数学（江苏苏州卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（苏州卷） 数 学 参考答案 第Ⅰ卷 1、 单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D B A A A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．5 16．/ 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）【详解】解： （3分） ＝5．（5分） 18．（本题满分5分） 【详解】解：解不等式①得，（1分） 解不等式②得    ，（2分） ∴此不等式组的解集为．（3分） （5分） 19．（本题满分6分） 【详解】解：原式 （2分） ．（4分） ∵﹣2≤x≤2，且x为整数， ∴x=-2，-1，0，1，2， ∵x+1≠0，x+2≠0，x-2≠0， ∴x≠-2，-1，2 ∴x=0或1 当x=1时，原式=； 当x=0时，原式=，（任选其一，6分） 20．（本题满分6分） 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ；（2分） （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ， 在和中， ， ，（4分） ， ， ．（6分） 21．（本题满分6分） 【详解】（1）解：由样本数据得的有7人，的有3人，则，， 故答案为：7；3；（2分） （2）解：由（1）中，，补全频数分布直方图如下：   （3分） （3）解：样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的， （人，（5分） 答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人； （4）解：俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，的最大值为58，的最小值为41， 的最大值为，（ 6分） 故答案为：17． 22．（本题满分8分） 【详解】（1）解：由题意得，王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为， 故答案为：．（2分） （2）解：列表如下： （6分） 共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种， ∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为．（8分） 23．（本题满分8分） 【详解】（1）解：过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点， 在中，， ，（1分） 由题意，知， 四边形是矩形， ，（3分） ， 欢欢的身高约是195.1厘米；（4分） （2）解：乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于，不大于的区域内才能被识别到． 理由：如图，若乐乐站在处踮起脚尖时头的下部正好位于俯角线上，过点垂直于的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点， 则， 此时，（6分） 在中，， ，（8分） 即乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于，不大于的区域内才能被识别到． 24．（本题满分8分） 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得，（1分） 与之间的函数关系式为；（2分） 当时，设， 将，代入得， 解得， （3分） 与之间的函数关系式为， 综上所述，；（4分） （2）解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80；（6分） 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，，（7分） ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元．（8分） 25．（本题满分10分） 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∴．（6分） ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． ∴在中，．（8分） 26．（本题满分10分） 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得；（2分） （2）抛物线与x轴有公共点，理由如下： 抛物线与y轴的公共点为， ， 解得， 抛物线解析式为，（3分） ， 抛物线与x轴有1个公共点， 令，解得， 公共点的坐标为；（4分） （3）由题意得，抛物线的解析式为， 对称轴为直线， ①当时，即， 开口向下，当时，y随x的增大而减小， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，即， 解得，不合题意，舍去；（5分） ②当时，即， 若与直线更接近时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得或（不合题意，舍去）；（6分） 若与直线更接近时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得或（不合题意，舍去）；（8分） ③当时，即， 开口向下，当时，y随x的增大而增大， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得，不合题意，舍去；（10分） 综上，m的值为或． 27．（本题满分10分） 【详解】（1）解：∵在中，， ；（1分） ①的准内心P在的直角边上时，过点P作于点D，连接，如图， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；（2分） ②的准内心P在的直角边上时，过点P作于点D，连接，如图， 则， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ． ．（4分） 综上，的长为或； （2）解：①为直径， ， ∵点P为的准内心且点P在上， ∴点P在的平分线上， ， ， ∴点P为的中点． ∴若的准内心在上，则必有一个准内心P的位置始终不变，该准内心P为下方圆弧的中点．（5分） ②∵， ， 为等腰直角三角形， ．（6分） ， ． 过点B作于点E，如图， ， 为等腰直角三角形， ． ， ；（7分） ③．（8分） 过点P作于点E，交的延长线于点D，如图， ∵点P为的准内心， ， 在和中， ， ， ． 由（2）②知：， 在和中， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． ， ∴ ．（10分） 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，相似三角形的判定与性质，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 答案第6页，共13页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断． 【详解】解：根据有理数与无理数的概念可知：、、是无理数，是有理数， 故选：C． 2．志愿服务，传递爱心，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式乘单项式及整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据合并同类项的运算法则及单项式乘单项式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； B．和不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． 根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】解：由几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 故选：D． 5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 6．如图，将长方形纸片进行折叠，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．根据四边形是长方形，可得，根据平行线的性质可得，，再根据折叠可得，，等量代换后即可得结果． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，，分别是的角平分线和中线过点C作于F，交于G，连接EF，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．证明，得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 8．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入反比例之中即可求出的值；连接交于，根据菱形性质得与互相垂直平分，则，，，，进而得，在中由勾股定理得，从而得为等边三角形，由此得，从而得，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，由此可得图形阴影部分面积之和． 【详解】解点在反比例的图象上， ； 连接交于点，设与交于点，如图所示： 四边形为菱形， 与互相垂直平分，， 点的纵坐标为， ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为菱形， 和互相垂直平分， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 图形阴影部分面积之和为：． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．要使二次根式有意义，必须满足 ． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列式进行计算即可得解． 【详解】根据题意得，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数． 10．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．2023年5月6日，“五一”消费数据出炉，国内旅游收入约148 000 000 000元，将数据148 000 000 000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 12．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和几何概率问题，因为是平行四边形，所以关于点O中心对称，所以，再根据几何概率即可求得答案． 【详解】解：由题意可知关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴飞镖恰好落在阴影区域的概率=． 故答案为：． 13．如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵将的圆周分成五等份， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的黄金分割点， ∴， ∴ 故答案为：． 14．甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为x千米/时，则根据题意可以列出方程 ． 【答案】 【分析】设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为3x千米/时，根据时间=路程÷速度结合骑自行车比步行少用半小时，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为3x千米/时， 依题意，得： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．如图，在中，，，，点M，N分别为上一个动点，以直线为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据题意得到，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 当，连接，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：5． 16．如图，在边长为4的正方形中，E为的中点，过上一点F作，分别交、于点M、N，连接，当时，的值为 ．    【答案】/ 【分析】延长相交于点， 连接， 易证， 得出， 根据勾股定理可求出由可得， 进而得出， 即可得出， 则，设， 则由即可解出， 再用勾股定理求出即可解答． 【详解】延长相交于点， 连接，    ∵四边形是正方形， ， ∵为的中点， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ， 即解得 ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂运算、绝对值运算、算术平方根即零指数幂运算逐步求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到负整数指数幂运算、绝对值运算、算术平方根即零指数幂运算，掌握相关运算法则是解决问题的关键． 18．（本题满分5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为，数轴见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得    ， 在数轴上表示为： ∴此不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（本题满分6分）先化简（x﹣）•÷，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数代入并求值． 【答案】原式=，当x=1时，原式=；当x=0时，原式=0． 【分析】根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可化简．有括号先算括号里面的，分式的分子分母先进行因式分解再约分，除以一个数等于乘上它的倒数．选择使分式有意义的x的值，最后将x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 ． ∵﹣2≤x≤2，且x为整数， ∴x=-2，-1，0，1，2， ∵x+1≠0，x+2≠0，x-2≠0， ∴x≠-2，-1，2 ∴x=0或1 当x=1时，原式=； 当x=0时，原式=， 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则进行计算即可，注意在选择x的值时，所选取的x的值要使分式有意义． 20．（本题满分6分）在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，得出，证出，得出，证明，得出，即可得出结论． 此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 21．（本题满分6分）荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读活动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析： 【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）： 32  43  34  35  15  56  48  24  45  10  25  40  59  42  55  30  47  28  37  42 【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整 积分/分 星级 频数 红 2 橙 3 黄 5 绿 青    根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图． (1)填空：____________，_____________； (2)补全频数分布直方图； (3)【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数． (4)已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红的积分为分，是青星级．如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_________． 【答案】(1)7、3 (2)补全频数分布直方图见解析 (3)300人 (4)17 【分析】（1）整理样本中的数据，得满足的共7个；满足有共3个；即可得到答案； （2）根据（1）中所得的数据，绿星级对应的频数是7，青星级对应的频数是3，画图即可； （3）总人数乘以样本中绿星级以上的人数所占比例即可； （4）找到的最大值、的最小值，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：由样本数据得的有7人，的有3人，则，， 故答案为：7；3； （2）解：由（1）中，，补全频数分布直方图如下：    （3）解：样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的， （人， 答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人； （4）解：俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，的最大值为58，的最小值为41， 的最大值为， 故答案为：17． 【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22．（本题满分8分）李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难•其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为，，如图所示，卡片除编号和内容外，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好 (1)王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为 　； (2)李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种， ∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为． 23．（本题满分8分）图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离 (1)欢欢站在离摄像头水平距离的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），问欢欢的身高约是多少厘米？ (2)身高的乐乐，头部长度为，踮起脚尖可以增高．他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到？请计算说明．（精确到，参考数据：） 【答案】(1)195.1厘米 (2)不小于92.6厘米，不超过150厘米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出欢欢的身高； （2）若乐乐站在处踮起脚尖时头的下部正好位于俯角线上，过点垂直于的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，可求出，进而求出，在中，利用三角函数可求出，从而解决问题． 【详解】（1）解：过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点， 在中，， ， 由题意，知， 四边形是矩形， ， ， 欢欢的身高约是195.1厘米； （2）解：乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于，不大于的区域内才能被识别到． 理由：如图，若乐乐站在处踮起脚尖时头的下部正好位于俯角线上，过点垂直于的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点， 则， 此时， 在中，， ， 即乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于，不大于的区域内才能被识别到． 24．（本题满分8分）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【答案】(1) (2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为144万元 【分析】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． （1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设， 将，代入得， 解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，； （2）解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80； 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，， ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元． 25．（本题满分10分）如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可． （2）过点O作于点F，只要证明四边形是矩形即可得到，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． ∴在中，． 【点睛】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型． 26．（本题满分10分）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)若抛物线与y轴的公共点为，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； (3)当时，设二次函数的最大值为M，最小值为N，若，求m的值． 【答案】(1) (2)抛物线与x轴有公共点，公共点的坐标为 (3)或 【分析】（1）将点代入抛物线，求解即可； （2）先根据抛物线与y轴的公共点为，求出m的值，继而写出抛物线解析式，再根据根的判别式进行求解即可； （3）先写出对称轴为直线，分类讨论，当时，即，当时，即，当时，即，分别计算出最大值和最小值，利用，代入计算即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 得， 解得； （2）抛物线与x轴有公共点，理由如下： 抛物线与y轴的公共点为， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线与x轴有1个公共点， 令，解得， 公共点的坐标为； （3）由题意得，抛物线的解析式为， 对称轴为直线， ①当时，即， 开口向下，当时，y随x的增大而减小， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，即， 解得，不合题意，舍去； ②当时，即， 若与直线更接近时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； 若与直线更接近时， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ③当时，即， 开口向下，当时，y随x的增大而增大， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ，即， 解得，不合题意，舍去； 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值问题，熟练运用这些知识点是解题的关键． 27．（本题满分10分）我们知道，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心． (1)如图（1），在中，，，，的准内心P在的直角边上，求的长． (2)如图（2），内接于，为直径，点A在上方的圆弧上运动，若的准内心在上，则必有一个准内心P的位置始终不变． ①确定该准内心P的位置（用文字语言叙述）； ②若中，，，求的长； ③设，，求的面积S（用含m、n的代数式表示）． 【答案】(1)或 (2)①该准内心P为下方圆弧的中点；②，；③ 【分析】（1）利用三角形的准内心的定义，角平分线的性质和勾股定理解答即可； （2）①利用圆周角定理和角平分线的性质以及此三角形的准内心的定义解答即可； ②过点B作于点E，利用等腰直角三角形的性质，圆周角定理和勾股定理解答即可； ③过点P作于点E，交的延长线于点D，证明，再证，推出为等腰直角三角形，得到，， 由，，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ； ①的准内心P在的直角边上时，过点P作于点D，连接，如图， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②的准内心P在的直角边上时，过点P作于点D，连接，如图， 则， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ． ． 综上，的长为或； （2）解：①为直径， ， ∵点P为的准内心且点P在上， ∴点P在的平分线上， ， ， ∴点P为的中点． ∴若的准内心在上，则必有一个准内心P的位置始终不变，该准内心P为下方圆弧的中点． ②∵， ， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点B作于点E，如图， ， 为等腰直角三角形， ． ， ； ③． 过点P作于点E，交的延长线于点D，如图， ∵点P为的准内心， ， 在和中， ， ， ． 由（2）②知：， 在和中， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，相似三角形的判定与性质，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 试卷第20页，共29页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年中考第一次模拟考试（苏州卷） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9 ． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ______________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题： 本题共 11 小题，共 82 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17 ． （ 本题满分 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19. （本题满分 6 分） ) ( 18 ． （ 本题满分 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 本题满分 6 分） 21 ． （ 本题满分 6 分） (1) 填空： ____________ ， _____________ ； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ． （ 本题满分 8 分） 23 ． （ 本题满分 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ． （ 本题满分 8 分） 25 ． （ 本题满分 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ． （ 本题满分 10 分） 27 ． （ 本题满分 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年中考第一次模拟考试（苏州卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（本题满分 6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分 5 分） 20．（本题满分 6 分） 21．（本题满分 6 分） (1)填空：m = ____________，n =_____________； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．______________10．______________11．______________12．______________ 13．______________14．______________15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 11 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（本题满分 5 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（本题满分 8 分） 23．（本题满分 8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本题满分 8 分） 25．（本题满分 10 分） 26．（本题满分 10 分） 27．（本题满分 10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．志愿服务，传递爱心，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱 5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸片进行折叠，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，分别是的角平分线和中线过点C作于F，交于G，连接EF，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C． D．7 8．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．要使二次根式有意义，必须满足 ． 10．因式分解： 11．2023年5月6日，“五一”消费数据出炉，国内旅游收入约148 000 000 000元，将数据148 000 000 000用科学记数法表示为 ． 12．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 13．如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 14．甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为x千米/时，则根据题意可以列出方程 ． 15．如图，在中，，，，点M，N分别为上一个动点，以直线为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且，则的长为 ． 16．如图，在边长为4的正方形中，E为的中点，过上一点F作，分别交、于点M、N，连接，当时，的值为 ．    三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）计算：． 18．（本题满分5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19．（本题满分6分）先化简（x﹣）•÷，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数代入并求值． 20．