专题05 因数与倍数计算（十二大突破）-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第二单元：因数与倍数 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 3 突破点一：因数与倍数的认识 3 突破点二：求一个数的因数 6 突破点三：因数的特征 8 突破点四：因数与生活实际应用 9 突破点五：求一个数的倍数 13 突破点六：倍数的特征 15 突破点七：倍数与生活实际应用 16 突破点八：因数与倍数综合应用 19 突破点九：2、5、3的倍数特征 21 突破点十：同时是2、5、3的倍数特征 23 突破点十一：几个数的差与和同2、5、3的倍数特征 26 突破点十二：质数与合数的意义 28 突破点十三：巧用质数与合数的特征解决问题 28 综合突破 30 一、因数与倍数的认识。 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 3.因数和倍数的特性。 一个数因数个数是有限的买最大的因数是本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是本身。所以一个数的最大因数和最小倍数相等，都是本身。 二、2、5、3的倍数的特征。 （1）2的倍数‌： 2的倍数特征是成双成对地出现，即个位上的数字为0、2、4、6、8。比如10、12、14、16、18都是2的倍数。是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 ‌（2）3的倍数‌： 3的倍数特征是将数字的各个位数上的数字加起来，和为3的倍数。例如，例如，数字123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123也是3的倍数。。 ‌（3）5的倍数‌： 5的倍数特征是个位上的数字为0或5。 （4）同时是2和5的倍数的特征。 同时是2和5的倍数的特征的数是指一个自然数的个位上的数字是“0”的数。例如：10、20、30、40、……。这些数也是2×5=10的倍数。 （5）同时是2和3的倍数的特征。 同时是2和3的倍数的特征的数一定是2×3=6的倍数。即是3的倍数的偶数，其中最小的数是6。 （6）同时是3和5的倍数的特征。 同时是3和5的倍数的特征的数一定是3×5=15的倍数。最小的数是15 （7）同时是2、3和5的倍数的特征。 同时是2、3和5的倍数的特征的数一定是2×3×5==30的倍数。最小的数是30 三、质数和合数 按照因数的个数，把大于0的自然数划分为三类：质数、合数、1。 （1）质数： 质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。 （2）合数： 合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。 （3）1 1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数。 （4）质数与合数的不同 A、性质不同 ①质数:是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。 ②合数:是自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。 B、特点不同 ①质数:质数的个数是无穷的；在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个质数。最小的质数是2，是唯一的偶质数，其它质数都是奇数。 ②合数:所有大于2的偶数都是合数；所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数；除0以外，所有个位为0的自然数都是合数；所有个位为4，6，8的自然数都是合数。 四、奇偶性 （1）和的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数 （2）积的奇偶性 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数 （3）奇偶性应用 附：单元思维导图 【专题突破一】因数与倍数的认识 1.因数与倍数的定义。 ----在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在描述时因数和倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 如12÷3=4,则可以说3是12的因数，12是3的倍数。不能说3是因数，12是倍数。因为在一个的算式里，一个数可以做因数，在但其它算式里时，也可以做倍数。这就说明：因数和倍数是相对的，不能单独存在。 （2）课本上已经注明：自然数0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 1.因为35÷5=7，所以可以说5是( )的因数，35是5的( )。 【答案】35 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就是b的倍数，b就是a的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为35÷5＝7，所以可以说5是35的因数，35是5的倍数。 2.因为6×8=48，所以48是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是48的因数。 【答案】6868 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 【详解】因为6×8＝48，所以48÷6＝8，48÷8＝6，所以48是6的倍数，也是8的倍数；6和8都是48的因数。 3.如果x=4y（x、y都是非0的自然数），那么x是y的( )数，y是x的( )数。 【答案】倍因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】如果x＝4y（x、y都是非0的自然数），即x÷y＝4，那么x是y的倍数，y是x的因数。 4.如果m÷3＝n（m、n均为非0的自然数），那么m是n的( )，n是m的( )。 【答案】倍数因数 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数。 【详解】根据因数和倍数的含义，如果m÷3＝n（m、n均为非0的自然数），那么m是n的倍数，n是m的因数。 5.如果a÷b=8（a和b都是非0自然数），那么（ ）是（ ）因数，（ ）是（ ）的倍数。 【答案】a、b ； b、 a 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数。 【详解】根据因数和倍数的含义，如果a÷b＝8（a、b均为非0的自然数），那么b是a的倍数，a是b的因数。 【专题突破二】求一个数的因数。 1. 求一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式求，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数（不同的）都是这个数的因数。 （2）列除法算式求，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，其中每一道算式里的除数和商都是这个数的因数（不要重复）。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。②集合表示法。 1.写出下面各数的因数。 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出24、42的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 2. ( )的因数只有1个，5的因数有( )个，8的因数有( )个。 【答案】 1 2 4 【分析】通过列乘法算式：将这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数的因数。先列举出1、3、6的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】1的因数：1；只有1个； 5的因数：1，5；有2个； 8的因数：1，2，4，8；有4个。 1的因数只有1个，5的因数有2个，8的因数有4个。 3.10的因数有( )，20的因数有( )，既是10的因数，又是20的因数的数有( )。 【答案】 1、2、5、10； 1、2、4、5、10、20 1、2、5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出10和20的因数，再找到既是10的因数，又是20的因数的数即可。 【详解】10=1×10=2×5；10的因数有：1，2，5，10； 20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因数有：1，2，4，5，10，20； 既是10的因数，又是20的因数有：1，2，5，10。 10的因数有1，2， 5，10；20的因数有1，2，4，5，10，20，既是10的因数，又是20的因数的数有1，2，5，10。 4.把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2 3 4 5 6  8 10 12 152030 40 我发现：( )既是16的因数，又是40的因数。 【答案】见详解；1，2， 4，8 【分析】先从所给的数中挑选出16的因数和40的因数，填入相应的方框里；然后从中找出既是16的因数，又是40的因数的数即可。 【详解】 我发现：1，2， 4，8既是16的因数，又是40的因数。 【专题突破三】因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 1.