典例3-2】若，则 . 【答案】 【解析】因为，则， 所以，， 因此，. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 公式的变形应予以灵活运用． 【变式3-1】求值： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）． （2）由的变形得: ， 所以． （3） ． 【变式3-2】已知，则 . 【答案】/ 【解析】 故答案为： 【变式3-3】已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 【变式3-4】已知为第一象限角，，，则 . 【答案】/0.4 【解析】∵是第一象限角，∴ ∴， 又∵， 所以， 则， 所以 . 故答案为：. 题型四：给角求值 【典例4-1】已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 【答案】 【解析】由幂函数为偶函数，即且为偶数，解得或， 又因为在函数上单调递减， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【典例4-2】 ． 【答案】 【解析】， 故原式． 故答案为： 【方法技巧与总结】 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【变式4-1】 . 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【变式4-2】 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 【变式4-3】 ． 【答案】/ 【解析】 . 故答案为：. 题型五：给值求值 【典例5-1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两边平方得，①， 两边平方得，②， 式子①+②得， 即，即， 所以. 故选：B 【典例5-2】已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以， 故选：A 【方法技巧与总结】 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 【变式5-1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以．所以， 所以，则． 故选：A. 【变式5-2】已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【变式5-3】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 【变式5-4】已知，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】，，，， ，， ，. . 故答案为：. 题型六：给值求角 【典例6-1】已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以, 因为，都是锐角， 所以， 所以. 故选：C. 【典例6-2】已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 【方法技巧与总结】 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式6-1】已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 【变式6-2】若，且，则 . 【答案】 【解析】因，所以，又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，所以. . 所以 因为，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 【变式6-3】若，，且，，则 ； 【答案】 【解析】因，所以，又，所以. 所以， 同时也能确定. 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 【变式6-4】已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【解析】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 题型七：两角和与差的正切公式的综合应用 【典例7-1】可以验证：； 已知：不论α取何值且，，均有意义， 都有， 则有一般的结论： ． 【答案】若，，则． 【解析】若，，则． 理由如下：，，则， 则， 则 ， 所以 故答案为：若，，则． 【典例7-2】已知均为锐角，且，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以， 因此，故． 由，得； 即，可得，于是， 因此． 故答案为： 【方法技巧与总结】 当化简的式子中出现“”与“”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围． 【变式7-1】若，则 ． 【答案】 【解析】由， 得，即． ． ． 答案： 【变式7-2】海安市实验中学校训镶嵌在墙壁上，上端距离地面15米，下端距离地面11米，现小明同学要拍摄校训照片，相机镜头离地面1米，要使得校训的上下端与镜头构成的视角最大，问相机镜头距离墙面应 米.    【答案】 【解析】 设镜头距墙面的距离为， 则由题意可得， 易知，由正切函数的单调性可知当，即时，取得最大值， 此时. 故答案为： 【变式7-3】计算： ． 【答案】 【解析】因为， 整理得， 则， 所以 ， 即. 故答案为： 【变式7-4】已知，，则满足的一个的值为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】，， 又，， 即，化简可得， ， 或， 又，，故， ，故满足题意， 故答案为：（答案不唯一）. 1．已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，那么. 因为，根据，可得： . 把变形为. 由两角差公式可得： . 把，，，代入上式得： . 故选：B. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C. 3．若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解析】因为， 又因为，所以 所以， ， 则. 故选：A. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得，， 两式相加，得，即． 故选：B. 5．如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形得， 则，又，因此， 所以. 故选：C 6．（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，解得， 则. 故选：D. 8．已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，都是锐角，所以， 又因为 所以 则 ， 故选：C. 9．（多选题）已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】已知为第一象限角，且， 则，所以， 同理为第三象限角，则， 所以，，C正确，D错误， ，A错误； ，B正确. 故选：BC 10．（多选题）下列各式中，计算结果为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11．（多选题）已知，且，是方程的两不等实根.则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，是方程的两不等实根， 所以，，故A正确； ，故B正确； 由，得，均为正数， 则，当且仅当取等号， 由知，则等号不成立，所以，故C正确； ，当且仅当时等号成立， 即，故D错误. 故选：ABC. 12．若，则 【答案】5 【解析】由可得， 故， 故答案为：5 13．