（本题满分6分）在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 21．（本题满分6分）荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读活动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析： 【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）： 32  43  34  35  15  56  48  24  45  10  25  40  59  42  55  30  47  28  37  42 【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整 积分/分 星级 频数 红 2 橙 3 黄 5 绿 青    根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图． (1)填空：____________，_____________； (2)补全频数分布直方图； (3)【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数． (4)已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红的积分为分，是青星级．如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_________． 22．（本题满分8分）李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难•其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为，，如图所示，卡片除编号和内容外，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好 (1)王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为 　； (2)李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 23．（本题满分8分）图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离 (1)欢欢站在离摄像头水平距离的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），问欢欢的身高约是多少厘米？ (2)身高的乐乐，头部长度为，踮起脚尖可以增高．他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到？请计算说明．（精确到，参考数据：） 24．（本题满分8分）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 25．（本题满分10分）如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求的长． 26．（本题满分10分）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)若抛物线与y轴的公共点为，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； (3)当时，设二次函数的最大值为M，最小值为N，若，求m的值． 27．（本题满分10分）我们知道，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心． (1)如图（1），在中，，，，的准内心P在的直角边上，求的长． (2)如图（2），内接于，为直径，点A在上方的圆弧上运动，若的准内心在上，则必有一个准内心P的位置始终不变． ①确定该准内心P的位置（用文字语言叙述）； ②若中，，，求的长； ③设，，求的面积S（用含m、n的代数式表示）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列实数中，是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．志愿服务，传递爱心，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（    ） A．   B． C．   D．   3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱 5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸片进行折叠，如果，那么的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，，，分别是的角平分线和中线过点C作于F，交于G，连接EF，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C． D．7 8．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．要使二次根式有意义，必须满足 ． 10．因式分解： 11．2023年5月6日，“五一”消费数据出炉，国内旅游收入约148 000 000 000元，将数据148 000 000 000用科学记数法表示为 ． 12．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 13．如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 14．甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为x千米/时，则根据题意可以列出方程 ． 15．如图，在中，，，，点M，N分别为上一个动点，以直线为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且，则的长为 ． 16．如图，在边长为4的正方形中，E为的中点，过上一点F作，分别交、于点M、N，连接，当时，的值为 ．    三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）计算：． 18．（本题满分5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19．（本题满分6分）先化简（x﹣）•÷，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数代入并求值． 20．（本题满分6分）在中，，平分交于D，E、F分别在上，且． (1)求的度数； (2)求证：． 21．（本题满分6分）荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读活动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析： 【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）： 32  43  34  35  15  56  48  24  45  10  25  40  59  42  55  30  47  28  37  42 【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整 积分/分 星级 频数 红 2 橙 3 黄 5 绿 青    根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图． (1)填空：____________，_____________； (2)补全频数分布直方图； (3)【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数． (4)已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红的积分为分，是青星级．如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_________． 22．（本题满分8分）李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难•其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为，，如图所示，卡片除编号和内容外，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好 (1)王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为 　； (2)李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 23．（本题满分8分）图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离 (1)欢欢站在离摄像头水平距离的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），问欢欢的身高约是多少厘米？ (2)身高的乐乐，头部长度为，踮起脚尖可以增高．他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到？请计算说明．（精确到，参考数据：） 24．（本题满分8分）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 25．（本题满分10分）如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)求的长． 26．（本题满分10分）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)若抛物线与y轴的公共点为，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由； (3)当时，设二次函数的最大值为M，最小值为N，若，求m的值． 27．（本题满分10分）我们知道，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心． (1)如图（1），在中，，，，的准内心P在的直角边上，求的长． (2)如图（2），内接于，为直径，点A在上方的圆弧上运动，若的准内心在上，则必有一个准内心P的位置始终不变． ①确定该准内心P的位置（用文字语言叙述）； ②若中，，，求的长； ③设，，求的面积S（用含m、n的代数式表示）． 答案第8页，共8页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$