已知一个自然数m，它的所有因数有1，2，3，4， 6，12,那么m是( )。 A．6 B．12 C．24 D．72 【答案】B 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。据此解题。 【详解】一个自然数m，它的所有因数有1，2，3，4， 6，12，说明这个数的最大因数是12，那么m是12。 故答案为：B 2.一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．2 B．4 C．6 【答案】A 【分析】假如a×b＝c（a、b、c都是整数），那么我们称a和b就是c的因数，据此解答。 【详解】A．2的因数有：1，2。有2个，符合题意； B．4的因数有：1、2、4，有3个因数，不符合题意； C．6的因数有：1，2，3，6。有4个，不符合题意； 故答案为：A 3.35的最小因数是( )。 A．1 B．5 C．7 【答案】A 【分析】 根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】35的最小因数是1。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，掌握最小因数的求法是解答本题的关键。 4.已知a是29的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是29 C．a是1或29 【答案】C 【分析】已知a是29的因数，先列举出29的所有因数，再确定a的值。 【详解】29的因数：1，29； 已知a是29的因数，那么a是1或29。 故答案为：C 【专题突破四】因数与生活实际应用 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 1.妈妈买了36个苹果放入纸箱里，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是苹果总个数的因数，据此求出苹果总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用苹果总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【详解】（1）36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6 1和36排除，所以可以2个一放，或者3个一放，或者4个一放，或者6个一放，或者9个一放，或者12个一放，或者18个一放，共7种方法。 答：一共有7种放法。 （2）2个一放，放了36÷2=18（次） 3个一放，放了36÷3=12（次） 4个一放，放了36÷4=9（次） 6个一放，放了36÷6=6（次） 9个一放，放了36÷9=4（次） 12个一放，放了36÷12=3（次） 18个一放，放了36÷18=2（次） 答：每次放2个放18次全部放完；每次放3个放12次全部放完；每次放4个放9次全部放完；每次放6个放6次全部放完；每次放9个放4次全部放完；每次放12个放3次全部放完；每次放18个放2次全部放完。 2.有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把32本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是32的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是32的因数，即用32除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【详解】32÷6=5（箱）…2（本） 32÷8=（箱） 32÷5=6（箱）…2（本） 答：因为8是32的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 3.六一儿童节期间，实验小学五年级（1）班有24名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和24人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【答案】6种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出24有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【详解】24＝1×24，排成1行或者36行，都不符合题意； 24＝2×12，排成2行或者18行； 24＝3×8，排成3行或者排成12行； 24＝4×6，排成4行或者排成9行； 答：一共有6种不同的排法。 4.月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【答案】3种；见详解 【分析】根据题意，要把48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每个盒子装月饼的数量一定是48的因数； 先列举出48的所有因数，再找出大于3且小于9的因数，即是每盒装月饼的数量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 5.五一班的同学到博物馆参观，男生有12人，女生有16人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【答案】4组；3人 【分析】由题意可知：分组后每个小组的男生和女生人数分别相等，要求最多能分成几个小组，只要求出12和16的最大公因数即可解决问题。 【详解】12=3×2×2 16=2×2×2×2 所以12和16的最大公因数是2×2=4，每组男生3人。 答：最多可以分成4组，每组男生3人。 【点睛】灵活运用最大公因数的求解方法来解决实际问题。 6.三根铁丝分别长15米、24米和36米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【答案】3米；25段 【分析】将三根铁丝剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段铁丝的长度就是求15、24和36的最大公因数；三根铁丝总长÷一共能剪的段数＝每段的长度。 【详解】15的因数有1，3，5，15； 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24； 36的因数有1，2，3，4，6，9,，12，18，36； 15、24、36的最大公因数是3； （15+24+36）÷3 =75÷3 =25（段） 答：每段长3米，一共能剪25段。 【点睛】本题考查最大公因数知识点，运用最大公因数知识解决实际问题。 7.五（3）班买了57本练习本和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本练习本和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【详解】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【点睛】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。 【专题突破五】求一个数的倍数。 【方法点拨】 1.求一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式求，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2.表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。②集合表示法。 1.30以内5的倍数有( )。 【答案】5、10、15、20、25、30。 【分析】 根据找一个数的倍数的方法，进行列举即可。 【详解】 30以内5的倍数有：5、10、15、20、25、30。 2.写出60以内，所有19的倍数：( )。 【答案】17、34 【分析】求一个数的倍数的求法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答。 【详解】由分析得：19×1＝19 19×2＝38 19×3＝57 19×4=76 76＞60，所以在60以内，19的倍数有19、38、57。 【点睛】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的，故在求一个数的倍数时，通常要对数的范围加以限制。 3.写出下面各数的倍数（各写5个）。 2：( )； 21：( )； 59：( )。 【答案】 2、4、6、8、10 ； 21、42、63、84、105； 59、118、177、236、295 【分析】求一个数倍数的方法： 这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，…，就得到这个数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍。据此解答。 【详解】1的倍数：（2、4、6、8、10）； 50的倍数：（21、42、63、84、105）； 75的倍数：（59、118、177、236、295）。 4. 写出下面各数的倍数。（各写5个） 5的倍数              17的倍数         【答案】见详解 【分析】根据找一个数的倍数的方法，写出5和17的倍数，各写5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】 （答案不唯一） 【专题突破六】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 1.一个数是42的因数，又是6的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 6 42 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】42的最大因数是42，6的最小倍数是6，42÷6=7，即42是6的倍数，6是42的因数。所以一个数是42的因数，又是6的倍数，这个数最小是6，最大是42。 2.一个数的最大因数是28，这个数是( )；一个数的最小倍数是25，这个数是( )。 一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是( )。 【答案】 28 ，25，24 【分析】一个数的最大公因数是它本身，一个数的最小公倍数是它本身，据此解答即可。 【详解】一个数的最大因数是28，那么这个数就是28； 一个数的最小倍数是25，那么这个数是25。 一个数的最大因数等于最小倍数，等于本身，所以一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是24。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知： A是5的最小倍数； B是最小的自然数； C是6的最大因数； D是既是3的倍数，又是3的因数； E是所有因数是1、2、3、6； F是所有因数是1，2，4； G是只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5063641 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 6的最大因数是6； 既是3的倍数，又是3的因数的数是3； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，2，4的数是4； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5063641。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【专题突破七】倍数与生活实际应用。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 1.五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 2.一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【点睛】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 3.五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 4.金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【详解】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 5.商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】72个 【分析】从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 6.五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【答案】48名 【分析】每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余，说明总人数是12和16的公倍数，求出12和16的最小公倍数，再通过最小公倍数确定40至50之间的公倍数即可，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（名） 48＜50 答：这个班有48名学生。 【专题突破八】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数和倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数与倍数的方法和它们的特征。 1.阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【详解】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【点睛】关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 2.今年春节的时候，爸爸用微信给聪聪发了一个红包。红包里的钱数既是72的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或18元或36元或72元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断72的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72…… 9×1＝9 72＝9×8=18×4=36×2=72×1 答：爸爸给聪聪的红包里可能是9元或18元或36元或72元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 3.猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4.小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【详解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 【专题突破九】2、5、3的倍数的特征。 【方法点拨】 （1）2的倍数‌： 2的倍数特征是成双成对地出现，即个位上的数字为0、2、4、6、8。比如10、12、14、16、18都是2的倍数。是2的倍数的数是偶数，用字母表示为2n；不是2的倍数的数是奇数，可以用字母表示为2n-1。 ‌（2）3的倍数‌： 3的倍数特征是将数字的各个位数上的数字加起来，和为3的倍数。例如，例如，数字123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123也是3的倍数。。 ‌（3）5的倍数‌： 5的倍数特征是个位上的数字为0或5。 1.把下列个数填入相应的圈内。 3,24,12,23,36,95,92,31,51,15,46,65,100,120,320,2222,111,9993，87，121212 【答案】见详解 【分析】根据2、5、3的倍数的特征去填写。因为2的倍数的数的特征是个位数字是0,2,4,6,8的数；5的倍数的数的特征是个位数字是0或5的数；3的倍数的特征是各位数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】 2.把下列个数填入相应的圈内。 33,98,533,0,321,188,8089,1000,988,563,1234,777，11114,4567 【答案】见详解 【分析】运用偶数和奇数的特征去填写。个位数字是0，2，4，6，8的数就是偶数，反之就是奇数。 【详解】 3.请写出3个是3的倍数的偶数（ ）；请写出3个是5的倍数的奇数（ ）。 【答案】6,12,18；5,15,25, 【分析】既是3的倍数又是偶数的数一定是2×3=6的倍数；5的倍数的特征是个位数字是0或5的数，当个位数字是0的时候为偶数，所以只有当个位数字为5的时候才是奇数。 【详解】3的倍数的偶数有：6,12,18 5的倍数的奇数有：5,15,25, （答案不唯一） 4.在□里填上一个数字，使每个数都是3的倍数。 （1）□7，□可以填（ ）； （2）2□4，□可以填（ ）； （3）65□，□可以填（ ）； 【答案】2,5,8；0，3,6,9；1,4,7. 【分析】根据3的倍数特征去填写。3的倍数的特征是各位上的数字相加之和是3的倍数的数就是3的倍数。 【详解】□7中，□+7等于9,12,15时为3的倍数，所以□里面的数字可以为2,5,8； 2□4数中，2+□+4的和为3的倍数时 □里可以填0,3,6,9；同理65□数中，□可以填1,4,7。 5.根据规律写数。 （1）一五、一十、一十五、二十、…，这些数都是（ ）的倍数，第13个数是（ ）。 【答案】5,65 【分析】个位上的数字为0或5，这样的数是5的倍数，所以一五、一十、一十五、二十、…，这些数都是3的倍数；第1个数为5的1倍，第2个数为5的2倍，第3个数是5的3倍，……，所以第13个数应是5的13倍，为5×13=65。 【详解】一五、一十、一十五、二十、…，这些数都是3的倍数，第13个数是5×13=65。 （2）100，98,96,94，…，8,6,4,2。这列数中，每个数都是（ ）的倍数，第15个数是（ ）。 【答案】2,72 【分析】上面一列数的个位上的数字是0,8,6,4,2，这样的数都是2的倍数； 这列数是等差数列，每一个数都连续少2，第一个数100减去0个2，第二个数为100减去1和2，第3个数为100减去2个2，……，所以第15个数为你100减去14个2，得到100-2×14=72 【详解】末尾数字是偶数的数就是2的倍数；第15个数为100-2×（15-1）=72 6.一本200页的书，任意撕下2张，则这本书剩下的所有页码之和一定是（ ），如果撕下了3张，则这本书剩下的所有页码之和一定是（ ）。（填奇数或偶数） 【答案】偶数，奇数 【分析】一本书每一张都有2页，每一页都有一个数，每张正反两面各一个奇数和一个偶数。一本200页的书，有200个奇数和200和偶数组成，200个偶数之和为偶数，200个奇数之和也为偶数，所以整本书的页码之和为偶数，当任意撕下2张，则撕下的2张里有2个偶数2个奇数，撕下的页码之和为偶数，剩下的页码之和仍然为偶数，偶数-偶数=偶数；当撕下3张时，有3个偶数3个奇数，其和为奇数，偶数-奇数=奇数，所以撕下3张后，页码之和为奇数。 【详解】撕下偶数张，剩下的页码之和为偶数，撕下奇数张后剩下的页码之和为奇数。 【专题突破十】同时是2、5、3的倍数的特征。 （1）同时是2和5的倍数的特征。 