已知，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 则， 故答案为： 14．已知，是第三象限角，则的值是 ． 【答案】 【解析】由，得， 又由，是第三象限角，得， 所以. 故答案为：. 15．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）由，得，故. （2）. 16．已知函数. (1)若，且，求的值； (2)若，且，，求的值. 【解析】（1）， 由，得，又，所以，所以. （2）由得，所以， 又，所以. 由于，故，，， 所以，，故， ， 所以 ， 又因为，故. 17．已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为均为锐角，所以. 又，所以. （2）根据第（1）问可知： 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．1 两角和与差的三角函数 课程标准 学习目标 （1）了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程. （1）理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式间的关系，熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值． 知识点01 两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； （3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题． （4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反． 【即学即练1】cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 知识点02 两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数 在公式中用代替，就得到： 两角差的正弦函数 知识点诠释： （1）公式中的都是任意角； （2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； （3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； （4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则． （5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同． 【即学即练2】求75°，15°角的正弦值． 知识点03 两角和与差的正切函数 知识点诠释： （1）公式成立的条件是：，或，其中； （2）公式的变形： （3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了． （4）公式对分配律不成立，即． 【即学即练3】的值为 ． 知识点04 理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系 （1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开． 2、重视角的变换 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有： ；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等． 【即学即练4】已知满足，则 ． 题型一：两角和与差的余弦公式 【典例1-1】求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【典例1-2】求下列各式的值： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 已知，的某种三角函数值，求的余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【变式1-1】化简： (1)； (2)． 【变式1-2】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式1-3】求值 (1) (2) 题型二：两角和与差的正弦公式 【典例2-1】求下列各式的值： (1)； (2)． 【典例2-2】化简： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【变式2-1】化简求值： (1)； (2). 题型三：两角和与差的正切公式 【典例3-1】已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【典例3-2】若，则 . 【方法技巧与总结】 公式的变形应予以灵活运用． 【变式3-1】求值： (1)； (2)； (3)． 【变式3-2】已知，则 . 【变式3-3】已知，则 ． 【变式3-4】已知为第一象限角，，，则 . 题型四：给角求值 【典例4-1】已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则= ． 【典例4-2】 ． 【方法技巧与总结】 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【变式4-1】 . 【变式4-2】 （    ） A． B． C． D．2 【变式4-3】 ． 题型五：给值求值 【典例5-1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 【变式5-1】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知，，，，则的值为 ． 题型六：给值求角 【典例6-1】已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式6-1】已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式6-2】若，且，则 . 【变式6-3】若，，且，，则 ； 【变式6-4】已知、为锐角，，，则 . 题型七：两角和与差的正切公式的综合应用 【典例7-1】可以验证：； 已知：不论α取何值且，，均有意义， 都有， 则有一般的结论： ． 【典例7-2】已知均为锐角，且，则的值是 ． 【方法技巧与总结】 当化简的式子中出现“”与“”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围． 【变式7-1】若，则 ． 【变式7-2】海安市实验中学校训镶嵌在墙壁上，上端距离地面15米，下端距离地面11米，现小明同学要拍摄校训照片，相机镜头离地面1米，要使得校训的上下端与镜头构成的视角最大，问相机镜头距离墙面应 米.    【变式7-3】计算： ． 【变式7-4】已知，，则满足的一个的值为 . 1．已知则（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 6．（    ） A． B．0 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，都是锐角，则=（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 10．（多选题）下列各式中，计算结果为1的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知，且，是方程的两不等实根.则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．若，则 13．已知，则 . 14．已知，是第三象限角，则的值是 ． 15．已知． (1)求的值； (2)求的值． 16．已知函数. (1)若，且，求的值； (2)若，且，，求的值. 17．已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$