6.3.5平面向量数量积的坐标表示-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 题型一：数量积的坐标表示 【例1】已知，，则（    ） A．8 B． C．28 D．32 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【例2】已知向量，，.若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】因为向量，，所以， 所以，解得. 故选：B. 【变式1-1】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得，所以． 故选：A 【变式1-2】已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【答案】(1)， (2)17 【详解】（1）由题意，∴， 又，∴， 得，解得，即． 又，∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 【变式1-3】在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【答案】A 【详解】在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设， 则，，， 由题意可知，即，解得. 则，所以. 故选：A. 题型二：坐标计算向量的模 【例3】已知向量，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，即， 解得 故选：A. 【例4】已知向量与向量垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 【变式2-1】已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【详解】由题得， 所以. 故选：B. 【变式2-2】已知平面向量，，且，则 . 【答案】 【详解】由，得，解得， 而，，则，解得， 所以. 故答案为： 【变式2-3】在矩形中，，则矩形的面积为（　 ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】A 【详解】在矩形中，，因为， 所以，所以，所以， 所以，， 矩形的面积为：. 故选：A 题型三：利用向量垂直的坐标表示解决垂直问题 【例5】已知． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 【答案】(1) (2)为直角三角形，且B为直角，证明见解析 【详解】（1）， ∵A，B，M三点共线，∴与共线， 所以，解得． （2）是直角三角形，B为直角．证明如下： ∴， ∴，即为直角三角形，且B为直角． 【例6】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，即， 解得. 故选：B. 【变式3-1】已知向量，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到，化简得，所以， 又，所以，得到， 所以，则，， 所以的面积为， 故选：A. 【变式3-2】已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 当时，. 当时，； 当时，与不垂直. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】已知向量，下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 【答案】D 【详解】对于A选项，若，已知， 有，即，所以，A选项错误. 对于B选项，若，根据两向量垂直的性质，. ，则. 又因为，联立方程组，解得，B选项错误. 对于C选项，先求的坐标，. 则. 展开整理得. 其最小值为.所以的最小值为，C选项错误. 对于D选项，若与垂直，则，. 因，，则. 则，D选项正确. 故选：D. 题型四：坐标计算向量夹角 【例7】已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 【例8】已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 【变式4-1】（多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．若，则t的值为2 C．若与的夹角为45°，则或 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【答案】AB 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则，解得，B正确； 对于C，，解得或，而，无解，C错误； 对于D，由与的夹角为钝角，得且与不共线，则，且， 解得且，D错误. 故选：AB 【变式4-2】（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 【答案】AD 【详解】A选项，，，，A选项正确. B选项，，，B选项错误. C选项，时 ，，，，C选项错误. D选项，当时，由上可知向量不共线，且， 所以，所以为锐角，D选项正确. 故选：AD 【变式4-3】设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知， 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题,在新环境下研究“旧”性，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 题型五：坐标计算投影向量 【例9】（多选）若向量，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】CD 【详解】因为向量，，， 对于A，，故 A 错误； 对于B，，与不平行，故B错误； 对于C，因为，则，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD. 【例10】（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由向量，，，得，所以，解得或. 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为； 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：BC 【变式5-1】已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可 【答案】 【详解】设 则满足方程的点均可. 故答案为：. 【变式5-2】已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以， 令，则， 而，故最大，则，，故， 此时，向量在上的投影向量为. 故选：C 【变式5-3】已知平面向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，. ∵， ∴，即， ∴，∴， ∴在方向上的投影向量为. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 题型一：数量积的坐标表示 【例1】已知，，则（    ） A．8 B． C．28 D．32 【例2】已知向量，，.若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1-1】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【变式1-3】在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 题型二：坐标计算向量的模 【例3】已知向量，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例4】已知向量与向量垂直，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式2-1】已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 【变式2-2】已知平面向量，，且，则 . 【变式2-3】在矩形中，，则矩形的面积为（　 ） A．5 B．10 C．20 D．25 题型三：利用向量垂直的坐标表示解决垂直问题 【例5】已知． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 【例6】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知向量，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】已知向量，下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．若与垂直，则 题型四：坐标计算向量夹角 【例7】已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【变式4-1】（多选）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．若，则t的值为2 C．若与的夹角为45°，则或 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【变式4-2】（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角 【变式4-3】设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五：坐标计算投影向量 【例9】（多选）若向量，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【例10】（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可 【变式5-2】已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知平面向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$