同时是2和5的倍数的特征的数是指一个自然数的个位上的数字是“0”的数。例如：10、20、30、40、……。这些数也是2×5=10的倍数。 （2）同时是2和3的倍数的特征。 同时是2和3的倍数的特征的数一定是2×3=6的倍数。即是3的倍数的偶数，其中最小的数是6。 （3）同时是3和5的倍数的特征。 同时是3和5的倍数的特征的数一定是3×5=15的倍数。最小的数是15 （4）同时是2、3和5的倍数的特征。 同时是2、3和5的倍数的特征的数一定是2×3×5==30的倍数。最小的数是30 1.按要求填空。 （1）35□既是2的倍数，又是5的倍数。 （2）□□□既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 （3）□□□同时是2、5、3的倍数的最大三位数。 【答案】（1）0；（2）100；（3）990 【分析】（1）既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是：个位数字为0或这个数是2×5=10的倍数。所以各位数字为0； （2）根据（1），先确定个位数字为0，前2为最小填入10 ，所以这个三位数为100；或10×10=100，也就是10 的10倍为最小的三位数； （3）同时是253的倍数的数一定是2×5×3=30的倍数，30×33=990＜1000，所以这个三位数最大为990；或先确定2和5的共同的倍数末尾数字一定有0，在在百威上填写最大的一位数字9，再根据3的倍数的特征，确定十位上的数字为9，这个数就死最大的三位数。 【详解】（1）35□既是2的倍数，又是5的倍数，□上的数字为0。 （2）□□□既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。先确定尾数是0，最高位要秀数最小只能填1，在确定视为上的数字最小为0，所以这个三位数最小为100； （3）同理，2×5×3=30，1000÷30≈33，所以30×33=990是最大三位数。 2.从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。 （1）奇数 （2）偶数 （3）2的倍数 （4）5的倍数 （5）3的倍数 （6）既是2的倍数，又是3的倍数 （7）既是2的倍数，又是5的倍数 （8）既是3的倍数，又是5的倍数 （9）同时使2、5、3的倍数 【答案】（1）奇数：403,453，503,543,405,305,435,345共8个三位数 （2）偶数304,504,354,534,340,430,540,450,350，530共10个 （3）2的倍数桶（2） （4）5的倍数：405,305,435,345,450,540,340,430,共8个 （5）3的倍数：450,540,405,504,345,354,435,453,543,534共10个 （6）既是2的倍数，又是3的倍数：450,540,504,354,534共5个 （7）既是2的倍数，又是5的倍数：340,430，540,450,350，530共6个 （8）既是3的倍数，又是5的倍数: 450,540,405,345,435共5个 （9）同时使2、5、3的倍数：450,540共2个 【分析】运用2、5、3的倍数的特征进行填写。 2的倍数的数的特征是尾数是0、2、4、6、8。5的倍数的特征是尾数是0或5；3的倍数的特征是每一位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2又是3的倍数的数只需要在3的倍数的数字，找到偶数即可；既是2的倍数，又是5的倍数书的特征是尾数是0，只需要在5的倍数中找到尾数有0的数即可；既是3的倍数，又是5的倍数只需要在3的倍数中找到尾数有0或5的数即可；同时使2、5、3的倍数的数只需要在3的倍数的数中找到尾数有0的数即可。 【详解】（略） 3.填空 （1）既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是（ ）。 【答案】30 【分析】既是2和5的倍数的数的特征是尾数为0，再确定十位上额数为最小的数3，才是3的倍数。 【详解】2×5×3=30 （2）既是2的倍数，又是3的倍数的最小的三位数是（ ），最大的三位数是（ ）。 【答案】102,996 【分析】既是2的倍数，又是3的倍数的数就是6的倍数，最小的三位数为6×17=102； 最大的三位数为1000÷6≈166，最大为6×166=996 【详解】6×17=102；6×166=996 （3）同时是2、5、3的倍数的最小三位数是（ ），最大的两位数是（ ）。 【答案】120,90 【分析】同时是2、5、3的倍数，尾数一定为0，也是2×5×3=30的倍数，最小的三维数为30×4=120，最多的两位数为30×3=90 【详解】2×5×3=30 30×4=120 30×3=90 【专题突破十一】几个数的和或差与2、5、3的倍数关系。 【方法点拨】如果几个数都是同一个数的倍数，则这几个数的和或差也是这个数的倍数。如果几个数的和或差是一个数的倍数，则几个数不一定是总个数的倍数。 （1）例如：2,4,6都是2的倍数，则2+4+6=12也是2的倍数 （2）10、25、65都是5的倍数，则10+25+65=100是5的倍数；65-25-10=30也是5的倍数 （3）3、87、123都是3的倍数，则3+87+123=213也是3的倍数；123-87-3=33也是3的倍数。 1.判定。 （1）如果有三个数都分别是2的倍数，则这三个数的和也是2的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】三个偶数之和仍然为偶数，所以三个偶数的和是2的倍数 【详解】偶数+偶数+偶数=偶数，结果是2的倍数 （2）如果两个两位数都是3的倍数，则这两位数合成一个四位数也一定是3的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】两位数AB是3的倍数，说明A+B为3的倍数；CD为3的倍数，说明C+D也是3的倍数，所以四位数ABCD的各位数字之和为A+B+C+D也是3的倍数。 【详解】因为这两个两位数都是3的倍数，所以设第一个两位数为3x，第二个两位数为3y，所以这两个两位数合并成四位数为3x×100+3y=300x+3y=3(100x+y)，3(100x+y)含有3的因数，所以3(100x+y)为3的倍数。 （3）如果两个数的和是75，则这两个数的差也一定是5的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】举列子73+2=75,73和2都不是5的倍数 【详解】错误 （4）连续3个自然数的和一定是3的倍数，（ ） 【答案】√ 【分析】可以假设中间的自然数为x，通过式子判定 【详解】假设中间的自然数为x，则最小额度自然数为x-1，最大的自然数为x+1，这三个数的和为x-1+x+x+1=3x,3x=3×x，为3的倍数 （5）个位数字是4的数一定是4的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】举例子说明即可，如14不是4的倍数 【详解】4的倍数的特征为尾数后两位数字是4的倍数，这个数就是4的倍数。 如12，204,124…… 2.填空 （1）如果a、b、c都是不为0自然数，则5a+5b+5c一定是（ ）的倍数。 （2）aaa3,这个四位数一定是（ ）的倍数。 【答案】5；3 【分析】因为5a+5b+5c=5（a+b+c），5（a+b+c）÷5=a+b+c,a+b+c为自然数，所以是5的倍数；aaa3数中，a+a+a+3=3（a+1），含有因数3，为3的倍数 【详解】5a+5b+5c=5（a+b+c），5（a+b+c）÷5=a+b+c（a+b+c和为自然数），所以5a+5b+5c是5的倍数；a+a+a+3=3（a+1）=3×（a+1），含有因数3，所以aaa3一定为3的倍数。 【专题突破十二】质数、合数的意义。 按照因数的个数，把大于0的自然数划分为三类：质数、合数、1。 （1）质数： 质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。 （2）合数： 合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。 （3）1 1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数。 1 质数 合数 只有一个因数的数 只有1和它本身两个因数的数 有两个以上因数的数 （4）最小的质数是2，最小的合数是4 （5）记住20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19。所有质数中唯一的偶质数是2，其余质数都是奇质数；连续两个质数分别是2和3；这8个质数的和是77。 1.请写出20以内的所有质数和合数 【答案】20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19 20以内的合数：4,6,8,9,10,12，14,15,16,18,20, 【分析】运用质数与合数的意义求解。只有1和本身两个因数的数为质数，合数除了1和本身，还有其它的因数的数就是说合数。 【详解】20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19 20以内的合数：4,6,8,9,10,12，14,15,16,18,20。 【点睛】1既表示质数也表示合数，所以20以内除了1之外，有8个质数，11个合数。 【专题突破十三】巧用质数和合数的特征实际应用 【方法点拨】 （1）偶数个质数相加，如果没有偶质数2，和一定是偶数；如果有质数2，和一定是奇数。 （2）技术个质数相加，如果没有偶质数2，和一定是奇数；如果和是偶数，其中一个质数一定是2。 （3）只有合数才能写成两个大于1的自然数相乘的形式，质数只能写成1和本身相乘。 1.两个质数的和为小于100的奇数，并且是11的倍数，这两个质数分别可能是多少？ 【答案】2和31或2和53或2和97 【分析】(1)偶数个质数相加,如果没有质数2,和一定是偶数；如果有质数2和一定是奇数。(2)通过尝试计算发现符合要求的质数,是常用的方法。 【详解】除2以外所有的质数都是奇数；两个质数的和是奇数这两个质数中一定有一个质数是偶质数2。 根据两个质数的和是11的倍数，可知它们的和可能是11，33，55，77，99。 尝试计算:11-2=9，9不是质数，不符合要求; 33-2=31，31是质数，符合要求; 55-2=5353是质数，符合要求; 77-2=7575不是质数，不符合要求: 99-2=97，97是质数，符合要求。 2.乐乐、康康、安安住在同一条街道上。他们三个家的门牌号是三个不同的质数且和是42，这三个质数的积最大是多少？ 【答案】782 【分析】因为除了2以外所有的质数都是奇数，三个质数相加的和是偶数。所以一定有一个质数是2。因为三个不同的质数的和是42，剩下两个质数的和是42-2=40。根据这两个数的差越小，积越大原理进行推理计算。 【详解】假如三个数都是奇数，则和不可能是偶数42，所以这三个数里面一定有一个偶质数2和2个其它的奇质数，其它两个奇质数的和为42-2=40，根据和定差小积大原理推算。40=23+17（差最小） 17×13×2=782 【点睛】解答拆分质数问题时要明确:(1)奇数个质数相加,如果没有质数2,和一定是奇数;如果有质数2,和一定是偶数。(2)通过尝试计算发现符合要求的质数,这是解决这类问题常用的方法。 3.下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？ 班级 一班 二班 三班 四班 人数 39 41 40 43 【答案】一班和三班可以，二班和四班不可以 【分析】利用质数和合数的意义进行计算分解 【详解】因为41和43都是质数，只能分解为1×本身；39和42是合数，39=3×13,40=2×20=4×10=5×8，所以39和40这两个数可以分成几个相同的小组，41和43不可以。 4.（1）有一个长方形的周长是24米，其它的长和宽都是质数。这个长方形的面积是多少平方米？ 【答案】35 【分析】长+宽=24÷2=12，因为长和宽都是质数，所以12=5+7 【详解】 长+宽=24÷2=12=5+7 面积=长×宽=5×7=35（平方米） （2）有一个长方形，它的长和宽都是整米数，面积是70平方米。这个长方形的长和宽分别可能是多少米？ 【答案】70和1或35和2或14和5或10和7 【分析】把70分解成两个因数相乘的形式，写出积的形式计算出长和宽。 【详解】70=70×1=35×2==14×5=10×7，所以长方形的长和宽可能性为70和1或35和2或14和5或10和7 一、填空。 （1）在51、17和3这三个数中，（　　 ）是（　　 ）的倍数，（　　 ）是（　　 ）的因数，（　　 ）和（　　 ）是互质数。 【解析】51÷17=3，所以51是17和3的倍数，17和3是51的因数；3和17是互质数。 （2）一个五位数，万位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字位最小的自然数，这个数写作（　　　　　　　 ）。 【解析】最小的质数是2，最小的奇数是1，最小合数是4，最小的自然数是0，所以这个五位数为20104 （3）根据要求写出三组互质数。 两个数都是质数（　2 ）和（　3 ）。 两个数都是合数（　8 ）和（　9 ）。 两个数中一个数是质数，一个数是合数（ 3 ）和（4）。 【解析】理解互质数的含义，互质数是只有共同因数1的两个数叫做互质数。 （4）一个数的最大因数是35，这个数是（　　），它的所有因数有（　　　　　　　　　　　　　），这个数的最小倍数是（　　　）。 【解析】一个数最大的因数是本身，所以35是本身；它的因数有：1,5,7,35。 （5）朋朋今年的年龄是个两位数，个位上的数既是质数又是偶数，十位上的数字既不是质数也不是合数。他今年（ ）岁，至少再过（　　 ）岁，他的年龄是2、3、5的共同的倍数。 【解析】最小的质数是2，1不是质数也不是合数，所以朋朋今年的年龄为12岁； 2、3、5的共同的最小倍数是2×3×5=30，所以要经过30-12=18（岁）。 （6）一个三位数同时能被2、5、3整除，这个三位数最大是（　　　　　 ），最小三位数是（　　　　　 ）。 【解析】2×5×3=30,最大为30×33=990；最小为30×4=120 （7）世界上最早关于偶数的“哥德巴赫猜想”简单地说就是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。例如8=3+5，那么： 12＝（5）＋（7） 24＝（　11　）＋（　13 ）＝（　7　）＋（　17　） 【解析】根据奇偶性计算 （8）如果275□4能被3整除，那么□里最小能填（　　），最大能填（　　 ）。 【解析】2+7+5+4=18,18+0=18,18+9=27，最小填0，最大为9 （9）一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，这个数的所有因数的和为（ ）。 【解析】一个数的最大因数等于最小倍数，都等于本身，所以这个数为32÷2=16 （10） 6□0能被3和5整除，□里可以填（　　）． 【解析】这个数尾数为0，为5的倍数，所以只考虑3的倍数即可，可以填0,3,6,9. （11）在1、0.5、2、4、0、10、11这几个数中，（　　）是整数，（　　）是自然数，（　　）是奇数，（　　）是偶数，（　　）是质数，（　　）是合数． 【解析】整数有1,2,4,0,10,11 自然数有1,2,4,0,10,11 偶数有2,4,10,0 质数有2,11 合数有4,10 （12）三个连续奇数的和是69，这三个奇数分别是（ ）、（　　）、（ ）。 【解析】中间数=和÷数的个数=69÷3=23,23-2=21,23+2=25 （13）写出两个合数，并使它们互质，这两个数是（　　）和（　　）． 【解析】8和9（答案不唯一） （14） 一个数千位是最小的奇数，万位是最小的合数，十位是最小的质数，其它数位上是0，这个数写作（　　），它既是（　　）又是（　　）的倍数． 【解析】考查奇数，合数，质数的意义 这个数为41020 （15）一个质数与一个合数的和是11，其它们的积是30，这个质数是（ ），这个合数是（ ）。 【解析】分解即可11=5+6,30=5×6，所以这个质数是5，合数是6 （16）从0,1,2,5,8中选择三个数字组成一个既是5的倍数又是偶数的最大三位数，这个数是（ ）；组成一个既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数，总个数是（ ）。 【解析】既是5的倍数又是偶数的最大三位数，这个三位数尾数是0，所以最大的是：850 （17）如果a是一个自然数，则偶数可以用（ ）来表示，奇数用（ ）来表示。 【解析】偶数是2的倍数，一定含有因数2，所以偶数可以表示为2n，则奇数可以表示为2n-1 （18）把下列个数填入适当的圆里 48，56，25，34，8，12，30，22，50，54，78，95，102，90，138，156，279，175，105 ( 3的倍数 ) ( 5的倍数 ) ( 2的倍数 ) ①既是2的倍数，又是3的倍数的数有（ ） ②既是2的倍数，又是5的倍数的数有（ ） ③既是3的倍数，又是5的倍数的数有（ ） ④同时是2，3，5的倍数的数有（ ） 【解析】 ①既是2的倍数，又是3的倍数的数，在3的倍数的集合里找偶数即可。有（48,12,30,54,78,102,90,138,156 ） ②既是2的倍数，又是5的倍数的数尾数为0，有（30,50，90 ） ③既是3的倍数，又是5的倍数的数在5的倍数集合里找3的倍数的数即可。有（ 30,90,105） ④同时是2，3，5的倍数的数在第②题中找3的倍数即可，有（ 30,90 ） 二、选择题 1.下面各数中，既是2的倍数，又是3的倍数的数是（ ）。 A.256 B.123 C.942 D.57 【解析】运用2的倍数和3的倍数特征计算 2的倍数尾数有0,2,4,6,8。只有选项A和C符合条件 3的倍数计算各位数字之和，和是3的倍数的数就是说3的倍数，2+5+6=13不是3的倍数，所以选项A.256排除，9+4+2=15.15是3的倍数，符合条件 【答案】C 2.下面三个选项中，“□”代表数字0，“△”代表1～9中的任意一个数字，（ ）一定是2、5、3的倍数。 A.△△□□ B.△△□△ C.△△△□ 【解析】满足2和5的倍数的数尾数一定有0，所以可以排除B； 满足3的倍数的数为C，因为△×3+□=3×△，含有3的因数，所以△△△□为3的倍数 【答案】C 3.男生衣服上有5个扣子,女生衣服上有4个扣子,如果学生人数是奇数,扣子总数是偶数,那么女生人数是( )。 A.奇数 B.偶数 C.质数 【解析】根据积与和的奇偶性推理计算 女生一份上的扣子数为4，是偶数，偶数与任意自然数相乘积为偶数，所以女生不管有多少人，其扣子总数都为偶数；因为扣子总数为偶数，总数减去女生扣子数等于男生扣子数，即偶数-偶数=偶数。所以男生的扣子总数也为偶数，男生每人扣子数×总人数=偶数，即5×男生人数=偶数，所以男生人数一定为偶数。 【答案】B 4.当a是自然数时,2a一定是( )。 A.奇数 B.偶数 C.合数 【解析】2a含有因数2,所以 2a一定是偶数 【答案】B 5.□ab 是一个三位数,已知a+b=12,且是3的倍数，□里可以填( )。 A.1,4.7 B.3,6,9 C.2,5,8 【解析】3的倍数的每一位数字之和为3的倍数。已知a+b=12，则□为3、6、9，最高为不能为0。 【答案】B 6.在1～100的自然数中,有a个质数,那么就有( )个合数。 A.100-a B.101-a C.99-a 【解析】在1～100的自然数中，1既不是合数也不是质数，这100个自然数中=（质数个数+合数个数+1=100），所以合数个数=100-质数个数-1=100-a-1=99-a 【答案】C 7.a是一个偶数,下列得数中奇数的个数为（ ）。 ①3a ②a+3 ③a2 ④a+a+a+a…+a（有19个a相加） A.1 B.2 C.4 【解析】考查“和与积的奇偶性”。 因为a是偶数，所以3a=偶数×奇数=偶数；a+3=偶数+奇数=奇数；a2=a×a=偶数×偶数=偶数；a+a+a+a…+a=19a=奇数×偶数=偶数 【答案】A 8.下面说法错误的是( ) A.在1,2,3,4,5…中,除了奇数就是偶数 B.如果a＞b(a,b为非0自然数),那么a的因数的个数一定多于b的因数的个数 C.一个数是9的倍数,这个数一定也是3的倍数 D.如果m÷8=n(m,n为非0自然数),那么m是n的倍数,n是m的因数 【解析】自然数按照2的倍数，分成奇数和偶数两类，正确；因数的个数不是由数的大小来衡量的，错误；是9的倍数的数一定是3的倍数，正确；如果m÷8=n(m,n为非0自然数),那么m是n的倍数,n是m的因数，正确，因为在整数除法算式中，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【答案】B 9.已知a÷b=c(a,b,c 都是大于0的自然数),那么下面说法正确的是( )。 A.a是倍数 B.a、b都是c的因数 C.c是因数 D.b、c都是a的因数 【解析】应用因数和倍数是相对的，不能单独说。 【答案】D 10.运动会上每个班的所有学生都要参加入场6式和团体操。五(1)班入场队列如图: 表演团体操时的几个队列如下，( )可能是五(1)班。 【解析】五1班的人数为奇数，A、B、C的人数都为偶数，只有D符合条件。 【答案】D 二、解答题 1.一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，写出所有的这样的两位数。 【解析】一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数是另一个质数，这样的数有11、13、31、17、71、37、73、79、97。 自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．由此可知，两位数中符合条件的数除了11外，还有很多，然后列举出即可． 【本题考点】合数与质数． 【点睛】 根据质数的意义进行分析解答是完成本题的关键，完成本题要注意将这个两个数的数字倒换之后，分解下质因数看是否是质数 2.妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 3.学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 4.五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【答案】6组或者9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是54的因数，先求出54的因数，再结合组数大于3而小于10，据此找出可以分成几组。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于3而小于10，所以可以分成6组或者9组。 答：可以分成6组或者9组。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数的方法是解题的关键。 5.某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 6.五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【分析】 4人分成一个小组，正好分完；6个人分成一个小组，也正好分完，说明总人数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，用最小公倍数分别乘2、3、4……找到40至50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】 4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（人） 12×2＝24（人） 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五年级（1）班有48人。 7.一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【答案】13：26 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。求出外层和内层间隔时间的最小公倍数是外层和内层同时喷的间隔时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时喷水时间。 【详解】12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是13：26。 8.同学们献爱心捐款，有5名同学共捐款410元，他们的捐款数恰好是5个连续的偶数，这5名同学分别捐了多少钱？ 【解析】根据偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，相邻的偶数相差2，若五个连续的偶数的和是410，那么五个偶数中间的那个数应是这五个数的平均数，410÷5=82，所以这五个偶数是78、80、82、84、86．据此解答． 【详解】五个连续的偶数的和是410，这五个偶数中间的那个数应是这五个数的平均数，410÷5=82（元）， 所以这五个偶数是78、80、82、84、86． 答：这5名同学各捐款78元、80元、82元、84元、86元． 【本题考点】奇数与偶数的初步认识 【点睛】此题考查的目的是理解偶数的意义，明确：相邻的偶数相差2，先求出这5个连续偶数的平均数（中间的那个数），进而求出其它偶数。 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第二单元：因数与倍数 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 3 突破点一：因数与倍数的认识 4 突破点二：求一个数的因数 5 突破点三：因数的特征 6 突破点四：因数与生活实际应用 6 突破点五：求一个数的倍数 7 突破点六：倍数的特征 8 突破点七：倍数与生活实际应用 9 突破点八：因数与倍数综合应用 10 突破点九：2、5、3的倍数特征 10 突破点十：同时是2、5、3的倍数特征 12 突破点十一：几个数的差与和同2、5、3的倍数特征 13 突破点十二：质数与合数的意义 14 突破点十二：巧用质数与合数的特征解决问题 14 综合突破 15 一、因数与倍数的认识。 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 3.因数和倍数的特性。 一个数因数个数是有限的买最大的因数是本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是本身。所以一个数的最大因数和最小倍数相等，都是本身。 二、2、5、3的倍数的特征。 （1）2的倍数‌： 2的倍数特征是成双成对地出现，即个位上的数字为0、2、4、6、8。比如10、12、14、16、18都是2的倍数。是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 ‌（2）3的倍数‌： 3的倍数特征是将数字的各个位数上的数字加起来，和为3的倍数。例如，例如，数字123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123也是3的倍数。。 ‌（3）5的倍数‌： 5的倍数特征是个位上的数字为0或5。 （4）同时是2和5的倍数的特征。 同时是2和5的倍数的特征的数是指一个自然数的个位上的数字是“0”的数。例如：10、20、30、40、……。这些数也是2×5=10的倍数。 （5）同时是2和3的倍数的特征。 同时是2和3的倍数的特征的数一定是2×3=6的倍数。即是3的倍数的偶数，其中最小的数是6。 （6）同时是3和5的倍数的特征。 同时是3和5的倍数的特征的数一定是3×5=15的倍数。最小的数是15 （7）同时是2、3和5的倍数的特征。 同时是2、3和5的倍数的特征的数一定是2×3×5==30的倍数。最小的数是30 三、质数和合数 按照因数的个数，把大于0的自然数划分为三类：质数、合数、1。 （1）质数： 质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。 （2）合数： 合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。 （3）1 1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数。 （4）质数与合数的不同 A、性质不同 ①质数:是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。 ②合数:是自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。 B、特点不同 ①质数:质数的个数是无穷的；在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个质数。最小的质数是2，是唯一的偶质数，其它质数都是奇数。 ②合数:所有大于2的偶数都是合数；所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数；除0以外，所有个位为0的自然数都是合数；所有个位为4，6，8的自然数都是合数。 四、奇偶性 （1）和的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 （2）积的奇偶性 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 （3）奇偶性应用 附：单元思维导图 【专题突破一】因数与倍数的认识 1.因数与倍数的定义。 ----在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在描述时因数和倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 如12÷3=4,则可以说3是12的因数，12是3的倍数。不能说3是因数，12是倍数。因为在一个的算式里，一个数可以做因数，在但其它算式里时，也可以做倍数。这就说明：因数和倍数是相对的，不能单独存在。 （2）课本上已经注明：自然数0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 1.因为35÷5=7，所以可以说5是( )的因数，35是5的( )。 2.因为6×8=48，所以48是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是48的因数。 3.如果x=4y（x、y都是非0的自然数），那么x是y的( )数，y是x的( )数。 4.如果m÷3＝n（m、n均为非0的自然数），那么m是n的( )，n是m的( )。 5.如果a÷b=8（a和b都是非0自然数），那么（ ）是（ ）因数，（ ）是（ ）的倍数。 【专题突破二】求一个数的因数。 1. 求一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式求，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数（不同的）都是这个数的因数。 （2）列除法算式求，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，其中每一道算式里的除数和商都是这个数的因数（不要重复）。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 1.写出下面各数的因数。 2. ( )的因数只有1个，5的因数有( )个，8的因数有( )个。 3.10的因数有( )，20的因数有( )，既是10的因数，又是20的因数的数有( )。 4.把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2  3  4  5  6   8  10  12  15 20 30  40 我发现：( )既是16的因数，又是40的因数。 【专题突破三】因数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 1.已知一个自然数m，它的所有因数有1，2，3，4， 6，12那么m是( )。 A．6 B．12 C．24 D．72 2.一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．2 B．4 C．6 3.35的最小因数是( )。 A．1 B．5 C．7 4.已知a是29的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是29 C．a是1或29 【专题突破四】因数与生活实际应用 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 1.妈妈买了36个苹果放入纸箱里，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 2.有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把72本书装完？写出你的理由。 3.六一儿童节期间，实验小学五年级（1）班有24名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和24人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 4.月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 5.五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 6.三根铁丝分别长15米、24米和36米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 7.五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【专题突破五】求一个数的倍数。 【方法点拨】 1.求一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式求，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2.表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。②集合表示法。 1.30以内5的倍数有( )。 2.写出60以内，所有19的倍数：( )。 3.写出下面各数的倍数（各写5个）。 2：( )； 21：( )； 59：( )。 4. 写出下面各数的倍数。（各写5个） 5的倍数               17的倍数         【专题突破六】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 1. 一个数是42的因数，又是6的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 2.一个数的最大因数是28，这个数是( )；一个数的最小倍数是25，这个数是( )。 一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是( )。 3. 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知： A是5的最小倍数； B是最小的自然数； C是6的最大因数； D是既是3的倍数，又是3的因数； E是所有因数是1、2、3、6； F是所有因数是1，2，4； G是只有一个因数。 这个号码是( )。 【专题突破七】倍数与生活实际应用。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 1.五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 2.一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 3.五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 4.金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 5.商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 6.五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【专题突破八】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数和倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数与倍数的方法和它们的特征。 1.阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 2.今年春节的时候，爸爸用微信给聪聪发了一个红包。红包里的钱数既是72的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 3.猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 4.小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【专题突破九】2、5、3的倍数的特征。 【方法点拨】 （1）2的倍数‌： 2的倍数特征是成双成对地出现，即个位上的数字为0、2、4、6、8。比如10、12、14、16、18都是2的倍数。是2的倍数的数是偶数，用字母表示为2n；不是2的倍数的数是奇数，可以用字母表示为2n-1。 ‌（2）3的倍数‌： 3的倍数特征是将数字的各个位数上的数字加起来，和为3的倍数。例如，例如，数字123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123也是3的倍数。。 ‌（3）5的倍数‌： 5的倍数特征是个位上的数字为0或5。 1.把下列个数填入相应的圈内。 3,24,12,23,36,95,92,31,51,15,46,65,100,120,320,2222,111,9993，87，121212 2.把下列个数填入相应的圈内。 33,98,533,0,321,188,8089,1000,988,563,1234,777，11114,4567 3.请写出3个是3的倍数的偶数（ ）；请写出3个是5的倍数的奇数（ ）。 4.在□里填上一个数字，使每个数都是3的倍数。 （1）□7，□可以填（ ）； （2）2□4，□可以填（ ）； （3）65□，□可以填（ ）； 5.根据规律写数。 （1）一五、一十、一十五、二十、…，这些数都是（ ）的倍数，第13个数是（ ）。 （2）100，98,96,94，…，8,6,4,2。这列数中，每个数都是（ ）的倍数，第15个数是（ ）。 6.一本200页的书，任意撕下2张，则这本书剩下的所有页码之和一定是（ ），如果撕下了3张，则这本书剩下的所有页码之和一定是（ ）。（填奇数或偶数） 【专题突破十】同时是2、5、3的倍数的特征。 （1）同时是2和5的倍数的特征。 同时是2和5的倍数的特征的数是指一个自然数的个位上的数字是“0”的数。例如：10、20、30、40、……。这些数也是2×5=10的倍数。 （2）同时是2和3的倍数的特征。 同时是2和3的倍数的特征的数一定是2×3=6的倍数。即是3的倍数的偶数，其中最小的数是6。 （3）同时是3和5的倍数的特征。 同时是3和5的倍数的特征的数一定是3×5=15的倍数。最小的数是15 （4）同时是2、3和5的倍数的特征。 同时是2、3和5的倍数的特征的数一定是2×3×5==30的倍数。最小的数是30 1.按要求填空。 （1）35□既是2的倍数，又是5的倍数。 （2）□□□既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 （3）□□□同时是2、5、3的倍数的最大三位数。 2.从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。 （1）奇数 （2）偶数 （3）2的倍数 （4）5的倍数 （5）3的倍数 （6）既是2的倍数，又是3的倍数 （7）既是2的倍数，又是5的倍数 （8）既是3的倍数，又是5的倍数 （9）同时使2、5、3的倍数 3.填空 （1）既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是（ ）。 （2）既是2的倍数，又是3的倍数的最小的三位数是（ ），最大的三位数是（ ）。 （3）同时是2、5、3的倍数的最小三位数是（ ），最大的两位数是（ ）。 【专题突破十一】几个数的和或差与2、5、3的倍数关系。 【方法点拨】如果几个数都是同一个数的倍数，则这几个数的和或差也是这个数的倍数。如果几个数的和或差是一个数的倍数，则几个数不一定是总个数的倍数。 （1）例如：2,4,6都是2的倍数，则2+4+6=12也是2的倍数 （2）10、25、65都是5的倍数，则10+25+65=100是5的倍数；65-25-10=30也是5的倍数 （3）3、87、123都是3的倍数，则3+87+123=213也是3的倍数；123-87-3=33也是3的倍数。 1.判定。 （1）如果有三个数都分别是2的倍数，则这三个数的和也是2的倍数。（ ） （2）如果两个两位数都是3的倍数，则这两位数合成一个四位数也一定是3的倍数。（ ） （3）如果两个数的和是75，则这两个数的差也一定是5的倍数。（ ） （4）连续3个自然数的和一定是3的倍数，（ ） （5）个位数字是4的数一定是4的倍数。（ ） 2.填空 （1）如果a、b、c都是不为0自然数，则5a+5b+5c一定是（ ）的倍数。 （2）aaa3,这个四位数一定是（ ）的倍数。 【专题突破十二】质数、合数的意义。 按照因数的个数，把大于0的自然数划分为三类：质数、合数、1。 （1）质数： 质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。 （2）合数： 合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。 （3）1 1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数。 1 质数 合数 只有一个因数的数 只有1和它本身两个因数的数 有两个以上因数的数 （4）最小的质数是2，最小的合数是4 （5）记住20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19。所有质数中唯一的偶质数是2，其余质数都是奇质数；连续两个质数分别是2和3；这8个质数的和是77。 1.请写出20以内的所有质数和合数 【专题突破十二】巧用质数和合数的特征实际应用 【方法点拨】 （1）偶数个质数相加，如果没有偶质数2，和一定是偶数；如果有质数2，和一定是奇数。 （2）技术个质数相加，如果没有偶质数2，和一定是奇数；如果和是偶数，其中一个质数一定是2。 （3）只有合数才能写成两个大于1的自然数相乘的形式，质数只能写成1和本身相乘。 1.两个质数的和为小于100的奇数，并且是11的倍数，这两个质数分别可能是多少？ 2.乐乐、康康、安安住在同一条街道上。他们三个家的门牌号是三个不同的质数且和是42，这三个质数的积最大是多少？ 3.下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？ 班级 一班 二班 三班 四班 人数 39 41 40 43 4.（1）有一个长方形的周长是24米，其它的长和宽都是质数。这个长方形的面积是多少平方米？ （2）有一个长方形，它的长和宽都是整米数，面积是70平方米。这个长方形的长和宽分别可能是多少米？ 一、填空。 （1）在51、17和3这三个数中，（　　 ）是（　　 ）的倍数，（　　 ）是（　　 ）的因数，（　　 ）和（　　 ）是互质数。 （2）一个五位数，万位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，个位是最小的合数，其余数位上的数字位最小的自然数，这个数写作（　　　　　　　 ）。 （3）根据要求写出三组互质数。 两个数都是质数（　　　　　 ）和（　　　　　 ）。 两个数都是合数（　　　　　 ）和（　　　　　 ）。 两个数中一个数是质数，一个数是合数（ ）和（　　　）。 （4）一个数的最大因数是35，这个数是（　　），它的所有因数有（　　　　　　　　　　　　　），这个数的最小倍数是（　　　）。 （5）朋朋今年的年龄是个两位数，个位上的数既是质数又是偶数，十位上的数字既不是质数也不是合数。他今年（ ）岁，至少再过（　　 ）岁，他的年龄是2、3、5的共同的倍数。 （6）一个三位数同时能被2、5、3整除，这个三位数最大是（　　　　　 ），最小是三位数（　　　　　 ）。 （7）世界上最早关于偶数的“哥德巴赫猜想”简单地说就是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。例如8=3+5，那么： 12＝（　　）＋（　　） 24＝（　　）＋（　 ）＝（　　）＋（　　） （8）如果275□4能被3整除，那么□里最小能填（　　），最大能填（　　 ）。 （9）一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，这个数的所有因数的和为（ ）。 （10） 6□0能被3和5整除，□里可以填（　　）． （11）在1、0.5、2、4、0、、10、11这几个数中，（　　）是整数，（　　）是自然数，（　　）是奇数，（　　）是偶数，（　　）是质数，（　　）是合数． （12）三个连续奇数的和是69，这三个奇数分别是（ ）、（　　）、（ ）。 （13）写出两个合数，并使它们互质，这两个数是（　　）和（　　）． （14） 一个数千位是最小的奇数，万位是最小的合数，十位是最小的质数，其它数位上是0，这个数写作（　　），它既是（　　）又是（　　）的倍数． （15）一个质数与一个合数的和是11，其它们的积是30，这个质数是（ ），这个合数是（ ）。 （16）从0,1,2,5,8中选择三个数字组成一个既是5的倍数又是偶数的最大三位数，这个数是（ ）；组成一个既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数，总个数是（ ）。 （17）如果a是一个自然数，则偶数可以用（ ）来表示，奇数用（ ）来表示。 （18）把下列个数填入适当的圆里 48，56，25，34，8，12，30，22，50，54，78，95，102，90，138，156，279，175，105 ( 3的倍数 ) ( 5的倍数 ) ( 2的倍数 ) ①既是2的倍数，又是3的倍数的数有（ ） ②既是2的倍数，又是5的倍数的数有（ ） ③既是3的倍数，又是5的倍数的数有（ ） ④同时是2，3，5的倍数的数有（ ） 二、选择题 1.下面各数中，既是2的倍数，又是3的倍数的数是（ ）。 A.256 B.123 C.942 D.57 2.下面三个选项中，“□”代表数字0，“△”代表1～9中的任意一个数字，（ ）一定是2、5、3的倍数。 A.△△□□ B. △△□△ C. △△△□ 3. 男生衣服上有5个扣子,女生衣服上有4个扣子,如果学生人数是奇数,扣子总数是偶数,那么女生人数是( )。 A.奇数 B.偶数 C.质数 4.当a是自然数时,2a一定是( )。 A.奇数 B.偶数 C.合数 5.□ab 是一个三位数,已知a+b=12,且是3的倍数，□里可以填( )。 A.1,4.7 B.3,6,9 C.2,5,8 6.在1～100的自然数中,有a个质数,那么就有( )个合数。 A.100-a B.101-a C.99-a 7.a是一个偶数,下列得数中奇数的个数为（ ）。 ①3a ②a+3 ③a2 ④a+a+a+a…+a（有19个a相加） A.1 B.2 C.4 8.下面说法错误的是( ) A.在1,2,3,4,5…中,除了奇数就是偶数 B.如果a＞b(a,b为非0自然数),那么a的因数的个数一定多于b的因数的个数 C.一个数是9的倍数,这个数一定也是3的倍数 D.如果m÷8=n(m,n为非0自然数),那么m是n的倍数,n是m的因数 9. 已知a÷b=c(a,b,c 都是大于0的自然数),那么下面说法正确的是( )。 A.a是倍数 B.a、b都是c的因数 C.c是因数 D.b、c都是a的因数 10.运动会上每个班的所有学生都要参加入场6式和团体操。五(1)班入场队列如图: 表演团体操时的几个队列如下，( )可能是五(1)班。 二、解答题 1.一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，写出所有的这样的两位数。 2.妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 3.学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 4.五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 5.某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 6.五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 7.一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 8.同学们献爱心捐款，有5名同学共捐款410元，他们的捐款数恰好是5个连续的偶数，这5名同学分别捐了多少钱？ 3 学科网（北京）股份有限公司 $$