第五章 一元函数的导数及其应用章末检测卷-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2 【答案】D 【详解】由题意得，. 故选：D. 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 由导数的定义可知， 故选：A. 3．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 4．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 6．过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 7．已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设圆锥的轴截面的内切圆的半径为R，即该圆锥的内切球的半径为R.根据等面积法可得 ，解得， 则， 设， 则，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，取得最大值， 即能够被整体放进该容器的球的体积最大时，. 故选：D. 8．设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， ∵，∴，， 函数在上单调递增，又，∴， 由，可得，即， 又函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为. 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 10．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 11．已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．点是曲线的对称中心 C．曲线与x轴相切 D．当在区间恒成立时，的最大值为 【答案】BCD 【详解】由题意可得， 因为函数在区间上单调递增， 函数在区间上单调递减，由复合函数单调性可得在区间上单调递减，故A错误； 因为，所以， 即的图象关于点中心对称，故B正确； 因为，所以， 又，所以的图象与轴相切，故C正确； 由，得， 所以即 所以，所以，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） 【答案】或（写出其中一个） 【详解】设切点为， ， 所以切线方程为， 整理得， 由得， 所以， 消去并化简得， 解得或， 则或， 所以的值为或. 故答案为：或（写出其中一个） 13．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 14．如果在区间上是单调函数，那么实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由已知，有， 因为在区间上是单调函数， 所以在区间上恒成立或恒成立， 即在区间上恒成立或在区间上恒成立， 所以或，所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 16．已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 则， 由于，故， （2）， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 17．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 18．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； (2) 【详解】（1）因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2）若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解. 19．已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. （2），，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. （3）依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－2，－2 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D． 3．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 7．已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（    ） A． B． C． D． 8．设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 10．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 11．已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．点是曲线的对称中心 C．曲线与x轴相切 D．当在区间恒成立时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） 13．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 14．如果在区间上是单调函数，那么实数m的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 16．已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 17．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 18．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$