精品解析：湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

武汉市常青联合体2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十五中学 命题教师：王巧睿 审题教师：龚世杰 考试时间：2025年1月16日 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数求导运算正确的个数为（ ） ①；②若，则；③；④； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在点处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 6. 韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是偶函数，且当时其导函数满足，若，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有错选得0分． 9. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C. 反射光线所在直线的斜率为，则 D. 记点，直线与相切，则 三、填空题：本題共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________. 14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 16. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，数列前项和，证明：. 17. 已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 18. 已知数列满足，（）.记 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． （1）求的值及的方程； （2）证明：线段的垂直平分线过定点； （3）设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市常青联合体2024-2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市第十五中学 命题教师：王巧睿 审题教师：龚世杰 考试时间：2025年1月16日 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数求导运算正确的个数为（ ） ①；②若，则；③；④； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导运算对其一一验证即可得出答案. 【详解】对于①：为常数，常数求导为0，故①正确； 对于②：为复合函数，求导，故②错误； 对于③：为复合函数，求导，故③错误； 对于④：，求导为，故④正确； 故选：B. 2. 若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实轴长以及焦距可得，，计算可得，再由渐近线方程的形式即可求得结果. 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 3. 已知函数在点处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，先求得导函数，由导函数几何意义可求得在点处的切线斜率，再由齐次式求法即可得解. 【详解】函数， 求得导函数为， 所以， 即， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，齐次式求值的简单应用，属于基础题. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正六边形的几何性质以及离心率即可求出结果. 【详解】因为多边形为正六边形，设正六边形的边长为， 所以，∴， ∴，∴， 故选：C. 5. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，由，故，即（负值舍去）， 故，故， 则 ， 故. 故选：A. 6. 韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 7. 已知函数是偶函数，且当时其导函数满足，若，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数关于直线对称，函数在上单调递减,在上单调递增，从而可比较出大小. 【详解】由函数是偶函数可知，函数关于直线对称， 又， 故函数在上单调递减,在上单调递增， 又, 所以 , 所以，， 因为函数的图象关于直线对称， 所以 所以， 故选：C. 8. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式求得的表达式，即可得，结合其单调性推出恒成立，继而判断的单调性，求出其最大值，即可求得答案. 【详解】由于数列满足， 当时，，当时，， 故，即，也适合，故， 则， 由于数列为单调递增数列，即， 即， 则恒成立，令， 则， 当时，，当时，， 故是数列的最大值的项， 故时，取得最大值，故， 则的取值范围为， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有错选得0分． 9. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D. 【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，A错误； 由图象可知当时，，在上单调递增，B正确； 由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确， 故选：BD 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定数列的所有正数项判断A；举例说明判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用等差数列前n项和公式及性质推理判断D. 【详解】对于A，由，令，解得，令，解得， 又，则，，数列单调递减，数列前项的和最大，A正确； 对于B，当，时，等比数列也是递减数列，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，若为等差数列，则，则， （为常数），因此数列是等差数列，D正确． 故选：ACD 11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C. 反射光线所在直线的斜率为，则 D. 记点，直线与相切，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出. 【详解】对于A：若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得： 二者联立解得：.故A错误； 对于B：光由所经过的路程为. 故B正确； 对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即. 故C正确. 对于D：设直线PT的方程为. ，消去y可得：. 其中，即，解得 代入，有，解得：. 由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以. 所以.故D正确 故选：BCD 三、填空题：本題共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答． 【详解】等比数列中，，由， 得，由，得， 所以． 故答案为：3． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 14. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可； （2）利用导数求出函数的单调区间即可. 【小问1详解】 ，则， 则切线的斜率，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 则， 由，可得或；由，可得， 所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为． 16. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，数列前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，从而利用等差数列通项公式求出，再利用求出答案； （2）裂项相消法求和，并证明. 【小问1详解】 因为，则， 所以，可得， 当时，， 又因为适合上式，因此. 【小问2详解】 由（1）可得：， 故. 17. 已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M到定点的距离之和等于定值，结合椭圆的定义判定当时，M的轨迹为椭圆，并写出标准方程；当时，为线段,并写出方程；无轨迹. （2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以为中点的直线的斜率，进而得到方程. 【详解】（1）当时，；当时，；当时无轨迹. （2）当时，轨迹的方程是：，设点则 作差得，除以得，代入中点坐标，则，直线的方程是. 【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，识别已知条件，转化为动点到两定点的距离之和等于定值是关键，求解中点弦问题是，利用代点平方差方法求斜率是常用的方法. 18. 已知数列满足，（）.记 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列定义证明即可； （2）使用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由已知，∵，∴， ∵， ∴， 又∵，∴， ∴易知数列中任意一项不为，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由第（1）问，，∴， ∴设数列的前项和为，则 ①， ①得， ②， ①②得， ， ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 19. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． （1）求的值及的方程； （2）证明：线段的垂直平分线过定点； （3）设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1），抛物线方程为. （2） 设直线的方程为：， 联立方程，消去得，， 由，得， 由韦达定理得， 根据抛物线定义：，可得， 此时，解得或， 设的中点坐标为，则， 可得的垂直平分线方程为：， 将代入整理得：， 故的垂直平分线过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）将的坐标代入抛物线方程可求出的值，从而可求出的方程； （2）设直线的方程为：，将直线方程代入抛物线方程化简，再利用根与系数的关系，结合抛物线的定义和已知条件可得，再结合中点坐标公式可求出的垂直平分线方程，从而可求得答案； （3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出的面积，化简换元后利用导数可求出其最大值，从而可求出直线的方程． 【小问1详解】 将点代入抛物线方程，可得，解得， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可得， 且点到直线的距离， 则的面积为， 可得， 设，设，则 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，的面积取最大值，此时，即． 此时. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题求解方法：先把目标式表示出来，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解，常用方法有：①二次函数法：利用换元法，目标式化成二次型，结合二次函数求解；②基本不等式法：把目标式化成能使用基本不等式的结构，利用基本不等式求解；③导数法：求解导数，利用导数求解最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $