精品解析：2024年甘肃省张掖市甘州区九年级第二次模拟考试数学试卷

2024年春学期第二次模拟考试试卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象经过点，则比较的大小为（ ） A. B. C. D. 无法比较 5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩较低且稳定 B. 乙的平均成绩较低且稳定 C. 甲的平均成绩较高且稳定 D. 乙的平均成绩较高且稳定 7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M 是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1． 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 2米 C. 3米 D. 米 9. 如图，在中，，，，，垂足为D，那么的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 绝对值小于8的所有整数的和等于____________． 12. 分解因式：______． 13. 年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为______． 14. 如图，内接于，是的直径，若，则等于______． 15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 16. 如图，与相切于点C，线段交于点B．过点B作交于点D，连接，且交于点E.若，．则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题：本题共11小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 20. 如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且． （1）求证：； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）． 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 四、解答题（本大题共5个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 某校本学期开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角的大小是_________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数是多少？ 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图像向下平移2个单位，求平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图像没有公共点． 25. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点． （1）求证：AD⊥CD； （2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．) 26. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 27. 如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、． （1）填空：________； （2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标； （3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春学期第二次模拟考试试卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了倒数和相反数，根据倒数和相反数的意义进行解答即可. 【详解】解：的倒数是，的相反数是， 即的倒数的相反数是， 故选：B 2. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等． 由平行线的性质得，再由角平分线的定义得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选B． 4. 已知函数的图象经过点，则比较的大小为（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，判断出一次函数的增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 5. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限， 故选：C． 6. 如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩较低且稳定 B. 乙的平均成绩较低且稳定 C. 甲的平均成绩较高且稳定 D. 乙的平均成绩较高且稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况． 【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动小，计乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选：A． 7. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M 是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行线的唯一性证明重合，即点H与点N重合，则可得，即小朋友离地面的最大距离是． 【详解】解：如图所示，当点B在最高位置时，过点B作垂直于地面于C，取中点H，连接， ∵点M 是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵支柱垂直于地面，垂直于地面， ∴， ∴由平行线的唯一性可知重合，即点H与点N重合， ∴， ∴小朋友离地面的最大距离是， 故选：B． 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1． 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 2米 C. 3米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．熟练掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．连接交于点，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点，连接， 点为运行轨道的最低点， ， （米）， 在中， ， ． 故选A． 9. 如图，在中，，，，，垂足为D，那么的长为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出长，再证明，根据相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形判定与性质，熟练应用相似三角形判定与性质是解题关键． 10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形， 根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点， ∴， ∴， 如图，连接，连接，交于点N′，连接， ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 绝对值小于8的所有整数的和等于____________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据绝对值小于8，可得整数，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】绝对值小于8的所有整数有． 绝对值小于8的所有整数的和等于， 故答案为：0． 【点睛】本题考查绝对值和有理数的加法，利用绝对值的意义得出整数是解题关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 13. 年月日是我国第个植树节，截至年，全国完成新增种植和低产林改造亩，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，熟练掌握“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”是解题的关键． 根据科学记数法正确表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，内接于，是的直径，若，则等于______． 【答案】##57度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到，利用直角三角形的性质可计算出，然后根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 16. 如图，与相切于点C，线段交于点B．过点B作交于点D，连接，且交于点E.若，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到，根据垂径定理得到的长，再根据圆周角定理发现，从而根据锐角三角函数求得圆的半径，根据全等三角形的判定定理得到，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形的面积． 【详解】解：∵与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识点．掌握圆的基本性质、熟练解直角三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，加减乘除混合运算，解题的关键是先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行约分计算． 先对括号内式子通分计算，再把除法运算转变为乘法运算，最后约分化简． 【详解】原式 19. 解不等式组，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的非负整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0和1． 20. 如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且． （1）求证：； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的对边平行且相等准备条件，利用平行线的性质准备条件，根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据一组对边平行且相等证四边形为平行四边形，再添加矩形的特殊条件即可． 【小问1详解】 ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 【小问2详解】 填加的条件：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 21. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】信号塔的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，同时涉及矩形的判定与性质，勾股定理等知识，延长交直线于点B，过点E作于点G，证明四边形是矩形，根据坡比先求出 ，，再根据，问题即可得解 【详解】解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图， 根据题意有：，，，，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：信号塔的高为米． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解； ②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 四、解答题（本大题共5个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 某校本学期开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_________名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角的大小是_________，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数是多少？ 【答案】（1）40； （2）54°， 条形统计图补充如下图： （3）75名 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据扇形统计图、条形统计图的性质分析，即可得到答案； （3）根据用样本评估总体的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，本次抽样测试的学生人数是名 故答案为：40； （2）表示A级的扇形圆心角的大小是： C级学生数为：名 图略； 故答案为：54°，画图见解析； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数是：名 ∴估计该校八年级优秀的人数大约是75名． 【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图像向下平移2个单位，求平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图像没有公共点． 【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是，再代入反比例函数即可解答； （2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程即可解答； （3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到，求出a的取值范围，再在范围内任取一个a的值即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标是2， ∴当时，， ∴其中一个交点是． ∴． ∴反比例函数的表达式是． （2）∵一次函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的表达式是． 联立及，可得一元二次方程， 解得，． ∴平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标为 （3）设一次函数为y=ax+b（a≠0）， ∵经过点，则b=5， ∴y=ax+5， 联立y=ax+5以及可得：， 若一次函数图像与反比例函数图像无交点， 则，解得：， ∴（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像交点问题以及函数图像平移问题，解题的关键是熟悉函数图像上点的特征，第（3）问需要先确定a的取值范围． 25. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点． （1）求证：AD⊥CD； （2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．) 【答案】 （1）证明：连接OC． ∵直线CD与⊙O相切， ∴OC⊥CD． ∵点C是的中点， ∴∠DAC=∠EAC． ∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC， ∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD； （2）11.3 【解析】 【详解】分析：（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明； （2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可． 详解：（1）略 （2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3． 点睛：本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键． 26. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】（1）或或或 （2）①15，15；②，理由见解析 （3）cm或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： ，sin∠BME= 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ② 【小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 27. 如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、． （1）填空：________； （2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标； （3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长． 【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（，）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解； （3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长. 【详解】解：（1）∵抛物线过点C（1，0）， ∴将C（1，0）代入得0=1+b+3， 解得b=-4， 故答案为：-4； （2）由（1）可得抛物线解析式为：， 当x=0时，y=3， ∴A的坐标为（0，3）， 当y=3时得， 解得x1=0，x2=4， ∴点B的坐标为（4，3）， ∵， ∴顶点D的坐标为（2，-1）， 设BD与x轴的交点为M，作CH⊥AB于H，DG⊥CM于G， ∴tan∠ACH= tan∠OAC=， 根据勾股定理可得BC=，CD=，BD=， ∴BD=， ∴∠BCD=90°， ∴tan∠CBD=， ∴∠ACH=∠CBM， ∵∠HCB=∠BCM=45°， ∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB， 即∠ACB=∠CMD， Q在CD上方时：若，则Q与M点重合， ∵中，令y=0，解得：x=1或3， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 即此时P的坐标为（3，0）； Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N， 可得：AB=4，BC=，AC=，设CN=x，则BN=-x， 在△ABC中，， 即，解得：x=， ∴cos∠ACN==， 设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得： ，解得：， ∴直线BD的表达式为y=2m-5， 令y=0，则x=，即点M（，0）， 设点Q坐标为（a，2a-5）， 则QK=5-2a，CM=，QM=， ∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD， ∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM=, ∴cos∠CQD=cos∠ACB=, ∴QL=，QM=，CL=， 在△CQM中，， 即，解得：KQ=， ∴CK=, ∴Q（，）， 设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入， ，解得：， 则CQ表达式为：，联立： ，解得， 即点P坐标为（，）， 综上：点P的坐标为（3，0）或（，）； （3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′， ∴R（3，1），设C′（p，q）， 由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3， 直线BD表达式为：y=2x-5， 直线BC的表达式为：y=x-1， 令-3x+3=2x-5，解得：x=，则y=， ∴点N′（，）， ∵点C和C′关于直线BD对称， ∴CR=C′R=BD=，CN′=C′N′=， 则有，， 即， ①-②得：③，代入①， 解得：或0（舍），代入③中，得：， 解得：，即点C′（，）， ∵N′（，）， 求得直线C′N′的表达式为：， ∵点F在x轴上，令y=0，则x=7， ∴点F（7，0）， 又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG， 可得∠BCF=45°=∠BCG， ∴∠FCG=90°， ∴CG=CF=6, ∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3）， ∴AG的长为. 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，知识点较多，难度较大，解题时要注意分类讨论，画图相应图形，利用数形结合思想解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $